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初一数学基础知识讲义

发布时间:2013-12-30 16:45:54  

初一数学基础知识讲义

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 知识结构框图:

二、 绝对值的意义:

(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。

(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;

③零的绝对值是零。

?a?当a为正数???也可以写成: |a|??0?当a为0?

????a?当a为负数?

说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;

(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、 典型例题

例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A )

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析:

解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值 1

的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。

例2.已知:x?0?z,xy?0,且y?z?x, 那么x?z?y?z?x?y

的值( C )

A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号

解:由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:

所以 x?z?y?z?x?y ?x?z?(y?z)?(x?y) ?0

分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?

分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解:设甲数为x,乙数为y 由题意得:x?3y,

(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:

若x在原点左侧,y在原点右侧,即 x<0,y>0,则 4y=8 ,所以y=2 ,x= -6

若x在原点右侧,y在原点左侧,即 x>0,y<0,则 -4y=8 ,所以y=-2,x=6

(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:

若x、y在原点左侧,即 x<0,y<0,则 -2y=8 ,所以y=-4,x=-12

若x、y在原点右侧,即 x>0,y>0,则 2y=8 ,所以y=4,x=12

例4.(整体的思想)方程x?2008?2008?x 的解的个数是( D )

A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个

分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程a??a的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。

例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.

2

1111????? aba?1b?1a?2b?2a?2007b?2007分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2

于是1111????? aba?1b?1a?2b?2a?2007b?20071111?????22?33?42008?2009

1111111?????????2233420082009 1?1?2009

2008?2009?

在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可

1111?????以再深入思考, 2?44?66?82008?2010

如果题目变成求 值,你有办法求解吗?有兴趣的

同学可以在课下继续探究。

例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与?2,3与5,?2与?6,

?4与3.

并回答下列各题:

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____相等

.

(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离

分析:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢?因

为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么,如何求出A

与B两点间的距离呢?

结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时,距离为-x-1, 当-1<x<0时,距离为x+1, 当x>0,距离为x+1

综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为x?1

(3)结合数轴求得x?2?x?3的最小值为 5 ,取得最小值时x的取值范围为 -3

≤x_≤2______.

分析:x?2即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。

3

x?3?x?(?3)即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。 如图,x在数轴上的位置有三种可能:

图1 图2 图3

图2符合题意

(4) 满足x?1?x?4?3的x的取值范围为 x<-4或x>-1

分析: 同理x?1表示数轴上x与-1之间的距离,x?4表示数轴上x与-4之间的距离。

本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1。

说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上,A?B 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。

四、 小结

1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

第二讲:代数式的化简求值问题

一、知识链接

1. “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、

二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。

注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知

识打下基础。

4

二、典型例题

例1.若多项式2mx?x?5x?8?7x?3y?5x的值与x无关,

求m?2m??5m?4??m的值. 2222?2???

分析:多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零

因为2mx?x?5x?8?7x?3y?5x??2m?8?x?3y?8 2222??

所以 m=4

将m=4代人,m?2m??5m?4??m??m?4m?4??16?16?4??4 222??

利用“整体思想”求代数式的值

例2.x=-2时,代数式ax?bx?cx?6的值为8,求当x=2时,代数式ax?bx?cx?6的值。

分析: 因为ax?bx?cx?6?8

当x=-2时,?2a?2b?2c?6?8 得到2a?2b?2c?6??8,

所以2a?2b?2c??8?6??14

当x=2时,ax?bx?cx?6=2a?2b?2c?6?(?14)?6??20

例3.当代数式x?3x?5的值为7时,求代数式3x?9x?2的值.

分析:观察两个代数式的系数

由x?3x?5?7 得x?3x?2 ,利用方程同解原理,得3x?9x?6

整体代人,3x?9x?2?4

代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。

例4. 已知a?a?1?0,求a?2a?2007的值.

分析:解法一(整体代人):由a?a?1?0 得 a?a?a?0

2322322222225353535353535353所以: a3?2a2?2007?a3?a2?a2?2007?a?a2?2007?1?2007?20085

解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。

由a?a?1?0,得a?1?a,

所以: a3?2a2?2007

22?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007?1?2007?2008

2解法三(降次、消元):a?a?1(消元、、减项)

a3?2a2?2007

?a3?a2?a2?2007

22?a(a?a)?a?2007

2?a?a?2007

?1?2007

?2008

例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?

