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二次函数图像和性质复习课件(柏城中学刘海)

发布时间:2013-12-28 16:55:18  

二次函数的图象及性质 综合复习
y ? x2

8

y ? 2 x2

6 4
2 -4 -2 2
y? 1 2 x 2

4

柏城中学 刘海

1.二次函数的定义:

形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的函数叫做二次函数
自变量x的取值范围是:任意实数

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.

2.二次函数的表达式:
(1 )二次函数的一般形式:函数y=ax2+bx+c(a≠0)
注意:它的特殊形式:

当b=0,c=0时: y=ax2 当b=0时: y=ax2+c 当c=0时: y=ax2+bx

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

二次函数解析式
二次函数的解析式有两种形式: 1. 一般式: y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 2. 顶点式: y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时,通常解析式设为 一般式,列出三元一次方程组求出待定系 数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时, 通常设解析式为顶点式求出待定系数。

y ? ax 2

二次函数y=ax2的性质
y ? ?ax 2

1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.

2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

1 函数y= x2,y=2x2的图象 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 的图象相比,有什么共同点 和不同点? 开口都向上; 共同点: 顶点是原点而且是抛物线 的最低点,对称轴是 y 轴

y ? 2 x2 y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y ? x2

y?

1 2 x 2
x

在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小。 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大。 不同点: 开口大小不同; |a|越大, 抛物线的开口越小。

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

1 函数y=- x22 ,y=-2x2的图象与函数y=-x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?

共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点,对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;

1
-3 -2 -1 0 -1

y
1 2 3 x

1 2 y?? x 2

-2 -3 -4 -5

y ? ? x2 |a| 越大,抛物线的开口越小.

y ? ?2 x 2

【考点链接】

二次函数的图象

图象:是一条抛物线。 图象的特点:(1)有开口方向,开口大小。 (2)有对称轴。(3)有顶点(最低点或最 高点)。
y y

o

x

o

x

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2 ? 二次函数y=ax2+k

的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上(或向下)平移得到: ? 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k ? 当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图 象向左(或向右)平移得到: ? 当h>0时,抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 当h<0时,抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线 y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位, 在向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得 到.

二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向 顶点坐标 (0,0)
y轴

y ? ax

2

y ? ax2 ? c y ? a( x ? h)2 y ? a( x ? h)2 ? k y ? ax2 ? bx ? c
当a>0时开口向上,当a<0时开口向下

(0,c)
y轴

(h,0)

(h,k)

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

对称轴

直线 x ? h 直线 x ? h

直线

x ? ?

b 2a

最 值

x x ? 0时, ? 0时, x ? h时x ? h时 b 4ac ? b2 a>0 x ? ? 时,y最小 ? y最小 ? 0 y最小 ? k y最小 ? 0 y最小 ? c 2a 4a

a<0 a>0 a<0

x ? 0时 x ? 0时 y最大 ? 0
y最大 ? c

x ? h时 y最大 ? 0

x ? h时 b 4ac ? b2 y最大 ? k x ? ? 2a 时,y最大 ? 4a
y y x x

在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴左侧,y随x的增大而增大

增 减 性

在对称轴右侧,y随x的增大而减小

y ? ax2 ? bx ? c 的性质: 4.二次函数

(1)顶点坐标

? b 4ac ? b2 ? ?? , ?; 4a ? ? 2a

(2)对称轴是直线

b x?? 2a

(3)开口方向:当 a>0时,抛物线开 口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。

(4)最值: b 如果a>0,当 x ? ? 2a 时,函数有最小值,
b 如果a<0,当 x ? ? 2 a 时,函数有最大值, 2
4ac - b y最大= ; 4a

4ac - b 2 y最小= , 4a

(5)增减性:
b ①若a>0,当 x ? ? 时,y随x的增大而增大; 2a

b 当 x ? ? 2a 时,y随x的增大而减小。
b ②若a<0,当 2 a 时,y随x的增大而减小; b 当 x ? ? 2a 时,y随x的增大而增大。 x??

(6)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与y轴的交点坐标 为(0,c) ②抛物线 y ? ax2 ? bx ? c与x轴的交点坐标为

? x1 ,0? , ? x2 ,0?,其中 x1 , x2为方程 ax2 ? bx ? c ? 0
的两实数根

(7)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与x轴的交点情况
2

可由对应的一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0
的根的判别式判定: ① △>0?有两个交点?抛物线与x轴相交; ② △=0?有一个交点?抛物线与x轴相切; ③ △<0?没

有交点?抛物线与x轴相离。

例4 已知抛物线

y ? x2 ? ? k ? 4? x ? k ? 7,

①k取何值时,抛物线经过原点; ②k取何值时,抛物线顶点在y轴上; ③k取何值时,抛物线顶点在x轴上; ④k取何值时,抛物线顶点在坐标轴上。

解:①抛物线经过原点,则当x=0时,y =0,所以 0 ? 02 ? ? k ? 4? ? 0 ? k ? 7 ,所以k= -7,所以当k=-7时,抛物线经过原点; ②抛物线顶点在y轴上,则顶点横坐标为0, ? ? k ? 4? b 即 ? ?? ? 0 ,所以k=-4,所 以当k=-4时,抛物线顶点在y轴上。
2a 2 ?1

③抛物线顶点在x轴上,则顶点纵坐标为0, 2 2 4 ? 1? ? k ? 7 ? ? ? k ? 4 ? 即 4ac ? b ? ? 0 ,整理得
4a 4 ?1

k 2 ? 4k ? 12 ? 0 ,解得:k1 ? 2, k2 ? ?6 ,所

以当k=2或k=-6时,抛物线顶点在x轴 上。

④由②、③知,当k=-4或k=2或k=-6 时,抛物线的顶点在坐标轴上。

例5 当x取何值时,二次函数 y ? 2x2 ? 8x ? 1 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?

