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27.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质2

发布时间:2013-12-29 17:01:00  

华东师大版《数学 · 九年级(下)》

§27.2.5二次函数的图象
y=ax2+bx+c 的图象和性质

第六课时

1

1.函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么?

b 对称轴是:x ? ? 2a

b 4ac ? b 2 顶点坐标是:(? , ) 2a 4a

2.说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标:

y ? 3x ? 4 x ? 1
2

y ? ?2 x ? x ? 3
2

思考:函数y=ax2+bx+c的性质与系数a,b,c有何关系?

抛物线位置与系数a,b,c的关系:
⑴a决定抛物线的开口方向:
a>0 开口向上 a<0 开口向下

⑵a,b决定抛物线对称轴的位置:
直线x ? ? b 2a

①x>0 ②x=0 ③x<0

a,b异号 b=0 a,b同号

位于y轴右侧; y轴 位于y轴左侧;

⑶c决定抛物线与y轴交点的位置:
① ② ③ c>0 c=0 c<0
b ? 2a

图象与y轴交点在x轴上方; 图象过原点; 图象与y轴交点在x轴下方。

⑷a,b,c决定顶点坐标:
4ac ? b 2 4a

(5)a决定最值:
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, y 最值 ? 2a 4a

例1.已知 y ? x 2 ? 3x ? 2 .
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标并作出函数的草图; (3)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的 增大而减小;当x何值时,y>0;当x何值时, y=0;当x何值时,y<0.

解:(1)? ?

3 b 3 ?? ?? 2 ?1 2 2a

∴与x轴的交点坐标为: (-2,0) 与(-1,0)

与y轴的交点坐标为: (0,2) x=-1.5
-2

2 4ac ? b 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 4 ?1 4 4a ∴抛物线的开口:向上 对称轴:直线x=-3/2 顶点坐标:(-3/2,-1/4)

y
2

-1
0

当x=-3/2时,y最小=-1/4 (2)令y=0,则有:

? 3 1? ?? ,? ? ? 2 4?

x

x 2 ? 3x ? 2 ? 0

解得:x1=-2 , x2=-1
令x=0,则有: y ? 2

当x<-1.5时,y随x的增大而增大; x>-1.5时,y随x的增大而减小; 当x>-1和x<-2时,y>0; x=-1和 x=-2时,y=0;当-2<x<-1时,y<0.

4

练习:已知 y ? ? x 2 ? 6 x ? 8 .
(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标并作出函数的草图; (3)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的 增大而减小;当x何值时,y>0;当x何值时, y=0;当x何值时,y<0.

5

例2.已知二次函数 y ? m

x

2

? 2( m ? 2 ) x ? m ? 3

(1)当m取何值时,函数图象关于y轴对称; (2)当m取何值时,函数图象与y轴交点纵坐标是1; (3)当m取何值时,函数最小值是-2.
解:(1) ∵函数图象关于y轴对称 b ?? ?0 即:b=0 2a ∴2(m+2)=0 ∴m=-2 (2) ∵函数图象与y轴交点的纵坐标为1 (3) ∵函数最小值是-2
4ac ? b 2 ? ?0 4a

4m?m ? 3? ? ?2?m ? 2?? ? ?0 4m
2

∴m=-7/4

∴c=1
∴m-3=1 ∴m=4
6

1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都 在( B ) A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C.x轴上 D.y轴

上 3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是( A ) A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.抛物线y=2x2+bx的对称轴在y轴的右侧.求b的取值范围.

y 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像如图所示,则下列结论: 1. a、b同号; 2. 当x= –1和x=3时,函数值相等; 3. 4a+b=0; 4. 当y= –2时,x的值只能取0; 其中正确的是

x

–1 O –2

3

2



直线x=1

8

例3:若抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上,求c的值。
思考:轴上点的坐标有什么特点? 顶点坐标如何表示?
解:∵函数图象顶点在x轴上
2 4ac ? b 2 4 ? 1 ? c ? ?? 4? ? ?0 ? ?0 4 ?1 4a

∴c=4

变化:抛物线y=x2-4x+c的顶点在y=x+1上,求c的值。 解
?? b ?4 ?? ?2 2 ?1 2a 4ac ? b 2 4 ? 1? c ? ?? 4?2 ? ?c?4 4a 4 ?1

又∵顶点在直线y=x+1上 ∴c-4=2+1

∴抛物线的顶点为(2,c-4)

∴c=7

9

练习:
1.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是x=2,求b的值.
2.已知二次函数y=-x2+2x+c的最大值是4,求c的值.

1 3.已知抛物线y=-3x2-2x+m的顶点在直线 y=3x+ 3
求m的值

上,

10

小结:系数a,b,c与函数性质的关系:
⑴a决定抛物线的开口方向:
a>0 开口向上 a<0 开口向下

⑵a,b决定抛物线对称轴的位置:
①x>0 ②x=0 ③x<0
直线x ? ? b 2a

a,b同号 b=0 a,b异号

位于y轴左侧; 【左同右异】 y轴 位于y轴右侧;

⑶c决定抛物线与y轴交点的位置:
① ② ③ c>0 c=0 c<0
b ? 2a

图象与y轴交点在x轴上方; 图象过原点; 图象与y轴交点在x轴下方。

⑷a,b,c决定顶点坐标:
4ac ? b 2 4a

(5)a决定最值:
b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, y 最值 ? 2a 4a
11

作业:
1.已知
y ? x 2 ? 6x ? 8 .

(1)写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最值; (2)求抛物线与x轴,y轴的交点坐标并作出函数的草图; (3)观察图象: x为何值时,y随x的增大而增大; x为何值时,y随x的 增大而减小;当x何值时,y>0;当x何值时, y=0;当x何值时,y<0.

2.已知二次函数y=-x2+2x+c的最大值是4,求c的值. 3.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是x=2,求b的值.
4.已知抛物线y=-x2-2x+m的顶点在直线y=-x+3上,求m的值

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