分析:分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)

第一年:A公司 10000; B公司 5000+5050=10050

第二年:A公司 10200; B公司 5100+5150=10250

第n年:A公司 10000+200(n-1);

B公司:[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]

=10050+200(n-1)

由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。

abcabacbc?????例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x?, abcabacbc

则 ax?bx?cx?1的值是_______ 。

解:因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数

又因为a+b+c>0,所以a、b、c中只有一个是负数。

不妨设a<0,b>0,c>0

则ab<0,ac<0,bc>0

所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。

326

同理,当b<0,c<0时,x=0。

另:观察代数式 abcabacbc?????,交换a、b、c的位置,我们发现代abcabacbc

数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题:

例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始

按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,?. (1)“17”在射线 ____上, “2008”在射线___________上. (2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 代数式表示为__________________________. 分析:OA上排列的数为:1,7,13,19,? 观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,

归纳得到,这列数可以表示为6n-5 因为17=3×6-1,所以17在射线OE上。

因为2008=334×6+4=335×6-2,所以2008在射线OD上

例8. 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

第一行 1 3 5 7

第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

第四行 31 29 27 25

? ? ?

根据上面规律,2007应在

A.125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列

分析:观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找

第三列数: 3,11,19,27,? 规律为8n-5

因为2007=250×8+7=251×8-1

所以,2007应该出现在第一列或第五列

又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,

所以2007应该在第251行第5列

例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;

nn

kk②当n为偶数时,结果为2(其中k是使2为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:

F② 第一次 F① 第二次 F② 第三次 26 13 44 11 ?

若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.

n

k分析:问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为2

7

n

k(其中k是使2 为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。

449奇数,经过“F①”变为1352;1352是偶数,经过“F②”变为169,

169是奇数,经过“F①”变为512,512是偶数,经过“F②”变为1,

1是奇数,经过“F①”变为8,8是偶数,经过“F②”变为1,

我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449,奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,

所以,结果是8。

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展,体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般,再由一般到特殊的重要方法。

第三讲:与一元一次方程有关的问题

一、知识回顾

一元一次方程是我们认识的第一种方程,使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容,它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化,又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。

二、典型例题

例1.若关于x的一元一次方程2x?kx?3k=1的解是x=-1,则k的值是( ) ?32

213A. B.1 C.- D.0 711

因为x=-1是关于x的一元一次方程分析:本题考查基本概念“方程的解” 2x?kx?3k=1的解, ?32

2?(?1)?k?1?3k13所以??1,解得k=- 3211

3a?x例2.若方程3x-5=4和方程1??0的解相同,则a的值为多少? 3

分析:题中出现了两个方程,第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值;第二个方程中有a与x两个未知数,所以在没有其他条件的情况下,根本没有办法求得a与x的值,因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同,所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程,第二个方程也就转化为一元一次方程了。

解:3x-5=4, 3x=9, x=3

因为3x-5=4与方程 1?3a?x?0的解相同 3

8

所以把x=3代人1?

即1?3a?x?0中 33a?3?0 得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2 3

例3.(方程与代数式联系)

a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算 ab?ad?bc. cd

(1)则12的值为 ;(2)当24

?12(1?x)5?18 时,x.

分析:(1)即a=1,b=2,c=-1,d=2, 因为ab?ad?bc,所以12=2-(-2)=4 cd?12

(2)由24

(1?x)5?18 得:10-4(1-x)=18

所以10-4+4x=18,解得x=3

例4.(方程的思想)如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水,将瓶盖盖

好后倒置,墨水水面高为h厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的( )

A.abhh B. C. D. a?ba?ba?ha?b

分析:左右两个图中墨水的体积应该相等,所以这是个等积变换问题,我们可以用方程的

思想解决问题

解:设墨水瓶的底面积为S,则左图中墨水的体积可以表示为Sa

设墨水瓶的容积为V,则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb

于是,Sa= V-Sb,V= S(a+b)

由题意,瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为SaSaa ??VS(a?b)a?b

例5. 小杰到食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多,就站在A窗口队伍的里面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时,若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队,将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭,求开始时,有多少人排队。

分析:“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人,

题中的等量关系为:小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+

解:设开始时,每队有x人在排队,

2分钟后,B窗口排队的人数为:x-6×2+5×2=x-2

根据题意,可列方程:1 2xx?21?2?? 462

去分母得 3x=24+2(x-2)+6

去括号得3x=24+2x-4+6

移项得

3x-2x=26

9

解得x=26

所以,开始时,有26人排队。

课外知识拓展:

一、含字母系数方程的解法:

思考:ax?b是什么方程?

