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28.1锐角三角函数1课时课件(人教版九下)

发布时间:2013-12-30 15:50:41  

情 境 探 究

问题 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设 水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么 需要准备多长的水管? B

A

C

分析: 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即

?A的对边 BC 1 ? ? 斜边 AB 2
可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管.

在上面的问题中,如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的 水管?
B' B 30m A C 50m C'

?A的对边 B' C ' 1 ? ? , 斜边 AB' 2

AB'=2B ' C ' =2×50=100

结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形 1 的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 2

A 如图,任意画一个Rt △ ABC,使∠C= 90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜 边的比 BC ,你能得出什么结论?
AB

C

B

在Rt △ ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°,所以Rt △ ABC是 等腰直角三角形,由勾股定理得

AB ? AC ? BC ? 2BC
2 2 2

2

AB ? 2 BC
BC BC 1 2 ? ? ? 因此 AB 2 2 BC 2
结论:在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个 直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 2
2

综上可知,在一个Rt △ ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A 1 的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A 2
的对边与斜边的比都等于 2 ,也是一个固定值.
2

一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值?

探究
任意画Rt △ ABC和Rt △ A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
B' C ' BC 那么 与 有什么关系.你能解释一下吗? A' B ' AB

B

B'

A

C

A'

C'

在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' BC B' C ' ? AB A' B' 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角 形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.

正弦函数
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比 值叫做∠A的正弦(sine),记住sinA 即 B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c
A 例如,当∠A=30°时,我们有

斜边

c
b

a 对边 C

1 sin A ? sin 30 ? 2
?

在图中 ∠A的对边记作a

当∠A=45时,我们有
2 sin A ? sin 45 ? 2
?

∠B的对边记作b ∠C的对边记作c

注意: sinA中是没有角符号的,如 sin45°中度数是没有∠符号的。

例题示范
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求 sinA和 sinB的值.
解: (1)在 Rt △ABC中,
AB ? AC 2 ? BC 2 ? 4 2 ? 32 ? 5

B 3 A 4 C

BC 3 ? 因此 sin A

? AB 5
求sin A就是 要确定∠A的对 边与斜边的比; 求sin B就是要确 定∠B的对边与 斜边的比

sin B ?

AC 4 ? AB 5

(2)在 Rt△ ABC中, 因此
sin A ?
2

BC 5 ? AB 13
2 2 2

B
13 5

AC ? AB ? BC ? 13 ? 5 ? 12

AC 12 sin B ? ? AB 13

C

A

? 在Rt⊿ABC中,∠C=900

求AB、BC的值

3 ,AC=4, sinA= 5

B

A

4

C

3 sinA= ? 在Rt⊿ABC中,∠C=900, 5

CD⊥AB,求锐角∠DCB的正弦
求一个角的正弦值, 除了用定义直接求外, 还可以转化为求 和它相等角的正弦值。

B D

A

C

如图,Rt△ABC中,∠C=90度,CD⊥AB,图中sinB可由哪 两条线段比求得。 解:在Rt△ABC中,sin B ?

AC AB CD BC A

C

在Rt△BCD中, sin B ?

┌ D

B

因为∠B=∠ACD,所以

AD sin B ? sin ?ACD ? AC

练一练
1.判断对错: BC (1) 如图 (1) sin A= (√ )

BC (2)sinB= (×) AB
(3)sinA=0.6m (×) A
(√ )

AB

B 10m 6m C

注意:sin A是一个比(注意比的顺序),没有单位;

(4)SinB=0.8

BC (2)如图,sin A= ( ×) AB

练一练 2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍,sinA的值( C )
A.扩大100倍
1 B.缩小 100

C.不变
B 3.如图 A 3

D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______

.

300 7

注意:sinA中∠A的度数确定,不管∠A出现在哪里, sinA的值也不会变化。

1、在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠B=30° , ∠D=45°, ∠C=90 ° ,∠F= 90 ° , 若AB=DE=2,求图中各个锐角的正弦值。 A
1


2
2

45° 30°

2





3



2



BC sin A ? ? AB EF sin D ? ? DE

3 AC 1 , sin B ? ? 2 AB 2 2 DF 2 , sin E ? ? 2 DE 2

练习

如图,Rt△ABC中,∠C= 90 ° ,CD⊥AB,AC=6,AD=4, 求sinB的值。

AC sin 分析:在Rt△ABC中, B ? AB CD 在Rt△BCD中,sin B ? BC
但相关的线段长度题目没有直接给出, 还需要我们进一步计算才能得到。 不妨换个角度思考这个问题: 因为∠B=∠ACD,
A

C

6

4

D

B

4 2 所以sin B ? sin ?ACD ? ? 6 3 总结:求一个角的正弦值,除了用定义直接求外, 还可以转化为求和它相等角的正弦值。

0 1 60 1.( 2012 ) Rt?ABC , ?C ? 90 , A ? , ?B ? ____ sin 2

0

Rt?ABC , ?C ? 90 0 ,AB ? 13, 2.(2012南州) BC ? 5, sin B ?
B

5 A. 13

12 B. 13

5 C. 12

13 D. 5

A

C

?

(长沙)、如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O 于点A,且OP=5,PA=4,则sin∠APO等 于( )

?

4 A、 5

3 B、 5 3 D、4
P A

4 ? C、 3

O

?

(河南)如图所示,边长为1的小正方形构成 的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上, 则∠AED的正弦值等于 .
E O D
(第12题)

A C

B

等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12, 求sinB的值.
A

B

D

C

A

1. 在Rt△ABC中,∠C=90 ° , BC:AC=1:2,求sinA
B C

2.如图, 在Rt△ABC中,∠B=90 ° ,b=
c= 3 ,求sin(90°-A)
C a B

5
A

b
c A
B C

2 ,求 3. 在

Rt△ABC中,∠C=90 ° ,若sinA= 2 ∠A, ∠B

小结

拓展

1.锐角三角函数定义: sinA= sin300
∠A的对边 斜边

回味无穷
斜边

B

∠A的对边 A ┌ C

1 = 2

sin45°=

2 2

2. 我的问题是…… 课外思考: 0 sin 60 ? ?

练习
根据下图,求sinB的值.
解: (1)在Rt△ABC中,
AB ? BC ? AC ? m ? n
2 2 2 2

B

m

A

n

C

因此
AC sin B ? ? AB n m2 ? n2 ? 2 2 m2 ? n2 m ?n n
求sin A就是 要确定∠A的对 边与斜边的比; 求sin B就是要确 定∠B的对边与 斜边的比

复习

如图:在Rt △ABC中,∠C=90°,

正弦

?A的对边 a sinA ? ? 斜边 c

1、sinA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合 ,构造直角三角形)。 2、sinA是一个比值(数值)。 3、sinA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无 关。 4.求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为求 和它相等角的正弦值。 特殊角的正弦函数值

1 sin 30°= 2

sin 45°=

2 2

sin 60°=

3 2

1、 在Rt △ABC中, ∠C=900
(1)若AB=13,AC=12,求sin A

(2)若BC=8,AC=15,求sinA,sinB 3 (3)若AB=10, sinA= ,求BC,sinB 5


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