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月考数学试题

发布时间:2013-12-29 14:54:26  

2013-2014学年度蒙阳中学高2011级12月月考数学试题

一、选择题(每小题5分,共计50分) 1.(理科)设a?R,则“a平行”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1.(文科)已知全集U集合A.C.

?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与直线l2:x?(a?1)y?4?0

?R,集合A??x|?2≤x≤3?,B??x|x??1或x?4?,那么

A?(CUB)等于( )

B. D.

?x|?2≤x?4?

?x|x≤3或x≥4? ?x|?1≤x≤3?

?x|?2≤x??1?

?1?i,则

3?4i

?( )

z?1

A. ?2?i B. 2?i C. ?1?2i D. 1?2i

2. 设复数z3.定义行列式运算

a1a2a3a4

?a1a4?a2a3.将函数f(x

)?

sin2xcos2x的图象向左平移

?6

个单

位得函数g(x)的图象,则g(x)的图象的一个对称中心为 ( ) A.(

?

,0) B. (,0) C. (,0) D. (,0) 43212

???

4.已知等差数列

?an?的公差d?0,前n项和Sn满足:S20?0,S21?0,那么数列?Sn? 中最

B.S10

C.S19

D.S20

大的值是( ) A.S9

5.已知函数

f(x)?x?4?

9

(x??1),当x=a时,f(x)取得最小值,则在直角坐标系中,函数x?1

1x?1

g(x

)?()的大致图象为( )

1

C

D

6.设a、b是不同的直线,?、?是不同的平面,则下列命题:①若a②若a//?,?则?

?b,a??,则b//?;

??,b??,

??,则a??;③若a??,???,则a//?;④若a?b,a

??

.其中正确命题的个数是( )

A.0B.1C.2D.3

7.已知?ABC的外接圆半径为( )

????????????????????

1,圆心为O,且3OA?4OB?5OC?0,则OC?AB的值为

1166

B. C. ?D.

5 5 5 5 8.执行右边的程序框图,如果输入a?4,那么输出的n

A.?

的值为( )

A.3B.4C.5D.6

9.在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作三角形,事件“所得三角形的面积等于1”的概率为 ( ) A.

111 B. C.632

D.

2

3

10.设函数

?x?[x],x?0f(x)??,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[?1.1]??2,

f(x?1),x?0?

2

[?]?3.若直线y?kx?k(k?0)与函数f(x)的图象恰好有3个不同的交点,则实数k的取值范围是 ( ) A.(0,11111) B. [,) C. (,1) D. [,1) 44334

二、填空题(每小题5分,共计20分。)

11.

(理科)(111.(文科)设曲线6(14的展开式中x的系数是________. y?eax在点(0,1)处的切线与直线x?2y?1?0垂直,则a? .

?______. 12.15.已知等差数列共有2n?1项,其中奇数项和为290,偶数项和为261,则an?1

13.在?ABC中,sinA?sinB?sinC?sinBsinC,则222A的取值范围是________.

14.若不等式

是 . 1(m2?m)2x?()x?1对一切x?(??,?1]恒成立,则实数m的取值范围2

?x?2y?3?0?15.已知变量x,y满足约束条件?x?3y?3?0,若目标函数z?ax?y(a?0)仅在点(3,0)处

?y?1?0?

取得最大值,则a的取值范围是

三、解答题(共计75分)

16.(本小题12分)已知等差数列{an}满足:a3?7,a5?a7?26,{an}的前n项和为Sn.

(1)求an及Sn;(2)令bn?1

an?12(n?N*),求数列{bn}的前n项和Tn.

17.(本小题12分)?ABC中,设a、b、c分别为角A、B、C的对边,角A的平分线AD交BC边于D,A?60?.

????????

(1

)求证:AD?;(2)若BD?2DC,AD?a、b、c的值. 18.(本小题12分,第1小问,文理科都做)已知正方形ABCD的边长为2,AC?BD=O,将正

AC?a,得到三棱锥A?BCD,如图所示。

?(1)当a=2时,求证:AO?平面BCD;(2)(理科)当二面角A?BD?C的大小为120时,

求二面角A?BC?D的正切值。(2)(文科)当a=2时,求三棱锥A-BCD的体积。 方形ABCD沿对角线BD折起,使

19.(本小题12分,第1小问,文理科都做)为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率

3

之比为1:2:3,其中第二小组的频数为12.

