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直线与圆的位置关系课件

发布时间:2013-12-30 16:45:52  

1.直线与圆有三种位置关系. 位置关系 相交 相切 交点个数 有 两个 公共点 只有 一个 公共点

相离

没有 公共点

2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=
r2的位置关系的判断
位置关系 公共点个数 判 几何法:设圆心到直线 定 方 法 的距离 d= |Aa+Bb+C| A2+B2 d < r d = r d> r 相交 相切 相离

两 个

一 个

零 个

位置关系 判 定 方 法 代数法:由
?Ax+By+C=0 ? ? ??x-a?2+?y-b?2=r2 ?

相交

相切

相离

Δ > 0 Δ = 0 Δ< 0

消元得到一元二次方程的 判别式Δ

3.自学检测: (1)⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离 为d,若直线l与⊙O没有公共点,则d为( A ) A.d >3 B.d<3 C.d ≤3 D.d =3 2 2 (2)直线3x+4y+12=0与圆(x+1) +(y+1) =9的位置关系为( D) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交 (3)若直线3x-4y+a=0与圆x2+y2-4x+2y4=0相切,则实数 a=5或a=-25 。

直线与圆的位置关系的判断

? [例1] 若直线4x-3y+a=0与圆x +y =100有
2 2

如下关系:①相交;②相切;③相离,试分别求 实数a的取值范围.

[思路点拨]
思路一,直线和圆的方程联立得方程组,转 化为讨论方程组的解的个数问题;

思路二,利用圆心到直线的距离与半径相比
较,转化为解不等式或方程问题.

[精解详析] 法一:(代数法)
?4x-3y+a=0, ? 由方程组? 2 2 ?x +y =100, ?

消去 y, 25x2+8ax+a2 得

-900=0. Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0, -50<a<50;

②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50. 法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, |a| |a| 则圆心到直线的距离d= 2 2= 5 , 3 +4

|a| ①当直线和圆相交时,d<r,即 <10,-50<a<50; 5 |a| ②当直线和圆相切时,d=r,即 =10,a=50 或 a=-50; 5 |a| ③当直线和圆相离时,d>r,即 >10,a<-50 或 a>50. 5

[一点通]

“代数法”与“几何法”判断直线与圆的

位置关系,是从不同的方面,不同的思路来判断的,“代

数法”侧重于“数”,是从方程角度考虑,计算较为繁琐;
“几何法”侧重了“形”,是从几何的角度考虑,方法较 为简单,是判断直线与圆的位置关系的常用方法.

弦长问题

? [例2]求直线l :3x+y-6=0 被圆C:
x +y -2y-4=0截得的弦长.
2 2

[变式] 直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C: +y =25 x 相交截得的弦长为 4 5,求 l 的方程.

2

2

[思路点拨] 设出点斜式方程,利用r、弦心距及弦长 的一半构成直角三角形可求.

[精解详析] 根据题意知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y-5=k(x-5)
如图所示,|OH|是圆心到直线 l

的距离,|OA|是圆的 半径,|AH|是弦长|AB|的一半, 在 Rt△AHO 中,|OA|=5, 1 |AH|= |AB| 2 1 = ×4 5=2 5. 2

∴|OH|= |OA|2-|AH|2= 5. |5?1-k?| 1 ∴ = 5,解得k=2或k=2. 2 k +1 ∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.

[一点通]

解决与圆有关的弦长问题时,多采用几何法

即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解. 如图所示直线l与圆C交于A,B两 点,设弦心距为d,圆半径为r,弦长为 │AB│ 2 │AB│,则有( 2 ) +d2=r2,即 │AB│=2 r2-d2.

切线问题

【拓展延伸】 [问题1]过圆外一点且与圆相切的直线有
过圆上一点且与圆相切的直线有 [问题2] 已知圆C:x +y =25.
2 2

条;

条。

(1)求过点P(3,4)的圆的切线方程;

(2)求过点Q(-5,5/2)的圆的切线方程.
[思路点拨] (1)直线和圆相切,则过圆心和

切点的直线与切线垂直.(2)直线和圆相切, 则圆心到直线的距离等于半径.

[精解详析]

(1)∵32+42=25,

∴点P在圆C上, 由圆C:x2+y2=25知圆心C(0,0),r=5. 4-0 4 则CP的斜率kCP= = ,因为圆的切线垂直于经过 3-0 3 3 切点的半径,所以所求切线的斜率k=-4, 3 故经过点P的切线方程为y-4=-4(x-3), 即3x+4y-25=0.

5 (2)∵(-5)2+(2)2>25,∴点Q在圆外. 若所求直线斜率存在,设切线斜率为k, 5 则切线方程为y-2=k[x-(-5)], 5 即kx-y+5k+2=0. 因圆心C(0,0)到切线的距离等于半径5, 5 |5k+2| 3 所以 2 =5,∴k=4. k +1

3 15 5 故所求切线方程为4x-y+ 4 +2=0, 即3x-4y+25=0.若所求直线斜率不存在. 则直线方程为x=-5,圆心C(0,0)到x=-5的距离为 5,符合题意. 综上,过点Q的切线方程为x+5=0或3x-4y+25=0.

[一点通] 1.求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法: 先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的 1 斜率为- k ,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或 不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.

2.过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法 设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距 离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.当 用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因 为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一 点的切线有两条.

1.解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征 (方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的距离)去 考虑,其中几何特征解题较为简捷.

2.涉及与切线有关的问题时,常用其几何特征,
即圆心到直线的距离等于半径来解决,应注意过圆外 一点求圆的切线一定有两条.


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