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28.1.3圆周角课件

发布时间:2013-12-30 15:50:43  

28.1圆的认识

一、回顾
如下图,同学们能找到圆心角吗?它 具有什么样的特征?

顶点在圆心,两 边与圆相交的角叫做 圆心角。

二、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢?

像图(3)中的角就是圆周角,而图 (1)、(2)、(4)、(5)中的角都不 是圆周角。

思考: 如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做 圆周角 。 练习:指出下图中的圆周角。
A

C

O D

E

×
(1)

O

O



×
(3)
O

×

O

(2)

(4)

O

×

B



(5)

F (6)

三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图,线段AB 是⊙O的直径,点C 是⊙O上任意一点 (除点A、B), 那 么,∠ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,∠ACB会是 怎么样的角?为什 么呢?

图 23.1.9

证明:因为OA=OB=OC, ∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形 ∠OAC=∠OCA, ∠OBC=∠OCB 又 ∠OAC+∠OBC+∠ACB= 180° 图 23.1.9
180? ∠ACB=∠OCA+∠OCB= 2 =90°

因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、B), ∠ACB总等于90°

结论
半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于90°(直角)。 反过来也是成立的,即 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

三、探究同一条弧所对的圆周 角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置,看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗?

2、分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的度数, 比较一下,你发现什么?

图 23.1.10

为了验证这个猜想,如图所示,可将圆对 折,使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C, 这时可能出现三种情况: (1) 折痕是圆周角的一条边, (2) 折痕在圆周角的内部, (3) 折痕在圆周角的外部。

定理的证明
(1)圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC 因此∠C=∠BAC C 而∠BOC=∠BAC+∠C 1 ∠BOC 所以∠BAC= 2

O B

(2)圆心在∠BAC的内部. 作直径AD. 1 由于∠BAD= 2∠BOD A 1 ∠DAC= 2∠DOC, 所以∠BAD+∠DAC= O 1 (∠BOD+∠DOC) B C 2 1 D 即∠BAC= 2 ∠BOC

(3)圆心在∠BAC的外部.
作直径AD. 1 由于∠DAB= 2 ∠DOB

1 ∠DAC= 2∠DOC, 所以∠DAC-∠DAB= 1(∠DOC-∠DOB) 2 1 ∠BOC 即∠BAC= 2

A O D C B

结论:
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等, 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧也相等。 如图:则有 1

∠ACB= 2 ; 1 ∠ADB= ?AOB ; 2 ∠ ACB =∠ADB .

?AOB

例1.

如图,AB为⊙O的直径, ∠A=80°,求∠ABC的度数。 解:∵AB为⊙O的直径
A

∴∠C=90°,
又∠A=80° ∴ ∠B=10 °
B O

图 23.1.12

F

(1) 解:∠X=60°(同弧所对的圆周角相等) (2)解:连接BF ∵ 同弧所对

的圆周角相等

∴ ∠D=∠ABF =20 ° ∠E =∠CBF =30 °
∴ ∠ABC =∠ABF ﹢ ∠CBF =20 °﹢30 °=50 °

内容小结:
(1)一个概念(圆周角) (2)一个定理:一条弧所对的圆周角等于

该弧所对的圆心角的一半;
(3)二个推论: 同圆内,同弧或等弧所对的圆周角 相等;相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。

学生板演

1、试找出图中 所有相等的圆周角。
(第 1 题)

2、右图是一个圆形的零件, 你能告诉我,它的圆心的位置 吗?你有什么简捷的办法?
3、在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角 分别为(2x+100)°和(5x-30)°, 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

作业: 1.求圆中角X的度数。
35°
O
A

120°
120°

.
B A

70° x

O X

.

O

A

B

C 2.如图,圆心角∠AOB=100°,则 130° ∠ACB=___。 3、 如图,在直径为AB的半 圆中,O为圆心,C、D为半 圆上的两点,∠COD=500, 则∠CAD=_________ 25°

4.

如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证:△ABC是等 边三角形。 A
P

证明:∵∠ABC和∠APC · 都是 ⌒ 所对的圆周角。 O AC C ∴∠ABC=∠APC=60° B (同弧所对的圆周角相等) 同理,∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对 BC 的圆周角,∴∠BAC=∠CPB=60°。 ∴△ABC等边三角形。

5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE A 证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, E ∴∠ADB=90°, C D B ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
∴⌒ ⌒ BD= DE

(同圆或等圆中,相等的圆周角 所对弧相等)。

6.如图:OA、OB、OC都是⊙O的半 径,∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC. O 1 证明:∵∠ACB= ∠AOB 2 A C 1∠BOC ∠BAC= B 2 ∠AOC=2∠BOC
∴∠ACB=2∠BAC


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