频率

体重

(1)求该校报考飞行员的总人数;

(2)(理科)以这所学校的样本来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设X表示体重超过60公斤的学生人数,求X的分布列和数学期望.

(2)(文科)从第一、二、三小组按分层抽样随机抽6名同学测体重,在抽取的6名同学中任取二名同学测体重,求至少抽1名同学是第三小组的同学的概率。

20.(本小题13分)定议在R上的单调函数f(x)满足f(2)?3,且对任意x,y?R都有2

xx9x?2)?0(1)求证:f(x)为奇函数;(2)若f(k?3)?f(3?f(x?y)?f(x)?f(y).

对任意x?R恒成立,求实数k的取值范围.

21.(理科)(本小题14分)已知函数g(x)?x,f(x)?g(x)?ax. lnx

(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数

(Ⅲ)若存在x1,x2?[e,e

实数a的取值范围.

21.(文科).(本小题满分14分)

已知x2f(x)在区间(1,??)上是减函数,求实数a的最小值;](e?2.71828???是自然对数的底数)使f(x1)?f?(x2)?a,求?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点。

f?x?的单调区间; (Ⅰ)求a;(Ⅱ)求函数

(Ⅲ)若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点,求b的取值范围。

4

参考答案

1.A

【解析】

试题分析:若直线l1:a?x2?y1?与0

? 1?直线l2:x?(a?1)y?4?平0行,则a(a?1)?

所以“a

选A 2?0?a?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与直线l2:x?(a?1)y?4?0平行”的充分不必要条件,

考点:两直线平行的充要条件

2.B

【解析】

试题分析:?z?1?i,?3?4i3?4i3?4i(3?4i)(2?i)???2?i,选B. ?z?1z?11?i?1(2?i)(2?i)

考点:复数的运算.

3.C

【解析】

试题分析: f(x

)?sin2x?sin2x?2x?2sin(2x?) 3cos2x?

???个单位得函数g(x)?2sin[2(x?)?]?2sin2x的图象 636

k??由2x?k?得x?,取k?1得g(x)的图象的一个对称中心为(,0) 22将函数f(x)的图象向左平移

考点: 1、三角函数的图象的平移、对称中心;2、三角恒等变换

4.B

【解析】 试题分析:设S20

所以a10?a1?a20a?a?20?0,得a10?a11?0, S21?121?21?0,得a11?0,22?0,故S10为最大值,选B.

考点: 等差数列通项公式及前n项和.

5.B

【解析】 试题分析:y?x?4?999?x?1+?5,因为x??1,所以x?1?0,?0,所以由均值

x?1x?1x?1

不等式得y?x?1+99?5??5?1,当且仅当x?1?, x?1x?1

,又即11(x?1)2?9,所以x?1?3,x?2时取等号,所以a?2,所以g(x)?()x?1?()x?1

a2

1

1x?1g(x)?()2?1x?1?(),x??1,所以选B. ??2

?2x?1,x??1?

考点:1、重要不等式;2、函数的图象.

6.B

【解析】

试题分析:对①:a

对②:a//?,?

对③:a??,??b,a??,有可能b??; 时,a??,a//?,a??,a为?的斜线都有可能; 时,有可能a??;对④显然成立.所以选B ????

考点:空间直线与直线、平面与平面的平行垂直关系的性质与判定

7.A

【解析】 ?????????1???

试题分析:由已知OC??(3OA?4OB) 5??????????????????????????1???1???

所以OC?AB??(3OA?4OB)?(OB?OA)??(?OA?OB?1) 55

????????????????????????????

