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13.1.1_算术平方根

发布时间:2013-12-29 09:55:37  

—人人学有价值的数学; —人人都能获得必需的数学; —不同的人在数学上得到不同发展;

同学们,你们知道宇宙飞 船离开地球进入轨道正常 运行的速度是什么范围吗? 这时它的速度要大于第一 个宇宙的速度v1(米/秒) 而小于第二宇宙速度v2 (米/秒)。v1、v2的大小 满足v12=gR, v22=2gR,其 中g是物理中的一个常数 (重力加速度),g≈9.8米 /秒2,R是地球的半径, R≈6.4×106米。怎样求v1、 v2呢?这就要用到平方根 的概念。

随着人类对数的认识的不断发展,人们从现实世 界抽象出一种不同于有理数的数——无理数。有理数 和无理数合起来形成了一种新的数——实数。本章将 从平方根与立方根等说起,学习有关实数的初步知识, 并用这些知识解决一些实际问题。

元旦前,学校将举行美术作品比赛. 小鸥很高兴,他想裁出一块面积为25dm2 的正方形画布,画上自己的得意之作参 加比赛,这块画布的边长应取多少?
正方形 的面积 边长 1 9 16 36 0.25

1

3

4

6

0.5

已知正方形的面积 , 求边长的问题, 实质上 就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题. 像正数32=9, 把正数3 叫做9的算术平方根. …

概念引入
象5
2

=25, 那么5叫做25的算术平方根;

一般地,如果一个正数x 的平方等于a, 即x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根.

规定:0的算术平方根是0.
例1 求下列各数的算术平方根:

49 (1) 100 (2) (3)(-13)2 64
练1 求下列各数的算术平方根: (1) 0.0025 (2) 121 (3)32

1 (4) 6 4 2 (4) 2 (5)-9 49

一般地,如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”,a 叫做被开方数.

 x ? a ?

规定:0的算术平方根是0.
x
2

记作:0 ? 0

a

1.双重非负性: 2.一个非负数的

 a ? 0, a ? 0
2

( 算数平方根的平   a ) ? 方是它本身: 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.  

______(a  a   ? 0)

  a a ? _____
2

探索 & 交流 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的 大正方形?

思考:你知道这个大正方形的边长是多少吗?

解:设这个大正方形的边长为x, 则 x2=2 x叫做2的算术平方根 2的算术平方根记做: 2 ? x ?

2

学以致用
1.下列式子表示什么含义?你能求出它们的值吗? (1) (4)

0.81;

(2)

? 25
(?5)
2

;

(3)

0
( 23)


2 .

23

2

; (5)

; (6)

解:(1)

0.81 表示0.81 的算术平方根, 0.81 =0.9

(2) ? 25 表示25的算术平方根的相反数,

? 25

= -5

学以致用

2. 当x为何值时,下列各式有意义? (1) x ? 1 ; (2) 2 ? 3 x ;(3) x - 2 ? 2 ? x

3 3. (1) 3的算术平方根是___.
(2) 3 81 的算术平方根是___. 算术

平方根等于它本身. 0和1 ⑶___ ⑷若 ⑸若

4 x ? 2 , 则 x ? _____ 6 3 ? x ? 3 ,则 x ? ____

(6)若

? 3 ? x ? ? x ? 3 ,则
2

x?3

学以致用

4.已知

x ? 2y ? 9 与

x ? y ? 3 互为相反

数,求xy的算术平方根.
5.如果一个正数的算术平方根为m,则比这个数大

2的数的算术平方根是____________ m ?2
2

筛一筛,长能耐
? ? ? ? ? ? ? 判断: (1)5是25的算术平方根; (√ (2)-6是 36 的算术平方根; ( × (3)0的算术平方根是0; (√ (4)0.01是0.1的算术平方根; ( × (5)-5是-25的算术平方根; ( × (6)5的算术平方根是 5 。 (√

) ) ) ) ) )

拓展:已知

x ? y ? 4 ? | x ? 2 y ? 5 |? 0求x,y的值.

解:根据题意得 x ? y ? 4 和 | x ? 2 y ? 5 | 均为非负数,

x ? y ? 4 ? | x ? 2 y ? 5 |? 0
由非负数的性质得: x ? y ? 4=0 且 | x ? 2 y ? 5 | =0 ?x ? y ? 4 ? 0 所以 ? ?x ? 2y ? 5 ? 0 ?x ? 3 解方程组得, ? ? y ? ?1

如下图,是一个面积为4的正方形纸片.

(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?

2

2 有多大?
因为 ( 2 ) < 22 1 <
2 2

所以

1 <
2

2 < 2
2

因为 1.4 < ( 2 ) < 1.5 2 所以 1.4 <

… …
1.414 <

2 < 1.5 2 < 1.415

逼 近 法

2 = 1.4142135623730950 …

无限不循环小数!

一般地,如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a 读作: “根号a”,a 叫做被开方数.

 x ? a ?

规定:0的算术平方根是0.
x
2

记作:0 ? 0

a

1.双重非负性: 2.一个非负数的

 a ? 0, a ? 0
2

( 算数平方根的平   a ) ? 方是它本身: 3.任何一个数的平方的算术平 方根等于这个数的绝对值.  

______(a  a   ? 0)

  a a ? _____
2

1. 作业本(1)
书本p75 1,2

2.课后思考题:
试用“逼近法”确定3 的大小?

练习:下列各式中哪些有意义?哪些无意义?
为什么?

5 ;? 3 ; ? 3 ;
答:有意义的是:

?? 3? ;
2

5

? 3

?? 3?

2

无意义的是: ? 3


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