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轴对称复习课件

发布时间:2013-12-29 11:51:58  

第十二章 轴对称

一.轴对称图形
1、轴对称图形:
把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能 够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直 线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直 线成轴对称。

2、轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图 形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这 条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫 做对称点.

知识回顾: 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A

轴对称
A'

图形
B

A

区别

(1)轴对称图形是指(一个 ) (1)轴对称是指(两个)图形 具 有特殊形状的图形, 的位置关系,必须涉及 只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形; 不一定 只有一条 (2)只有(一条)对称轴. (2)对称轴( ) 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.

C

B

C

C'

B'

联系

4、轴对称的性质:
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称 轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直 平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

练习:
1、国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称 图形的是( C )
A.加拿大、韩国、乌拉圭 C.加拿大、瑞典、瑞士 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 D.乌拉圭、瑞典、瑞士

加拿大

韩国

澳大利亚 乌拉圭

瑞典

瑞士

2、小明照镜子的时候,发现T恤上的英 文单词在镜子中呈现“ ”的样子, 请你判断这个英文单词是( A ) (A) (C) (B) (D)

3、△ABC与△DEF关于直线L成轴 对称,则∠C是多少度?
L

A
650
40?

D
65?

750

B

C

F

E

3. 已知:P为?MON内一点。P与A关于ON对称, P与B关于OM对称。若AB长为15cm

N

求:PCD的周长. ?
解: ? P与A关于ON对称
? ON为PA的中垂线(

A

D P

? DA=DP(

O



C

M

同理可有:CB=CP ?? PCD周长=PC+PD+CD

B

?? PCD周长=BC+AD+CD=AB 又AB= 15cm ?? PCD周长为15cm

二.线段的垂直平分线
1、什么叫线段垂直平分线? 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质? 线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 (纯粹性)。 你能画图说明吗?

3.逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点, 在线段的垂直平分线上。(完备性)

4.线段垂直平分线的集合定义:
线段垂

直平分线可以看作是 与线段两个端点距离相等的所 有点的集合。
C B A

m

F

D

三.用坐标表示轴对称小结: 在平面直角坐标系中,关于x轴对称 的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关 于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐
标相等.
点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为______. (x, - y) (- x, y) 点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为______.

练习
1、完成下表. (抢答)

已知点
关于x轴的对称点 关于y轴的对称点

(2,-3)

(-1,2)

(-6,-5) (0,-1.6)

(4,0)

(2, 3) (-1,-2) (-6, 5) (-2, -3) (1, 2) (6, -5)

(0,1.6) (4,0) (0, -1.6) (-4,0)

2、已知点P(2a+b,-3a)与点P’(8,b+2).
2 4 若点p与点p’关于x轴对称,则a=_____ b=_______. -20 6 若点p与点p’关于y轴对称,则a=_____ b=_______.

例:已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A (-3,5),B(- 4,1),C(-1,3),作出△ABC关于y y 轴对称的图形。
解:点A(-3,5),B(-4,1), C(-1,3),关于y轴对称 点的坐标分别为A’(3,5), B’(4,1),C’(1,3).依次连接 A’B’,B’C’,C’A’,就得到 △ABC关于y轴对称的 △A’B’C’.

A

·

c

C’ ··

B

·

5 4 3 2 1

A’ · B’ ·

-4 -3 -2 -1-10 归纳:(P44)先求出已知图形中的 -2 -3 特殊点(如多边形的顶点或端点)的 对应点的坐标,描出并连接这些点, -4 就可 得到这个图形的轴对称图形.

1 2 3 4 5

x

思考:如图,分别作出点P,M,N关于直线 x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别 有什么关系吗?
P(-2,4) 4 3 M(-1,1) 2’ 1

·

y5

x=1

P’(4,4)

·
4

·

M’(3,1)

·
5

-4 -3

·

-2 -1

0 -1 -2

x

1

2

3

·

N(-3,-2)

N’(5,-2)

点(x, y)关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x, y)

如图,分别作出△ABC关于直线x=1(记为m) 和直线

y=-1(记为n)对称的图形,它们的对应点的坐标 之间分别有什么关系?
Y A(-4,5)

m
D(6,5)

? 如图:

B(-1,3)

F(3,3)
C(-4,1)
O X x

E(6,1)

n

M(-4,-3)

G(-1,-5)

N(-4,-7) 点(x, y)关于直线x=1对称的点的坐标为(2-x, y) 关于直线y=-1对称的点的坐标为(x, -2-y) 点(x, y)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m-x, y),关于直线y=n对称的点的坐标为(x, 2n-y)

归纳:若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线
x1 ? x 2 ) x=m对称,则; X2=2m-x1 (m= 2

y =y
1

2

类似: 若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于 直线y=n对称,则 x1=x2 ; y2=2n-y1
y1 ? y 2 (n= ) 2

1.如图,△ABC中,边AB、BC的 垂直平分线交于点P。 (1)求证:PA=PB=PC。 (2)点P是否也在边AC的垂直 平分线上呢?由此你能得出什 么结论?

