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三角形的中位线

发布时间:2013-12-30 11:49:08  

§9.5三角形的中位线

学习目标:

1.经历探索三角形中位线性质的过程,体会转化的思想方法;

2.理解三角形中位线的定义和性质,会用三角形中位线的性质解决一些简单的问题.

学习重点:探索、猜想、证明三角形的中位线性质;学习难点:掌握遇中点思维方向的选择.

教学过程:

Ⅰ.创设情境,引入课题

操作:如图,任意剪一个三角形,记为△ABC;分别取AB、AC的中点D、E,连接DE;沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180°,得四边形BCFD.

⑴观察:四边形BCFD是平行四边形吗?为什么?

1⑵证明:DE∥BC,DE= . 2

定义:我们把 叫做三角形的中位线.

三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于___________,并且等于__________________.

已知:如图,AF是△ABC的中线,DE为△ABC的中位线.则AF与DE有何关系?试写出你的结论,

并加以证明.

思考一:三角形中位线与中线的区别和联系:

思考二:三角形中单个中点,我们常会去考虑中点的位置(等腰三角形的底边或者是直角三角形的斜边);

当遇到两边的中点,我们常会去考虑 .

尝试练习:

1. 如图,在△ABC中,点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点.

(1)若BC=6cm,则DE= cm,若∠ADF=60°,则∠B= °;

(2)若AB=4 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,则△DEF的周长= cm;

(3)若△ABC的周长是10 cm,则△DEF的周长= cm;

若△ABC的面积是4 cm 2,则△DEF的面积= cm 2.

【归纳】中点三角形的周长是原三角形周长的 ;面积是原三角形的 .

拓展:如果△ABC的周长为a,△ABC的三条中位线组成△A1B1C1,△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2,如此进行下去……得△AnBnCn的周长为_________.面积呢?

2. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E、F分别是△ABC三边中点.

若中线CF=4cm,则AB= cm,中位线DE= cm.

拓展:直角三角形斜边的中线长是4cm,则它的两条直角边中点的连线长为 cm.

A

E

DBC 第2题 第3题

3 .如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为.

Ⅱ.利用性质,实际应用

1.如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD,垂足是E,F是BC的中点,求证:BD=2EF.

A

2.已知:在△ABC中,中线BD,CE交于O点,F,G分别是OB,OC的中点.求证:FG∥ED.

3.如图,在四边形中ABCD,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,求∠PFE的度数.

拓展1:我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.

如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH.

(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ;

(2)请证明你的结论.

由上题我们得知:任意四边形的中点四边形都是 ;

请通过画图,回答:矩形的中点四边形是 ;菱形的中点四边形是 . 我们又发现,中点四边形的形状取决母四边形的 . ......

的四边形的中点四边形是矩形; 的四边形的中点四边形是菱形. 拓展2:如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD,BD,BC,AC的中点.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论;

拓展3:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的定点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC.过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.

(1)如图①,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE、HF.根据三角形的中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF=∠BNE(不需要证明) .

图① 图② 图③

(2)当点D旋转到图②、图③中的位置时,∠AMF与∠BNE有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.

拓展4:如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.

(1)求证:△DMN是等边三角形;

(2)连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P.求证:DP=DQ.

同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考:

小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造三角形的中位线,添加出了一些辅助线;

小慧同学想到要证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

4.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.

(1)求证:四边形BCFE是菱形;

(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.

5.如图,△ABC中,M是BC的中点,AD是∠A的平分线,BD⊥AD于D,AB=12,AC=18,求DM的长

6.如图,长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:

图① 图② 图③

第一步:如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用); 第二步:如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;

第三步:如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片.(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值分别为多少?

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