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27.2.3求二次函数的关系式1

发布时间:2013-12-29 17:00:56  

华东师大版《数学 · 九年级(下)》

§27.2.3求二次函数的关系式 第一课时

1

回味知识点:

目前接触的二次函数的关系式有哪些?
(1)一般式 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) (2)顶点式 y ? a( x ? h) ? k (a ? 0)
2

顶点坐标(h,k)

* (3)交点式

y ? a( x ? x1 )( x ? x 2 )( a ? 0)
与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)
2

例1:已知:二次函数的图像经过点A(–1,6)、B(3, 0)、C(0,3),求这个函数的解析式。
解:设所求函数解析式为y=ax2+bx+c . 由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得
已知三点坐标,可设一般 ?a ? b ? c ? 6 求出a、b、 式y=ax2+bx+c, ? c的值呦! c ? 0 9a ? 3b ?

? ?c ? 3 ?

解这个方程组得a= 0.5,b= – 2.5,c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x2–2.5x+3
3

练一练
一个二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3, 10)三点,求这个二次函数关系式.

解: 设所求二次函数为y=ax2+bx+c,有这 个函数的图象过(0,1),可得c=1. 又由图象过(2,4)、(3,10),得
? 4a ? 2b ? 1 ? 4, 解得 a ? 3 ,b ? ? 3 . 2 2 ? ?9a ? 3b ? 1 ? 10. 因此,所求二次函数的关系式是
3 2 3 y ? x ? x ? 1. 2 2
4

例2:已知:二次函数的图像的顶点坐标为(–1,16) 且过B(3,0) 求这个函数的解析式。
解:设所求函数解析式为y=a(x-h)2+k. 因函数顶点坐标为(-1,16)
已知图象的顶点坐标或对称轴,可 ∴y=a(x+1)2+16

又因函数图象过(3,0) ∴0=a(3+1)2+16 解得a=-1

设顶点式y=a(x-h)2+k,易求a值呦!

∴所求得的函数解析式为y=-(x+1)2+16
5

做一做: 一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点 坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式。

解:设函数关系式为y=a(x-8)2-9. 因为它的图象过点(0,1), 所以1=a(0-8)2+9.
9 64 9 2 y ? (x -8) ? 9 64
6

解得

a?

所以所求函数关系式为

例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1与3,且图像

过(0,-3),求解析式.
分析:已知抛物线与x轴两交点坐标(1,0)(3,0),可设 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 解:由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3, ∴设解析式为y=a(x-1)(x-3), 又因图象过(0,-3), 已知图象与轴的两个交 ∴ a(0-1)(0-3)=-3, 点坐标,一般采用设交点 ∴a=-1 式:y=a(x-x1)(x-x2),然后 化为一般式。 ∴ y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3 练习:已知抛物线与x轴两交点横坐标为-2,3 且图像过(4,-3), 求解析式.
7

例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在 直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。求解析式。
分析:已知图象的最大值,其实是告知了顶点坐标的纵坐标;因顶 点又在一次函数的图象上,所以代入可求顶点的横坐标;这样再设 二次函数为顶点式,代入顶点坐标即可求出解析式. 解:∵二次函

数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴ x+1=2 即:x=2 ∴顶点坐标为( 1 , 2) 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x
8

练一练
已知:二次函数的图像的对称轴为直线x=–3,并 且函数有最大值为5,图像经过点 (–1,–3),求这个 函数的解析式。
解:由题意可知,该函数的顶点的坐标是(-3,5), 所以,设y=a(x+3)2 +5 又抛物线经过点(-1,-3),得 -3=a(-1+3)2 +5 ∴ a=-2 ∴所求的函数解析式为y= –2(x+3)2 +5 即y= –2x2 –12x–13
9

看图象求解析式:

*例5 已知:如图,求二次函数关系式y=ax2+bx+c.
解:如图,由题意得:抛物线与x轴交点 的横坐标为-1和3 ∴设所求函数关系式为y=a(x+1)(x-3)
B

4

3
A

C

2

o

∵图象过点(0,3)
5

-1
-2 -4

3

∴3=a(0+1)(0-3) ∴a=-1 ∴所求的函数关系式为y=-(x+1)(x-3) 即y=–x2+2x+3

10

练一练 已知:二次函数 的图像的顶点的坐标 是(1,4),并且抛物 线与x轴的两个交点 的距离是4,求这个函 数的解析式
-5

y
4

2

A O
-2

B
5

x x=1

-4

11

归纳小结
二次函数解析式的确定: 求二次函数解析式可用待定系数法.
(1)当已知图象上任意三点的坐标或已知三对对应值时,

设一般式:

? ax 2 ? bx ? c y
y ? a? x ? h ? ? k
2

(2)当已知顶点坐标或最值时,设顶点式: (3)过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数解析式 设交点式:

y ? a( x ? x1 )( x ? x 2 )(a ? 0)

12

作 业

1.课本P21页练习1、2、3题 2.课本P22页4题

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