又由3OA?4OB??5OC平方得:9?12OA?OB?16?25?OA?OB?0 ?????????????1???11所以OC?AB??(?OA?OB?1)??(?0?1)?? 555

考点:向量的运算

8.A

【解析】

试题分析:由程序框图可知每次循环的结果如下:

第一步得:P?1,Q?3,n?1;第二步得:P?1?4?5,Q?5,n?2;

第三步得:P?5?42?21,Q?7,n?3.n?3时,P?21?Q?7,故输出n?3

考点:程序框图

9.B

【解析】

试题分析:由题意可知a??2,4?,b??1,3?,????=(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),从中取两个向量,a

21?,选B,如图所示 63基本事件总数为6,分别为(2,1)和(2,3);(2,1)和(4,1);(2,1)和(4,3);(2,3)和(4,1);(2,3)和(4,3);(4,1)和(4,3),其中,当所取的向量为(2,1)和(4,1);(2,1)和(4,3);(2,3)和(4,3)时,所得三角形OAB面积为1,所以P? 2

在图1中,S?OAB?1111?2?1?1,在图2中,S?OAB??4?3-?2?1-?4?2?1,选B. 2222

考点:1、向量;2、图形的面积;3、古典概型.

10.B

【解析】

奇132n?1S偶?a2?a4?......?a2n

两式相减,可得an?1

n?12 n(a2?a2n)??nan?1?261,2?29. 3

考点:等差数列的前项n和.

13.?0,?

??? ?3?

【解析】

试题分析:由正弦定理得a?b?c?bc222,即b2?c2?a2?1bc,由余弦定理得

b2?c2?a21???cosA??,?A??0,?. 2bc2?3?

考点:正弦定理、余弦定理.

14.?2?m?3

【解析】

试题分析:(m

于不等式m221111?m)2x?()x?1可变形为m2?m?()x?[()x]2,设t?()x,则原条件等价2222?m?t?t2在t?2时恒成立,显然t?t2在t?2时最小值为6,所以m2?m?6,解得?2?m?3.

考点:不等式恒成立、指数函数、二次函数.

15.(1,??) 2

【解析】

?x?2y?3?0?试题分析:作出?x?3y?3?0表示的区域如图所示

?y?1?0?

由z?ax?y(a?0)得y??ax?z,其斜率k??a

由题设及图可得:?a??

11,所以a? 22

4

16.(1)an

【解析】 (2)?2n?1,Sn?n2?2n;n. 4(n?1)

试题分析:(1)等差数列问题常可转化为其基本量首项和公差的问题,这是最基本的思路,但有时如果充分利用等差数列的性质,可能达到简化计算的目的,本题可用首项和公差表示a3,a5

和公差,然后再用等差数列的通项公式和前?a7,解之即得首项(2)把(1)中的结果an代入n项的和公式求出结果;

bn?1,再根据其特征选择合适的方法求前n项和Tn,本题是利用裂项相消法求和. an2?1

试题解析:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 1分

由a3?7,a5?a7?26,解得a1?3,d?2. 5分 n(a1?an)2,所以an?2n?1,Sn?n?2n. 7分 2

11112(2)因为an?2n?1,所以an?1?4n(n?1),因此bn??(?). 9分 4n(n?1)4nn?1

11111111n故Tn?b1?b2???bn?(1???????, 13分 )?(1?)?4223nn?14n?14(n?1)

n所以数列{bn}的前n项和Tn?. 14分 4(n?1)由于an?a1?(n?1)d,Sn?

考点:等差数列的通项公式、前n项和的公式、裂项相消法.

17.(1)详见解析;(2

)a

【解析】

试题分析:(1)将?ABC分割成两个三角形?ABD和?ACD,利用S?ABC?b?6,c?12. ?S?ABD?S?ACD并结合

”并结合(1)中的结论面积公式来证明AD?cBD;(2)利用角平分线的相关结论得到“?bDC

列方程组求出b和c的值,最后再利用余弦定理求a的值.

试题解析:(1)S?ABC

即?S?ABD?S?ACD 111b?c?sin30??c?AD?sin30??b?AD?sin30?

222

5分 ?AD?

????????cBD(2)BD?2DC ?? ?2 ?c?2b ① bDC

又 7分

??bc?4?b?c? ② 9分

5

由①②解得b?6,c

又在?ABC中 a2?12 10分 ?b2?c2?2bccosB?62?122?2?6?12?

