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最大面积是多少

发布时间:2013-12-29 11:52:01  

第二章 二次函数

7.最大面积是多少

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:由简单的二次函数y=x2开始,然后是y=ax2,y=ax2+c,最后是y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。

学生的活动经验基础:通过第七节的学习,学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程,对解决这类问题有了处理经验。

二、教学任务分析

本节课将进一步利用二次函数解决问题,是上一节内容的进一步升华和提高,具体的教学目标如下:

(一)知识与技能

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

(二)过程与方法

1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力.

2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力.

(三)情感态度与价值观

1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2.能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格.

3.进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学 1

方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题.

三、教学过程分析

本节课分为五个环节,分别是:创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课时小结、课后作业

第一环节 创设问题情境,引入新课

上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题,知道了求最大利润就是求二次函数的最大值,实际上就是利用二次函数来解决实际问题.解决这类问题的关键是要审清题意,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,建立数学模型。在此基础上,利用我们所学过的数学知识,逐步得到问题的解答过程.

本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题.

活动内容:由四个实际问题构成

1.问题一:如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.

(1)设长方形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?

2

(2)设长方形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 问题一的设计目的:

对于这个问题,教师将其作为例题,不论是对问题本身的分析,还是具体的解法过程,都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下:

分析:(1)要求AD边的长度,即求BC边的长度,而BC是△EBC中的一边,因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF,得40?xBC3.所以AD=BC=(40-x). ?40304

3(2)要求面积y的最大值,即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值,就4EBBC即?EAAF

转化为数学问题了.

下面请小组开始讨论并写出解题步骤.

(1)∵BC∥AD,

∴△EBC∽△EAF.∴EBBC. ?EAAF

又AB=x,BE=40-x, 40?xBC3.∴BC=(40-x). ?40304

33∴AD=BC=(40-x)=30-x. 44

33(2)y=AB·AD=x(30-x)=-x2+30x 44

3=-(x2-40x+400-400) 4

3=-(x2-40x+400)+300 4

3=-(x-20)2+300. 4∴

当x=20时,y最大=300.

即当x取20m时,y的值最大,最大值是300m2.

2.问题二:将问题一变式:“设AD边的长为x m,则问题会怎样呢?” 解:∵DC∥AB,

3

∴△FDC∽△FAE. ∴DCFD. ?AEFA

∵AD=x,FD=30-x. DC30?x. ?4030

4∴DC=(30-x). 3

4∴AB=DC=(30-x). 3

4y=AB·AD=x·(30-x) 3

4=-x2+40x 3

4=-(x2-30x+225-225) 3

4=-(x-15)2+300. 3∴

当x=15时,y最大=300.

即当AD的长为15m时,长方形的面积最大,最大面积是300m2. 活动目的:

在活动解决之初(末),揭示该问题与问题一的关系

3.问题三:对问题一再变式

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.

M

30AmC

OD

40mN

(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示?

4

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

活动目的:

有了前面两题作基础,这个问题可以留给学生自己解决,作为练习

4.问题四:

某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

分析:x为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,即2xy+?2x最大,而由于4y+4x+3x+πx=7x+4y+πx=15,所以y=2

11115?7x??x15?7x??x.面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+42242

x(15?7x??x)=-3.5x2+7.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了,只要2

化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可.

解:∵7x+4y+πx=15,

∴y=15?7x??x. 4

设窗户的面积是S(m2),则

1πx2+2xy 2

115?7x??x=πx2+2x· 24

1x(15?7x??x)=πx2+ 22S=

5

=-3.5x2+7.5x

15x) 7

151575=-3.5(x-)2+. 14392

15∴当x=≈1.07时, 14

1575S最大=≈4.02. 392=-3.5(x2-

即当x≈1.07m时,S最大≈4.02m2,此时,窗户通过的光线最多.

实际教学效果:

问题四中的数量关系,较前面3个问题,处理起来比较繁琐,教师要给予学生及时的指导和帮助。

第二环节 归纳升华

活动内容:

同学们能否根据前面的例子作一下总结,解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流.

活动目的:

通过前面例题的学习和感受,学生讨论交流,在教师的帮助下归纳出: 分析已知量与未知量 转化为数学问题.

解决此类问题的基本思路是:

(1)理解问题;

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;

(3)用数学的方式表示它们之间的关系;

(4)做函数求解;

(5)检验结果的合理性,拓展等.

第三环节 课堂练习,活动探究

6

活动内容:

1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用

竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角

形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点

B、C、Q、R在同一直线l上,当

C、Q两点重合时,等腰△PQR以

1cm/s的速度沿直线l向左方向开

B 始匀速运动,ts后正方形与等腰三

角形重合部分面积为Scm2,解答下列问题:

(1)当t=3s时,求S的值;

(2)当t=3s时,求S的值;

(3)当5s≤t≤8s时,求S与t的函数关系式,并求S的最大值。

第四环节 课时小结

本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题,增强了应用数学知识的意识,获得了利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值.

第五环节 课后作业

习题2.8 1、2

7

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