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0,所以ax?b不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。

例6.解方程ax?b

解:(分类讨论)当a≠0时,x?b a

当a=0,b=0时,即 0x=0,方程有任意解

当a=0,b≠0时,即 0x=b,方程无解

即方程ax?b的解有三种情况。

例7.问当a、b满足什么条件时,方程2x+5-a=1-bx:(1)有唯一解;(2)有无数解;(3)无解。

分析:先解关于x的方程,把x用a、b表示,最后再根据系数情况进行讨论。

解: 将原方程移项得2x+bx=1+a-5,合并同类项得:(2+b)x=a-4

当2+b0,即b-2时,方程有唯一解x?a?4, 2?b

当2+b=0且a-4=0时,即b=-2且a=4时,方程有无数个解,

当2+b=0且a-4≠0时,即b=-2且a≠4时,方程无解,

例 8. 解方程x?11?xa?b ??abab

分析:根据题意,ab≠0,所以方程两边可以同乘ab

去分母,得b(x-1)-a(1-x)=a+b

去括号,得bx-b-a+ax=a+b

移项,并项得 (a+b)x=2a+2b

当a+b≠0时,x?2a?2b=2 a?b

当a+b=0时,方程有任意解

说明:本题中没有出现方程ax?b中的系数a=0,b≠0的情况,所以解的情况只有两种。

二、含绝对值的方程解法

例9. 解下列方程5x?2?3

解法1:(分类讨论)

2, 5x-2=3, 5x=5, x=1 5

2 因为x=1符合大前提x>,所以此时方程的解是x=1 5

2当5x-2=0时,即x=, 得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解 5当5x-2>0时,即x>

10

21, 5x-2= -3,x=? 55

121 因为x=?符合大前提x<,所以此时方程的解是x=? 555

1综上,方程的解为x=1 或x=? 5当5x-2<0时,即x<

注:求出x的值后应注意检验x是否符合条件

解法2:(整体思想)

联想:a?3时,a=±3

类比:5x?2?3,则5x-2=3或5x-2=-3

解两个一元一次方程,方程的解为x=1 或x=?1 5

例10. 解方程 2x?1?5

3?1

解:去分母 2| x-1|-5=3

移项 2| x-1|=8

| x-1|=4

所以x-1=4或x-1=-4

解得x=5或x=-3

例11. 解方程 x?1??2x?1

分析:此题适合用解法2

当x-1>0时,即x>1,x-1=-2x+1,3x=2,x=

因为x=2 32不符合大前提x>1,所以此时方程无解 3

当x-1=0时,即x=1,0=-2+1,0 =-1,此时方程无解

当x-1<0时,即x<1,1-x=-2x+1,x=0

因为x=0符合大前提x<1,所以此时方程的解为x=0

综上,方程的解为x=0

三、小结

1、体会方程思想在实际中的应用

2、体会转化的方法,提升数学能力

第四讲:图形的初步认识

一、相关知识链接:

1.认识立体图形和平面图形

我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥,此外,棱柱,棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆

2. 立体图形和平面图形关系

11

立体图形问题常常转化为平面图形来研究,常常会采用下面的作法

(1)画出立体图形的三视图

立体图形的的三视图是指正视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)得到的三个平面图形。

(2)立体图形的平面展开图

常见立体图形的平面展开图

圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体(共十一种)

二、典型问题:

(一)正方体的侧面展开图(共十一种)

分类记忆:

第一类,中间四连方,两侧各一个,共六种。

第二类,中间三连方,两侧各有一、二个,共三种。

第三类,中间二连方,两侧各有二个,只有一种。

第四类,两排各三个,只有一种。

基本要求:

1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有( C )

(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种

2.下图中, 是正方体的展开图是( B )

12

A B C D

3.如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成,其中是正方体展开图的是( D )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

较高要求:

4.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体,每三个带数字的面交于正方体的

一个顶点,则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

5.一个正方体的展开图如右图所示,每一个面上都写有一个自然数并且相对

两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c= ( B )

A.40 B.38 C.36 D. 34

分析: 由题意 8+a=b+4=c+25

所以 b=4+a c=a-17

所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38

6.将如图所示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是( C )

A. B. C. D.

7.下图是某一立方体的侧面展开图,则该立方体是( D )

ABCD

还原正方体,正确识别正方体的相对面。. . . .

(二)常见立体图形的平面展开图

8.下列图形是四棱锥的展开图的是 ( C )

(A) (B) (C) (D)

9.下面是四个立体图形的展开图,则相应的立体图形依次是( A )

A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

13 1 6 2 4 5 3 c84b

25a

10.下列几何体中是棱锥的是( B )

A. B. C. D.

11.如图是一个长方体的表面展开图,每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题:

(1)如果A面在长方体的底部,那么哪一个面会在上面?

(2)若F面在前面,B面在左面,则哪一个面会在上面?(字母朝外)(3)若C面

在右面,D面在后面,则哪一个面会在上面?(字母朝外)

答案:(1)F ;(2)C,A

(三)立体图形的三视图

12.如图,从正面看可看到△的是( C )

DABC (2)

13.对右面物体的视图描绘错误的是 ( C )

14.如图的几何体,左视图是 ( B )

BDA

C

15.如图,是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个

几何体的小正方体的个数是 ( )

A.3 B.4

C.5 D.6

(四)新颖题型 主视图

左视图 俯视图

16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为 .