12分 1 2?a?

考点:1.面积公式;2.角平分线的性质;3.余弦定理

18.(1)见解析;(2

.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的二面角的求解线面垂直的证明。

(1)证明:根据题意,在?

AOC中,

所以AC?a?2,AO?CO? AC2?AO2?CO2,所以AO?CO 2分

因为AC、BD是正方形ABCD的对角线,所以

因为BD?COAO?BD ?O,CO?平面BCD,BD?平面BCD,所以AO?平面BCD 4分

(2)解:由(1)知,CO?OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

O(0,0,0,),DCB(0,.

设A(x0,0,z0)(x0?????????0),则OA?(x0,0,z0),OD? 6分

?

又设平面ABD的法向量为n?(x1,y1,z1),

????????n?OA?0?x0x1?z0z1?0则????? ,即??1?0?n?OD?0?

所以y1?0,令x1?z0,则z1??x0所以n?(z0,0,?x0) 8分

???因为平面BCD的一个法向量m?(0,0,1,)且二面角A-BD-C的大小为120, ???1?22所以|cos?m,n?|?|cos120|?,得

z0?3x0,因为AO??

2

解得x0??z0?所以A(?。 9分 2222

?????????

设平面ABC

的法向量为l?(x2,y2,z2),因为BA=(?,BC?

22

6

???????l?BA?0x??z2?0??22则?????,即

令x2?1,则y2??1,z2?

???l?BC?0??022

?

所以l?(1,? 10分

设二面角A-BC-D的平面角为?,

???

所以cos??|cos?l,m?|?3?

所以tan??5所以二面角A-BC-D

的正切值为

19.(1)报考飞行员的人数为n

(2)随机变量

. 12分 ?48;

的分布列为: EX?3?? 88

【解析】

试题分析:(1)在频率分布直方图中,各组频率之和等于1,由此可得一方程,从而求出前三组的频率;再根据第二组的频数可求得总数;(2)用样本的频率作为总体的概率,可得任选一人体重超过65公斤的概率.X服从二项分布,由二项分布概率公式可求出分布列,用二项分布数学期望的公式可求X的期望. 试题解析:(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3,则由条件可得:

p2?2p1??p3?3p1解得p1?0.125,p2?0.25,p3?0.375 ??p?p?p?(0.037?0.013)?5?123?1

又因为p2?0.25?12,故n?48 6分 n

(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为

5 8分 8

k5k33?k所以X服从二项分布,p(X?k)?C3()()(k?0,1,2,3) 88

所以随机变量

的分布列为:

EX?3?? 12分 88 p?p3?(0.037?0.013)?5?

考点:1、频率分布直方图;2、用样本估计总体;3、二项分布的分布列和数学期望

7

20.(1)详见解析:(2

)k

【解析】

试题分析:(1)赋值法求解

利用奇偶性化为k?3x??1? (2)先研究函数的单调性,再f(0)?0,再寻找f(?x),f(x)之间的关系;??3x?9x?2,即32x?(1?k)?3x?2?0对任意的t?0恒成立,再转化为二次函数知识求解.本题考查了恒成立问题以及化归与转化思想.

试题解析:(1)证明:

令x

令f(x?y)?f(x)?f(y)(x,y?R),① ?y?0,代入①式,得f(0?0)?f(0)?f(0),即f(0)?0. y??x,代入①式,得f(x?x)?f(x)?f(?x),又f(0)?0,

f(x)?f(?x).即f(?x)??f(x)对任意x?R成立, 则有0?

所以f(x)是奇函数. 4分

(2)解:

所以f(2)?3?0,即f(2)?f(0),又f(x)在R上是单调函数, 2f(x)在R上是增函数.

f(x)是奇函数.f(k?3x)??f(3x?9x?2)?f(?3x?9x?2), 又由(1)

?k?3x??3x?9x?2,32x?(1?k)?3x?2?0对任意x?R成立.