解法一(配方法):
y ? 2 x 2 ? 8x ? 1 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? ? 1 ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 4 ? ? 1
? 2 ? x ? 2 ? ? 7 ? ?7
2

y 所以当x=2时, 最小值=-7 。

解法二(公式法): 因为a=2>0,抛物线 y ? 2 x2 ? 8x ? 1有最低点, 所以y有最小值,
4 ? 2 ?1 ? ? ?8? b ?8 4ac ? b ? ?7 因为 - 2a ? ? 2 ? 2 ? 2, 4a ? 4? 2
2 2

所以当x=2时,y最小值=-7 。 总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.

1 2 1 例6已知函数 y ? ? x ? 3x ? 2 2

,当x为何值 时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 ? 解法一: a ? ? 2 ? 0

, ∴抛物线开口向下,

1 1 1 2 1 y ? ? x 2 ? 3x ? ? ? ? x ? 6x ? 9 ? 9? ? 又 2 2 2 2 1 9 1 ? ?1 x?3 2 ?5 2 ? ? ? ? ? x ? 3? ? ? 2 2 2 2

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。

解法二:
1 ? a ? ? ? 0 ,∴抛物线开口向下, 2
b ? ? ?? 2a ?3 ? ?3 ? 1? 2?? ? ? ? 2?

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时, y随x的增大而减小。

例7 已知二次函数
y ? ? m ? 1? x2 ? 2mx ? ? 3m ? 2?? m ? 1?

的最大值是0,求此函数的解析式.

解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐 标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m ? 1 ? 0, ① ? ? 2 4 ? m ? 1?? 3m ? 2 ? ? ? 2m ? ? ?0 ? 4 ? m ? 1? ? ②

1 由②解方程得 m1 ? , m2 ? 2 ?不合题意,舍去? 2
1 ?1 ? 2 ? 1 ? 所求函数解析式为 y ? ? ? 1? x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? 2 ? , 2 ?2 ? ? 2 ?

1 2 1 即y ? ? x ? x ?

。 2 2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系 a决定开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下
︱a︱越大开口越小

a
a,b

a、b同时决定对称轴位置:对称轴在y轴左侧时a、b同号 对称轴在y轴右侧时a、b异号 (左同右异) 对称轴是y轴时b=0
c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴

c

c=0时抛物线过原点 c<0时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与X轴的交点: △>0时抛物线与X轴有两个交点 △=0时抛物线与X轴有一个交点 △<0时抛物线与X轴有没有交点



5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向,若 a 相 等,则形状相同。 ①a>0?开口向上; ②a<0?开口向下。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。

(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,由 于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x?? b 2a

,故

①若b=0?对称轴为y轴, ②若a,b同号?对称轴在y轴左侧, ③若a,b异号?对称轴在y轴右侧。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴 交点的位置。 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c 与y轴有且只有一个交点(0,c), ①c=0?抛物线经过原点; ②c>0?与y轴交于正半轴; ③c<0?与y轴交于负半轴。

例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.

分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.

判断a的符号

解: (1)因为抛物线开口向下,所以a<0;

判断b的符号

(2)因为对称轴在y轴右侧,所以
b ? ? 0 ,而a<0,故b>0; 2a

判断c的符号

(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点 的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正 半轴,即c>0;

判断b2-4ac的符号

(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标
4ac ? b2 ? 0 ,且a<0,所以4ac ? b2 ? 0,故 4a

b2 ? 4ac ? 0 。

判断2a+b的符号

b (5)因为顶点横坐标小于1,即 ? ? 1 , 2a

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;

判断a+b+c的符号

(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a·2+b· 1 1+c>0, 故a+b+c>0;

判断a-b+c的符号

(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.

1、下列函数中,是二次函数的是 ① ② 2 2

①②③⑦

.

y ? x ? 4x ? 1 y ? 2x 4 ⑤ y ? mx2 ? nx ? p ⑥ ④ y ? ?3x y? x ⑧ 2 2 ⑦ y ? ( x ? 1) ? x y ? ?3( x ? 2)(x ? 1)



1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 2

=2 2.

当m_______时,函数y=(m+1)χ m
二次函数?

2

? m2χ+1 -



3、抛物线y=-x2+2x - 3的开口向 , 对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。
2

4、抛物线 y ? 2( x ? m) ? n的顶点是(-2,3), 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。

5、已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值 为1,则m= 。
2

判断正负性

例1、如图,二次函数y=ax2+bx+c
则a 0, b a+b+c b2-4ac 0, c 0, 0 0,
-1 1 1 -1

a-b+c 0,

走进中考
1、判断下列抛物线中a,b,c的符号 y y y

0

x

0

x

0

x

2. 二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示,则在下列 ①④⑤⑥⑦ 各不等式中正确的是____________
y

-1 0

1

2 x ·

①abc<0 ⑥ 4a ? 2b ? c ? 0 ②a+b+c < 0 ⑦ 4a ? 2b ? c ? 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0

开口方向:向上a<0; 对称轴:在y轴右侧a、b异号,所以b>0 与y轴的交点:在y轴正半轴,所以c>0; a+b+c:当x=1时,y=a+b+c;
abc<0

a-b+c:由当x=-1时,y=a-b+c, 与x轴的交点:两个不同的交点,所以 b2 - 4ac > 0

a+b+c>0 a+c<b

∵?

b =1,∴-b=2a 2a

∴2a+b=0


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