A

P C B

结论:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点,这个点到三角形三个顶点 的距离相等。

4.利用轴对称变换作图:
如图:要在燃气管道L上修建一个泵站,分别 向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方, 可使所用的输气管道线最短?
A B L

P

利用轴

对称变换作图:
1.有A、B、C三个村庄,现准备要建一所学 校,要求学校到三个村庄的距离相等,请 你确定学校的位置。
A

B

C

1. 如图,A.B两地在一条河的两岸,现
要在河上建一座桥MN,桥造在何处才 能使从A到B的路径AMNB最短?(假设 ? . 河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)


M
N E
B

作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。 证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为:

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, M 在△ACE中,∵AC+CE>AE,


C D

∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN

N

E
B

所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。

2. 如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,? 要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么 地方,? 使所修的渠道最短,试在图中确定该点, 可

作法:作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线

a于点D,则点D为建抽水站的位置。 证明:在直线 a 上另外任取一点E,连接 AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E A B · · 在直线 a上,∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, D AE+EB=AE+EC E 在△ACE中,AE+EC>AC, 即 AE+EC>AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处,

a

C

某中学七(4)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如 图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上 摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果, 然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其 所走的总路程最短?

作法:1.作点C关于直线

G O OA 的 对称点点D, A H C 2. 作点C关于直线 OB N . 的对称点点E, E . B 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N, 则CM+MN+CN最短

D M

证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… D ∵点D,点C关于直线OA对称, G M O 点G.H在OA上,∴DG=CG, A H DM=CM, C N . 同理NC=NE,HC=HE, E ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, . B CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE>DE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HC>CM+CN+MN
即CM+CN+MN最短

? 4. 如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要

从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到 河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一 天的最短路线, 作法:1.作点C关于直线
A

F G
O

OA 的 对称点点F, H · C 2. 作点D关于直线 OB D · 的对称点点E, B 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H, 则CG+GH+DH最短

E

证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… ∵点F,点C关于直线OA对称,点G.M在OA上, F ∴GF=GC,FM=CM, G O M 同理HD=HE,ND=NE, A H ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, · C N CG+GH+HD=FG+GH+HE, D · E 在四边形EFGH

中, B ∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HD>CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短

4、如图,在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB=90°,点D为BC的中点,DE⊥AB, 垂足为点E,过点B作BF∥AC交DE的延长线 于点F,连接CF, (1)求证:AD ⊥CF (2)连接AF,试判断△ACF的形状,并 C 说明理由。
D F A E

B

F

5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90, DE是AB的垂直平分线,连接AE, ∠CAE:∠DAE=1:2,求∠B的 度数。 C
E

B

D

A

6.如下图△ABC中,AC=16cm, DE为AB的垂直平分线, △BCE的周长为26cm,求BC 的长。
D

A

E B

C

7.如图:在△ABC中,DE是AC的垂直 平分线,AC=5厘米,△ABD的周长等 于13厘米,则△ABC的周长 18厘米 是 。

A E

B

D

C

三.(等腰三角形)知识点回顾

1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。(三线合一) 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(等角对等边)

四.(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都 等于600 。 2、等边三角形的判定: ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它 所对的直角边等于斜边的一半。

练习:
1、如图,在△ABC中,AB=AC时,

A

(1)∵AD⊥BC
∴∠ ____= ∠_____;____=____ BAD CAD BD CD (2) ∵AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____ BAD AD BC CAD B (3) ∵ AD是角平分线 ∵____ ⊥____;_____=____ AD BC BD CD

D

C

2、“有一个等腰三角形的两条边长 20cm 分别是4cm和8cm,则周长为

3、若等腰三角形的一个角为400, 则另外两个角的度数为 700,700 或 400,1000

4、已知,如图: AB=AC AD=DC=BC 360 则∠A=
A

D C

B

5、已知,如图AB=AB=CD AD=BD 则∠BAC= 1080
A

B D

C

课堂练习:
1、哪个在镜子中的像跟原来的一样?(直 线表示进镜子、垂直放置在纸条前)

口 木 E 目 人 晶
★ ★ ★ ★ ★

S

N 中 田
★ ★

6、如图,在△ABC中, AB=AC=16cm,AB的垂直平分线 交AC于D,如果BC=10cm,那么 26cm △BCD的周长是_______cm.
A

E

D B
C

7、如图,P、Q是△ABC边上的两点, BP=PQ=QC=AP=AQ, 求∠BAC的度数。 A

B

P

Q

C

6、等腰三角形的一个角为100°, 底角为_____ 7、等腰三角形的周长为16cm,腰比 底长2cm,则腰长为_______ 8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边 长为8cm,则它的周长是 。
A

9、如下图△ABC中, AC=16cm,DE为AB的垂直平 D 分线, △BCE的周长为26cm, 求BC的长。
B

E
C

作业布置:
已知,如图:△ABC中 AB=AC E为AC延长线上的一点 且CE=BD

DE交BC于F (提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可) 求证:DF=EF A

D C
E

B

G F


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