令t?3x?0,问题等价于t2?(1?k)t?2?0对任意t?0恒成立. 8分

2令g(t)?t

当?(1?k)t?2,其对称轴t?1?k2. 1?k?0时,即k??1时,g(0)?2?0,符合题意; 2

?1?k?01?k?当时,对任意恒成立

?t?0,g(t)?0?0?22???(1?k)2?4?2?0?

解得?1?k??1? 13分

??1?f(k?3x)?f(3x?9x?2)?0对任意x?R恒成立. 综上所述当k

考点:1.函数奇偶性的证明;2.二次函数恒成立问题;3.化归与转化思想.

21.(Ⅰ)函数g?x?的减区间是?0,1?,?1,e?,增区间是?e,???;

8

(Ⅱ)a的最小值为

【解析】 111;(Ⅲ)a??424e2.

试题分析:(Ⅰ)求出g(x)的导数g??x??lnx?1

?lnx?2,由g??x??lnx?1

?lnx?2的符号确定g(x)的单调区

间;

(Ⅱ)求出f(x)的导数f?(x)?lnx?1lnx?1?,由?af(x)??a?0在(1,??)上恒成立求得22(lnx)(lnx)

x1,x2是独立的.若存在实数a的最小值;(Ⅲ)注意左右两边的自变量x1,x2?[e,e2]使

f(x1)?f?(x2)?a成立,则f?x?min?f??x?max?a.故首先求出f?x?min,f??x?max?a然后解不等式求实数a的取值范围.

试题解析:解:(Ⅰ)由??x?0得, x?0且x?1,则函数g?x?的定义域为?0,1???1,???,

?lnx?0

且g??x??lnx?1

?lnx?2,令g??x??0,即lnx?1?0,解得x?e

当0?x?e且x?1时, g??x??0;当x?e时g??x??0,

?函数g?x?的减区间是?0,1?,?1,e?,增区间是?e,??? 4分 (Ⅱ)由题意得:函数f(x)?x?ax在(1,??)上是减函数, lnx

?f?(x)?lnx?1lnx?1在上恒成立,即在(1,??)上恒成立 ?a?0a?(1,??)22(lnx)(lnx)

令h(x)?lnx?1,x?(1,??),因此a?h(x)max即可 (lnx)2

h(x)?lnx?11111211?????(?)??,x?(1,??) 22(lnx)(lnx)lnxlnx244

11?,即x?e2时取等号 lnx2

111?h(x)max?因此a?,故a的最小值为. 9分 444当且仅当

(Ⅲ)命题“若存在x1,x2

“当x???e,e22???e,e??,使f?x1??f??x2??a,”等价于 ??时,有f?x?min?f??x?max?a”,

9

11

???时,,则, fx??afx?a??????maxmax

44

12

?e,e故问题等价于:“当x??时,有”, fx?????min

4

由(Ⅱ)得,当x???e,e

2

?f??x??

(1)当

lnx?1

?lnx?

1

4

2

?a,由(Ⅱ)知

lnx?1?1?

??0,?, 2

(lnx)?4?

上恒成立,因此

2

f?x?在??e,e??

a?

时,

2

f??x??0在??e,e??

上为减函数,则

f?x?min

e2111

?f?e???ae2?,故a??2

2424e

2

,

(2)当a?0时,则

f?(x)?0在[e,e2]上恒成立,因此f(x)?0在[e,e2]上为增函数,

f(x)min?f(e)?e?ae?e?

?

1

,不合题意 4

(3)当0?a函数, 故由

1111211

时,由于f?(x)????a??(?)??a在[e,e2]上为增2

(lnx)lnxlnx244

1

f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)],即[?a,?a]

4

f?(x)的单调性和值域知,存在唯一x?(e,e2),使f?(x)?0,且满足:当x?(e,x0)时,

f?(x)?0,f(x)为减函数;当x?(x0,e2)时,f?(x)?0,f(x)为增函数;

所以,

f(x)min?f(x0)?

x01

?ax0?,x0?(e,e2), lnx04

所以,a?

11111111

与矛盾,不合题意 ??????0?a?

lnx04x0lne24e22444

综上,得a?

11

?24e2

. 14分

10

参考答案

一、选择题

1.(理)A;1.(文) D;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.A;8.A;9.B;10.B.

