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切线的判定

发布时间:2013-12-30 15:50:48  

切 线 的 性质和判 定

切线性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A, 直径AB与切线CD有怎样的位置关系?
? B



O D

直径AB垂直于切线CD.
C A

定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

想一想
已知OA是⊙O的半径,过点A作直线l与OA垂直,则直线l和 ⊙O的位置关系是怎样的?为什么?

切线的判定定理

过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
r

O

几何符号表达:
∵ OA⊥l,且点A在⊙O上 ∴ 直线l是⊙O的切线。

A

l

判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线( × ) 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线( × )

O l

O

r
A

r
l A

利用判定定理时,要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。

〖例1〗
已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB。

求证:直线AB是⊙O的切线。
分析:由于AB过⊙O上的点C,所以连接OC,只要证明 AB⊥OC即可。
O

证明:连结OC(如图)。 ∵ OA=OB,CA=CB, ∴ AB⊥OC。 又∵ 点C在⊙O上 ∴ AB是⊙O的切线。

A

C

B

〖例2〗
已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为 B 半径作⊙O。 D 求证:⊙O与AC相切。 O
A

证明:过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC,OD⊥AB ∴ OE=OD ∴ AC是⊙O的切线。

E C

小结
例1与例2的证法有何不同?
D O A
E A C B C O B

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为:连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为:作垂直,证半径。

练 习
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P, A PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。 证明:连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP,∴∠B=∠OPB, ∴∠OPB=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC, ∴PE⊥OP。
又∵ 点p在⊙O上
O E B P C

∴PE为⊙0的切线。

练 习
如图,AB为⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行 于弦AD,求证:CD是⊙O的切线。 D A C B

O

课堂小结
判定切线的方法有哪些? ⑴直线与圆的公共点已知时,作出过公共点的半 径,再证半径垂直于该直线。 (

连半径,证垂直)

⑵直线与圆的公共点不确定时,过圆心作直线的 垂线段,再证明这条垂线段等于圆的半径。

(作垂直,证半径)


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