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九年级数学 二次函数的图象及性质-求二次函数的关系式-华师大版

发布时间:2013-12-29 10:55:23  

华东师范大学出版社

数学

九年级(上)

y o x

二次函数的 图象和性质

想一想 一般地,函数关系式中几个独立的系数,那 么就需要有相同个数的独立条件都能求出函 数关系式。例如:我们在确定一次函数 y=kx+b(k≠0)的关系式时,通常需要两个独 立的条件;确定反比例函数y=k/x(k ≠0)的关 系式时,通常只需要一个条件;如果要确定 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的关系式时,又 需要几个条件呢?

情境引入 问题:如图26.2.6,某建筑的屋顶设计成横
截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶.它 的拱宽AB为4 m,拱高CO为0.8 m.施工前要 先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢? 分 析:为了画出符合要求的 模板,通常要先建立适当的直 角坐标系,再写出函数的关系 式,然后根据这个关系式进行 计算,放样画图.

图 26.2.6

如图26.2.6,以AB的垂直平分线为y轴,以过 点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系.这 时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点, 对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数 关系式为 y=ax2 (a<0)(1) 因为AB与y轴交于点C,所以 AB CB= =2(m),

又CO=0.8 m,所以点B 的坐标为(2,-0.8).

2

图 26.2.6

因为点B在抛物线上,将它的坐标代入(1),得 -0.8=a ×22, 所以 a=-0.2. 因此,函数关系式是 y=-0.2x2. 温馨提示:根据这个关系式,容易画出模板的 轮廓线. 在解决一些实际问题时,往往需要根据某些条 件求出函数的关系式.

例题讲解与练习

例1.某涵洞是抛物线形,它的截面

y

x 如图所示,现测得水面宽1.6m,涵洞 O 顶点O到水面的距离为2.4m,在图中 A B 直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的 函数关系式是什么? 分析 如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y 轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的 抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可 设它的函数关系式是y=ax2 (a≠0) .此时只需抛物线上的 一个点就能求出抛物线的函数关系式。

y

解:根据题意,得点B的坐标 为(0.8, -2.4),又因为点B 在抛物线上,将它的坐标代入 A

O

x

y ? ax (a ? 0) ,得 2 ? 2.4 ? a ? 0.8 15 a?? 所以 4
2
..

B

因此,函数关系式是

15 2 y?? x 4

例题讲解与练习

例2.根据下列条件,分别求出对应的二次函数

的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、 B(1,0)、C(-1,2); (2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴 交于点(0,1); (3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5, 0),且与y轴交于点(0,-3); (4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴 两交点间的距离为4.

分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点,
可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式;(2)根据已知 抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为y=a(x-1)2-3, 再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值;(3)根据抛 物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为 y=a(x+3)(x-5) ,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的 值;(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可 设函数关系式为y=a(x-3)2-2 ;同时可知抛物线的对称 轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线 与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个 代入 y=a(x-3)2-2 ,即可求出a的值。

巩固

练习

根据下列条件,分别求出对应的二次函数的 关系式. (1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、 (1,1)、(3,5); (2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过 点(2,1); (3)已知抛物线与x轴交于点M(-1,0)、 (2,0),且经过点(1,2).

小结归纳
确定二此函数的关系式的一般方法是待定 系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么 形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简 单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形 式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) ,给出三点坐 标可利用此式来求. (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠ 0) ,给出两点, 且其中一点为顶点时可利用此式来求.

例题讲解与练习 1、已知一个二次函数的图象过点(0,1), 它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的 关系式. 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是(8, 9),因此,可以设函数关系式为 y=a(x-8)2 +9. 根据它的图象过点(0,1),容易确定a的 值.

2、已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3, 10)三点,求这个二次函数的关系式. 解 设所求二次函数为y=ax2+bx+c,由已知, 这个函数的图象过(0,1),可以得到c= 1.又由于其图象过(2,4)、(3,10)两点, ?4a ? 2b ? 3, 可以得到 ? ?9a ? 3b ? 9. 3 3 解这个方程组,得 a= ,b=23 2 3 2 所以,所求二次函数关系式是 y ? 2 x ? 2 x ? 1.

1. 根据下列条件,分别求出对应的二次函 数的关系式. ①已知抛物线的顶点在原点,且过点(2, 8); ②已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过 点(1,10); ③已知抛物线过三点:(0,-2)、(1, 0)、(2,3).

2. 已知抛物线y=ax2+bx+c过三点:(-1, -1)、(0,-2)、(1,1). ①求这条抛物线所对应的二次函数的关系式; ②写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标; 这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?





26.2习题第四、五题
4. 根据下列条件,分别求出对应的二次函数 的关系式. (1)已

知抛物线的顶点在原点,且过点(3,- 27); (2)已知抛物线的顶点在(1,-2),且过点 (2,3); (3)已知抛物线过三点:(-1,2),(0, 1),(2,-7).

5. 有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的 最大高度为4 m,跨度为10 m.如图所示,把它 的图形放在直角坐标系中. (1)、求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)、如图,在对称轴右边1 m处,桥洞离水面 的高是多少?

(第 5 题)

用6 m长的铝合金型材 做一个形状如图26.2.5所示 的矩形窗框.应做成长、 宽各为多少时,才能使做 成的窗框的透光面积最大? 最大透光面积是多少?

图 26.2.5

解 设做成的窗框的宽为x m,则长为 6 ? 3x m.这里应有x>0,且
2 6 ? 3x 2

>0,故0<x<2.
图 26.2.5

做成的窗框的透光面积y与x的函数关系 式是 y=x? 6 ? 3x ,即 y= ? 3 x 2 ? 3x
2

3 3 2+ 配方得 y=- (x-1) 2 2 所以当x=1时,函数取得最大值,最大值y= 6 ? 3x 1.5.因为x=1时,满足0<x<2,这时 =1.5.

2

所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框,才能 使透光面积最大.最大面积是1.5 m2.

2

结束寄语

下课了!

?生活是数学的源泉. ? 探索是数学的生命线.


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