二、填空题.

11.(理科)?3 ;11.(文科)2 ; 12.29; 13.??0,??

?3??;14.;15.(1

2,??).

三、解答题

16.【解】

(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 1分 由a3?7,a5?a7?26,解得a1?3,d?2. 5分 由于an(a1?an)

n?a1?(n?1)d,Sn?2,所以a2

n?2n?1,Sn?n?2n. 7分

(2)因为a1,所以a21111

n?2n?n?1?4n(n?1),因此bn?4n(n?1)?4(n?n?1).

故T11111111n

n?b1?b2???bn?4(1?2?2?3???n?n?1)?4(1?n?1)?4(n?1),所以数列{b}的前n项和Tn

nn?4(n?1).

17.【解】

(1)S?ABC?S?ABD?S?ACD 即1b?c?sin30??1c?AD?sin30??1

2b?AD?sin30?

22

?AD? 5分

????????(2)BD?2DC ?cBD

b?DC?2 ?c?2b ① 7分

又??bc?4?b?c? ② 9分

由①②解得b?6,c?12 10分

又在?ABC中 a2?b2?c2?2bccosB?62?122?2?6?12?

1

2

?a? 12分

18.【解】

(1)证明:根据题意,在?

AOC中,AC?a?2,AO?CO?

所以AC2?AO2?CO2,所以AO?CO 2分 11 分 分 9 10

因为AC、BD是正方形ABCD的对角线,所以

因为BD?COAO?BD ?O,CO?平面BCD,BD?平面BCD,所以AO?平面BCD 4分

(2)(理科)解:由(1)知,CO?OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

O(0,0,0,),DCB(0,.

????????

设A(x0,0,z0)(x0?0),则OA?(x0,0,z0),OD? 6分

?

又设平面ABD的法向量为n?(x1,y1,z1),

????????n?OA?0?x0x1?z0z1?0则????? ,即??n?OD?01?0?

?

所以y1?0,令x1?z0,则z1??x0所以n?(z0,0,?x0) 8分 因为平面BCD的一个法向量m???(0,0,1,)且二面角A-BD-C的大小为120?, ???1?22所以|cos?m,n?|?|cos120|?,得

z0?3x0,因为AO??

2

解得x0??z0?所以A(?。 9分 22?????????

设平面ABC

的法向量为l?(x2,y2,z2),因为BA=(?,BC?

???????l?BA?0x??z2?0??22则?????,即

令x2?1,则y2??1,z2?

????l?BC?0??022

?

所以l?(1,? 10分

设二面角A-BC-D的平面角为?,

???

所以cos??|cos?l,m?|?3?

所以tan??所以二面角A-BC-D

的正切值为. 12分

(2)(文科)解:V=2√2/3(注意:文科第1问6分,第2问6分)

19.【解】

(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为p1,p2,p3,则由条件可得:

12

p2?2p1??p3?3p1解得p1?0.125,p2?0.25,p3?0.375 ??p?p?p?(0.037?0.013)?5?123?1

又因为p2?0.25?12,故n?48 6分 n

(2)(理科)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 5 8分 8

k5k33?k所以X服从二项分布,p(X?k)?C3()()(k?0,1,2,3) 88

所以随机变量

的分布列为:

EX?3?? 12分 88 p?p3?(0.037?0.013)?5?

(2)(文科)p=4/5(文科第二问6分)

20.(1)证明:

令x

令f(x?y)?f(x)?f(y)(x,y?R),① ?y?0,代入①式,得f(0?0)?f(0)?f(0),即f(0)?0. y??x,代入①式,得f(x?x)?f(x)?f(?x),又f(0)?0,

f(x)?f(?x).即f(?x)??f(x)对任意x?R成立, 则有0?

所以f(x)是奇函数. 4分

(2)解:

所以f(2)?3?0,即f(2)?f(0),又f(x)在R上是单调函数, 2f(x)在R上是增函数.

f(x)是奇函数.f(k?3x)??f(3x?9x?2)?f(?3x?9x?2), 又由(1)

?k?3x??3x?9x?2,32x?(1?k)?3x?2?0对任意x?R成立.

