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28.1锐角三角函数(第2课时)

发布时间:2013-12-30 15:50:50  

复习回顾:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦(sine),记住sinA 即 B 斜边 A

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c
sin A ? sin 30 ? ? 1 2
sin A ? sin 45 ? ? 2 2

c
b

a 对边 C

在图中 ∠A的对边记作a

∠B的对边记作b

1、sinA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角. ∠C的对边记作c 2、sinA是一个比值(数值). 3、sinA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长 无关.

1、理解余弦、正切的概念;
2、培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.

探究

情境探究
B

如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,当锐角A确定时, ∠A的对边与斜边的比就随 之确定,此时,其他边之 间的比是否也确定了呢? 为什么?

斜边c 对边a

A

邻边b

C

当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的 比也分别是确定的,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦 (cosine),记作cosA,即 ?A的邻边 b

cos A ?

斜边

?

c

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即

tan A ?

?A的对边 a ? ?A的邻边 b

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

例题示范
3 例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA= 5 ,求 cosA、tanB的值.

B

解:∵

BC sin A ? AB
A

6

BC 5 ? AB ? ? 6 ? ? 10 sin A 3


C

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 62 ? 8
AC 4 ? cos A ? ? , AB 5

AC 4 tan B ? ? BC 3

例题示范
变题: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=
15 ,求 17

B

sinA、tanA的值. 解:∵

AC 15 cos A ? ? AB 17
A C

设AC=15k,则AB=17k
所以 BC ?

AB 2 ? AC 2 ? (17k ) 2 ? (15k ) 2 ? 8k

BC 8k 8 ? sin A ? ? ? , AB 17k 17

BC 8k 8 tan A ? ? ? AC 15k 15

例题示范
例2: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° B 1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA

2.求证:tan A ?

sin A cos A
A C

sin 2 A ? cos2 ? 1 3.求证:

注:千万记住结论哦!

例题示范
例3: 如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若

?DPB ? ?

那么

1 A.sin ? , B.cos ? , C.tan ? , D. tan ?
变题: 如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若

CD ?(B AB

)

AB=10,CD=6,求

sin ?

.
C D

4 sin ? ? 5
A

?

P
O B

2.(2010· 黄冈中考)在△ABC中,∠C=90°,sinA= 4 则tanB=( B ) 5
A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5

3.(2010· 丹东中考)如图,小颖利用有一 个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度, 已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为 1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那 么这棵树高是( A )

C 30 A ° B

D E

A.(

5 3 3 ? )m 3 2

3 B.(5 3 ? )m 2

C.

5 3 m 3

D.4m

4.(2010· 怀化中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= 则cosB的值等于( B)

4 5

3 A. 5

4 B. 5

3 C. 4

5 D. 5

5.(2010· 东阳中考)如图,为了测量河两岸A.B两点的距离, 在与AB垂直的方向点C处测得AC=a,∠ACB=α,那么AB 等于( ) A.a· sinα B.a· tanα C.a· cosα D. a a A C
tan?
α

B

AB 【解析】选B.在Rt△ABC中,tanα= AC
所以AB=a· tanα

【规律方法】
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角

(注意数形结合,构造直角三角形);
2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、 余弦,习惯省去“∠”符号; 3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.

练习:
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. C 解:由勾股定理

BC ? AB ? AC ? 13 ? 12 ? 5 BC 5 B ? sin A ? ? AB 13
2 2 2 2

12

13

A

AC 12 cos A ? ? AB 13

BC 5 tan A ? ? AC 12

AC 12 ? sin B ? ? AB 13 BC 5 cos B ? ? AB 13 AC 12 tan B ? ? BC 5

2.在Rt△ABC中,如果各边长都扩大2倍,那么锐角A的正弦值、余弦值 和正切值有什么变化?

答:无变化。

3 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA= 4
求:sinA、cosB的值. 解: tan A ?



BC 3 ? AC 4 ∵AC=8

B

C

3 3 ? BC ? AC ? ? 8 ? 6 4 4

8

A

? AB ? AC 2 ? BC 2 ? 82 ? 62 ? 10
BC 6 3 ? sin A ? ? ? AB 10 5

BC 6 3 cos B ? ? ? AB 10 5

4. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC, (1)求证:AC=BD;

12 (2)若 sin C ? ,BC=12,求AD的长。 13

A

B

D

C

5. 如图,在△ABC中, ∠ C=90度,若∠ ADC=45度,BD=2DC, 求tanB及sin∠BAD. A

B

D

C

小结
如图,Rt△ABC中, ∠C=90度,
BC AC sin A ? , cos A ? , tan A ? AB AB AC BC sin B ? , cos B ? , tan B ? AB AB BC AC AC BC

sin A ? cos B cos A ? sin B 1 tan A ? tan B
B

因为0<sinA <1, 0<sinB <1,

0<cosA <1, 0<cosB <1, tan A>0, tan B>0 所以,对于任何一个锐角α ,有 0<sin α <1,
0<cos α <1, tan α >0,
2 2

A

C

sin ? ? cos ? ? 1

作业:
课本P82 习题28.1 第4题.


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