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27.2.2二次函数y=ax^2+k的图像与性质

发布时间:2013-12-29 17:01:07  

华东师大版《数学 · 九年级(下)》

§27.2.2二次函数的图象
y=ax2+k 的图象和性质

第二课时

1

y=ax2 (a≠0) 图 象
O

a>0
y 向上 (0 ,0) y轴 x
O

a<0 y x

开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值

向下 (0 ,0) y轴
左增右减

左减右增

x=0时,y最小=0

x=0时,y最大=0

抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小.

例2:在同一坐标系中画二次函数y=x2与 y=x2+1的图像;

在同一坐标系中画二次函数y=x2与 y=x2-2的图像;

3

x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……

-2 4

-1 1

0 0
y
8

1 1

2 4

…… ……

5

2

1

2

5

y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
x

函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
-10 -5

6

4

2

y=x2
O
-2

5

10

x y=x2 y=x2-2

….. …… ……

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

……

2

-1
y
8

-2

-1

2 ……

函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5

6

函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?

4

y=x2
函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
5

2

O
-2

x

10

y=x2-2

函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5

4

y
2

y=-x2+3
5

O
-2

x

10

函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.

y=-x2 y=-x2-2

-4

-6

图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形 状相同 ,只是位置不同;当k>0时,函数y=ax2+k 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到, 当k〈0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
-8

向 下 平移 |k|个单位得到。

上加下减

抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是:
形状大小相同,开口方向相同,对称轴相 同,而顶点位置和抛物线的位置不同. 抛物线之间的平移规律:(k>0)

抛物线y=ax2
抛物线y=ax2

向上平移 k个单位 抛物线 y=ax2+k 向下平移 抛物线 y=ax2-k k个单位

7

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到;y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 (3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。

10

y
8

y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5

4

y
2

y=-x2+3
5

6

4

-10

-5

O
-2

x

10

2

y=-x2 y=-x2-2

-4
-10 -5

O
-2

x

10

-6

-8

当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点坐标是(0,k

),在对称轴的左侧,y随x的 增大而 减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大, 当x= 0 时,取得最 小 值,这个值等于 k ; 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下,对称轴 是y轴 ,顶点坐标是(0,k),在对称轴的左侧,y随x的 增大而 增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小, 当x= 0 时,取得最 大 值,这个值等于 k 。

(1)抛物线y=-3x2+5的开口 下 ,对称轴是 y轴 , 顶点坐标是 (0,5) ,在对称轴的左侧,y随x的增大 而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 , 当x= 0 时,取得最 大 值,这个值等于 5 。 (2)抛物线y=7x2-3的开口 上 ,对称轴是 y轴 , 顶点坐标是 (0,-3) ,在对称轴的左侧,y随x的增大 而 减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大, 当x= 0 时,取得最 小 值,这个值等于 -3 。

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 a>0 向上 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。

a<0 向下 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=k

x=0时,y最大=k

抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.

(1)抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 是 最大值是 ,在___ 侧,y随着x的增大而减小,当x= ____

,对称轴 时,函数y的值最大,

侧,y随着x的增大而增大;在

,它是由抛物线y= ?2x2线怎样平移得到的______.

( 2)抛物线 y= x2 的顶点坐标是____,对称轴是____,在对 -5 称轴的左侧,y随着x的 ;在对称轴的右侧,y随着x



,当x=____时,函数y的值最___,最小值是

.

课本第10页练习1-2.
12

1.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5),求 函数的表达式。若点C(-2,m),D(n ,7)也在函数的图象上,求点C 与点D的坐标.

y=2x2-3
(0,1)的抛物线解析式。

(-2, 5)

( 5 ,7) 或 (? 5 ,7)

2.形状与y=x2-2的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是

y=x2+1
3. 顶点纵坐标是(0,2),且经过(2,10)的点的解析式.

y=2x2+2

13

练习: 1.已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2)(0,-1)求该抛物线线的
解析式。 2.形状与y=-2x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是 (0,-1)的抛物线解析式。

3. 顶点纵坐标是(0,-3),且经过(1,2)的点的解析式.

14

1.已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0, 0<x3< x1, |x2|>|x1|, A.y1>y2>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 |x3|>|x4|, 则 ( B ) B.y2>y1>y3>y4 D.y4>y2>y3>y1

y2 y1 y3 y4 x2 x4 x3x1

2.已知二次函数y=ax2+c ,当x取x1,x2(x1≠x2, ),

x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时,函数值相 等,则当x取x1+x2时,函数值为 ( D) A. a+c B. a-c C. –c D. c


y=ax2+c 图

象 a>0


a<0

k>0
开口

k<0

k>0

k<0

对称性
顶点 增减性

开口向上 开口向下 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称

(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 16

作 业:
1.抛物线y=7x2-3的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 , 在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x 的增大而 ,当x= 时,取得最 值,这个值等于 。
3.将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象;将 抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的抛物线的函数式是 。

3.课本第21页习题第1题第1小题.
4.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5), 求函数y=ax2+c的表达式;若点C(-2,m),D(n ,7)也在函数的图象 上,则点C与点D的坐标.

17


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