令t?3x?0,问题等价于t2?(1?k)t?2?0对任意t?0恒成立. 8分

2令g(t)?t

当?(1?k)t?2,其对称轴t?1?k2. 1?k?0时,即k??1时,g(0)?2?0,符合题意; 2

13

?1?k?01?k?当

?0时,对任意t?0,g(t)?0恒成立??22???(1?k)2?4?2?0?

解得?1?k??1? 12分

21.(理科)【解】

(Ⅰ)由??x?0得, x?0且x?1,则函数g?x?的定义域为?0,1???1,???,

?lnx?0

lnx?1且g??x???lnx?2,令g??x??0,即lnx?1?0,解得x?e

当0?x?e且x?1时, g??x??0;当x?e时g??x??0,

?函数g?x?的减区间是?0,1?,?1,e?,增区间是?e,??? 4分 (Ⅱ)由题意得:函数f(x)?x?ax在(1,??)上是减函数, lnx

?f?(x)?lnx?1lnx?1在上恒成立,即在(1,??)上恒成立 ?a?0a?(1,??)22(lnx)(lnx)

令h(x)?lnx?1,x?(1,??),因此a?h(x)max即可 (lnx)2

h(x)?lnx?11111211?????(?)??,x?(1,??) 22(lnx)(lnx)lnxlnx244

11?,即x?e2时取等号 lnx2

111?h(x)max?因此a?,故a的最小值为. 9分 444当且仅当

(Ⅲ)命题“若存在x1,x2

“当x???e,e22???e,e??,使f?x1??f??x2??a,”等价于 ??时,有f?x?min?f??x?max?a”,

211???时,,则, fx??afx?a???max??max?44

12?e,e故问题等价于:“当x??时,有”, fx?????min4由(Ⅱ)得,当x???e,e

?f??x??lnx?1

?lnx?2?a,由(Ⅱ)知lnx?1?1??0,?, (lnx)2??4?

14

(1)当a?1

4时,2f??x??0在??e,e??上恒成立,因此2f?x?在??e,e?? 上为减函数,则

f?x?mine2111?f?e???ae2?,故a??22424e2,

(2)当a?0时,

则f?(x)?0在[e,e2]上恒成立,因此f(x)?0在[e,e2]上为增函数, f(x)min?f(e)?e?ae?e?

?1,不合题意 4(3)当0?a

函数,

由1111211时,由于f?(x)????a??(?)??a在[e,e2]上为增2(lnx)lnxlnx2441f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)],即[?a,?a] 4f?(x)的单调性和值域知,存在唯一x?(e,e2),使f?(x)?0,且满足:当x?(e,x0)时,f?(x)?0,f(x)为减函数;当x?(x0,e2)时,f?(x)?0,f(x)为增函数; 所以,f(x)min?f(x0)?x01?ax0?,x0?(e,e2), lnx04

所以,a?11111111与矛盾,不合题意 ??????0?a?lnx04x0lne24e22444

综上,得a?11?24e2. 14分

21.(文科)【解】:(Ⅰ)因为

所以f'?x??a?2x?10 1?xf'?3??a?6?10?0 4

因此a?16。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f?x??16ln?1?x??x2?10x,x???1,???

f'?x??2?x2?4x?3?

1?x

当x?

当x?

所以??1,1???3,???时,f'?x??0 ?1,3?时,f'?x??0 f?x?的单调增区间是??1,1?,?3,???

15

f?x?的单调减区间是?1,3?。。。。。。。9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f

或x

所以

因此

在?1,3?内单调减少,在?3,???上单调增加,且当x?1?x?在??1,1?内单调增加,?3时,f'?x??0 f?x?的极大值为f?1??16ln2?9,极小值为f?3??32ln2?21 f?16??162?10?16?16ln2?9?f?1? f?e?2?1???32?11??21?f?3?

所以在f?x?的三个单调区间??1,1?,?1,3?,?3,???直线y?b有y?f?x?的图象各有一个交点,

f?3??b?f?1?

。。。。。。14分 ?32ln2?21,16ln2?9?。

当且仅当因此,b的取值范围为

16

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