分析:正面—黄,右面—红,上面—蓝,后面—紫,下面—白,左面—绿

所以,从右到左,底面依次为:白、绿、黄、紫

数字和为:4+6+2+5=17

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17.观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形,寻找规律,如图⑴

所示共有1个小立方体,其中1个看得见,0个看不见;如图⑵所示:

共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见;如图⑶所示:共有27个小立方体,其中19个看得见,8个看不见??(1)写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个;

(2)猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____ (n-1)3个. 分析:

1 1=1 0=03

2 8=23 1=13

3 27=33 8=23

4 64=43 27=33

n n3 (n-1) 3

第五讲:线段和角

一、知识结构图

二、典型问题:

(一)数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点,可以得到多少条线段?

分析: 点 线段

2 1

3 3 =1+2

4 6=1+2+3

15

5 10=1+2+3+4

6 15=1+2+3+4+5

??

n 1+2+3+ ? +(n-1)=n?n?1? 2

问题2如图在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD,则图中小于平角的角共有( D )个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展:1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?

射线 角

1 3 =1+2

2 6=1+2+3

3 10=1+2+3+4

??

n 1+2+3+ ? +(n+1)=?n?1??n?2? 2

类比:从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?

射线 角

2 1

3 3 =1+2

4 6=1+2+3

5 10=1+2+3+4

??

n 1+2+3+ ? +(n-1)=n?n?1? 2

类比联想:如图,可以得到多少三角形?

(二)与线段中点有关的问题

线段的中点定义:

文字语言:若一个点把线段分成相等的两部分,那么这个点叫做线段的中点

M图形语言:

几何语言: ∵ M是线段AB的中点

∴ AM?BM?1AB,2AM?2BM?AB 2

典型例题:

1.由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是( D )

11AB (B)AB=2PB (C)AP=PB (D)AP=PB=AB 22

12.若点B在直线AC上,下列表达式:①AB?AC;②AB=BC;③AC=2AB;④AB+BC=AC. 2(A)AP=

其中能表示B是线段AC的中点的有( A )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

16

3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=

C是AB中点的有( C ) 1AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示2

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.已知线段MN,P是MN的中点,Q是PN的中点,R是MQ的中点,那么MR= ______ MN.

分析:据题意画出图形

N设QN=x,则PQ=x,MP=2x,MQ=3x, 3x3MR3所以,MR=x ,则?? 2MN4x8

5.如图所示,B、C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD中点,若MN=a,BC=b,则线段AD的长是( )

D

A 2(a-b) B 2a-b C a+b D a-b

分析:不妨设CN=ND=x,AM=MB=y

因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b

因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b

(三)与角有关的问题

1. 已知:一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,

则∠AOC=____80°或40°________度(分类讨论)

2. A、O、B共线,OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线,猜想∠ MON的度数,

试证明你的结论.

猜想:_90°______

证明:因为OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线

所以∠MOC=11∠AOC ,∠CON=∠COB 22

111∠AOC +∠COB=∠AOB=90° 222

?因为∠MON=∠MOC+∠CON 所以∠MON=3.如图,已知直线AB和CD相交于O点, ∠COF?34,∠COE是直角,OF平分∠AOE,

求∠BOD的度数.

分析:因为∠COE是直角,∠COF?34,

所以∠EOF=56° ?17

因为OF平分∠AOE

所以∠AOF=56°

因为∠AOF=∠AOC+∠COF

所以∠AOC=22°

因为直线AB和CD相交于O点

所以∠BOD=∠AOC=22°

4.如图,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,

(1)若∠A = 60°,求∠O;

(2)若∠A =100°,∠O是多少?若∠A =120°,∠O又是多少?

(3)由(1)、(2)你又发现了什么规律?当∠A的度数发生变化后,你的结论仍成立吗? (提示:三角形的内角和等于180°)

答案:(1)120°;(2)140° 、150°(3)∠O=90°+1∠A 2

5.如图,O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有( B )对

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6.互为余角的两个角 ( B )

(A)只和位置有关 (B)只和数量有关

(C)和位置、数量都有关 (D)和位置、数量都无关

7.已知∠1、∠2互为补角,且∠1>∠2,则∠2的余角是( C ) 1111(∠1+∠2) B.∠1 C.(∠1-∠2) D.∠2 2222

1分析:因为∠1+∠2=180°,所以(∠1+∠2)=90° 2

1190°-∠2= (∠1+∠2)-∠2= (∠1-∠2) 22

A.

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