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正方形的性质和判定

发布时间:2013-12-30 11:49:09  

§9.4.5正方形的性质与判定

学习目标:

1.使学生能找出正方形与矩形、菱形的联系与区别,通过比较掌握正方形定义;

2.探索正方形识别方法,并能运用它解决一些简单问题.

学习重点:探索、猜想、证明正方形的性质与判定的过程;学习难点:培养学生有条理地表达能力. 教学过程:

平行四边形 矩形

正方形

矩形 菱形

菱形

①正方形的性质: (边) (角)

(对角线) (对称性)

②正方形的判定:既是 又是 四边形是正方形.

的矩形是正方形; 的菱形是正方形; 边讲边练:

①正方形与等腰三角形(等边三角形)结合

1. 如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,则∠ACE=°. 2. 如图,四边形ABCD是正方形,延长CD到E,使CE=CB,则∠DBE=°. 3. 如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论: ①∠E=22.5°;②∠AFC=112.5°;③∠ACE=135°;④AC=CE;⑤AD∶CE=12.

其中正确的有 ( )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图,等边△EDC在正方形ABCD内,连结EA、EB,则∠AEB=;∠ACE=°. 5. 已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是.

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

②正方形与旋转结合

1. 如图1,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合,则θ的取值可能为 ( )

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

2. 已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图2所示) 把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为___________.

图1 图2 图3 3. 如图3,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,

求证:DE+BF=EF.

4. 如图4,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于点F,若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后,OE=OF吗?两正方形重合部分的面积怎样变化?为什么?

5. 如图5,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .

6. 如图6,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、?、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为.

图5 图6 图7 图8

7. 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图7所示阴影部分),则这个风筝的面积是

8. 如图8,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是 . ..

③正方形对角线的对称性

1. 如图:正方形ABCD中,AC=10,P是AB上任意一点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于

F,则PE+PF= .可以用一句话概括:正方形边上的任意一点到两对角线的距离

之和等于 .

思考:如若P在AB的延长线时,上述结论是否成立?若不成立,请写出你的结论,并

加以说明.

2. 如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=2EC.其中正确结论的序号是 .

思考:当点P在DB的长延长线上时,请将备用图补充完整,并思考(1)正确结论是否依旧成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.

3.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且

PE=PB.试判断PE与PD的关系.

4.如图,正方形ABCD的面积为12,△ADE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PB+PE的和最小,则这个最小值为 .

④正方形的判定

1.平行四边形、矩形、正方形都具有的性质是 ( )

A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角

2.正方形具有但菱形不一定具有的性质是 ( )

A.对角线互相平分 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直

3.正方形具有但矩形不一定具有的性质是 ( )

A.四个角都是直角 B.对角线互相平分 C.对角相等 D.对角线互相垂直

4.已知平行四边形ABCD,在以下4个条件中再选哪两个条件,能使平行四边形ABCD成为正方形?有 种选法. ①AB=BC ②AC⊥BD ③∠ABC=90° ④AC=BD ( )

A.①或③ B.②或③ C.①或④ D.②或④

5.下列说法不正确的是 ( ) ...

A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别为E、F.

求证: 四边形CFDE是正方形.

7.如图,已知四边形AECF是菱形,B、D是对角线EF两边延长线上的两点,DA⊥AB,且DE=BF,

求证:四边形ABCD是正方形.

DC

A

8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.

四边形CFDE是正方形吗?请说明理由.

A

F

BCE

9.已知AD是△ABC中BC边上的中线,且∠ADC=45°,将△ADC沿AD折叠落在△ADE的位置,作

EF∥BC,BF∥DE,则得到的四边形BDEF是正方形吗?为什么?

EF

A

BDC

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