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九年级数学下册_5.7确定二次函数的解析式课件_青岛版[1]

发布时间:2013-12-31 09:47:31  

复习
1、抛物线y= -3(x-2)(x+5)与x轴的交 点坐标为 (2,0), (-5,0)
2、如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分, 其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3, 0),则由图象可知, y=ax2+bx+c与x轴的另一 个交点为( );不等式ax2+bx+c<0的解集 是 .

求出下表中抛物线与x轴的交点坐标,看看你有什么发现? 抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3) y=3(x-2)(x+1)

抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
(1,0)(3,0) (2,0)(-1,0) (-4,0)(-6,0) (x1,0),( x2,0)

y=-5(x+4)(x+6)
-x1 - x2 y=a(x___)(x____) (a≠0)

交点式

求出下表中抛物线与x轴的交点坐标,看看你有什么发现? 抛物线解析式 y=a(x-1)(x-3)(a≠0) y=a(x-2)(x+1)(a≠0) y=a(x+4)(x+6)(a≠0) -x1 - x2 y=a(x___)(x____) (a≠0)

抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
(1,0)(3,0) (2,0)(-1,0) (-4,0)(-6,0) (x1,0),( x2,0)

交点式

二次函数常用的几种解析式
一般式 顶点式 交点式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 一、设
已知三个点坐标三对对应值,选择一般式 已知顶点坐标或对称轴或最值,选择顶点式

三、解 用待定系数法确定二次函数的解析式时,应该根据条件 四、还原 的特点,恰当地选用一种函数表达式。

二、代 已知抛物线与x轴的两交点坐标,选择交点式

例 题

选 讲

例 1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、
一般式: y=ax2+bx+c

(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式? 解: 设所求的二次函数为 由条件得: y=ax2+bx+c y

两根式: y=a(x-x1)(x-x2)

顶点式: y=a(x-h)2+k

a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得: a=2, b=-3, c=5
因此:所求二次函数是:

o

x

y=2x2-3x+5
封面 例题

例 题
例 2
一般式: y=ax2+bx+c

选 讲

已知抛物线的顶点为(-1,-3),与轴交点为 (0,-5)求抛物线的解析式?
解:设所求的二次函数为 由条件得: 点( 0,-5 )在抛物线上 y=a(x+1)2-3 y x o

两根式: y=a(x-x1)(x-x2)

a-3=-5,
顶点式: y=a(x-h)2+k

得a=-2

故所求的抛物线解析式为 y=-2(x+1)2-3 即:y=-2x2-4x-5
封面 例题

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: x<0或x>2 时,y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)

例3.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交 于点(0,1),求这个二次函数的解析式

解:因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的 关系式为y=a(x-1)2-3,又由于抛物线与y轴交于 点(0,1),可以得到 1=a(0-1)2-3 解得 a=4 所以,所求二次函数

的关系式是y=4(x-1)2-3. 即 y=4x2-8x+1

例4.已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点 间的距离为4,求它的解析式. 分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式 为y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由 与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为 (1,0)和(5,0),任选一个代入 y=a(x-3)2-2,即可 求出a的值.

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 某同学利用描点法画二次函数

的图象时,列出的部分数据如下表所示请根据表中 数据求出该二次函数的解析式。 x y 0 3 1 0 2 -1 3 0 4 3

? 4.二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3, 最小值为-2,,且过(0,1),求此函数 的解析式。
5.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时,y随着x的 增大而增大,当x<1时,y随着x的增大而减小, 则k的值应取( ) (A)12 (B)11 (C)10 (D)9

练一练
1、已知二次函数的图像过点(0, 0),(1,-3),(2,-7)
1 2 5 y?? x ? x 三点,则该二次函数关系式为______________。 2 2

2、若二次函数的图像有最高点为(1,-6),且经过点 y ? ?2( x ? 1) 2 ? 6 (2,-8),则此二次函数的关系式______________

3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) y ? 2( x ? 1)( x ? 且过点(3,4),则此二次函数的关系式为___________2)

例 题

选 讲

例 3 已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0)
一般式: y=ax2+bx+c

并经过点M(0,1),求抛物线的解析式? 解: 设所求的二次函数为 y=a(x+1)(x-1) y x o

两根式: y=a(x-x1)(x-x2)

由条件得: 点M( 0,1 )在抛物线上

顶点式: y=a(x-h)2+k

所以:a(0+1)(0-1)=1 得: a=-1

故所求的抛物线解析式为 y=- (x+1)(x-1)

即:y=-x2+1
封面 例题

例5.已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0), 且与y轴交于点(0,-3).求它的解析式

分析:
方法1,因为已知抛物线上三个点,所以可设函数关系式为一 般式y=ax2+bx+c,把三个点的坐标代入后求出a、b、c, 就可得抛物线的解析式。 方法2,根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数关系 式为 y=a(x+3)(x-5),再根据抛物线与y轴的交点可求出a 的值;

? 由右边图象写出二次函数的解析式. ?

? 如图,已知两点A(-8,0),(2,0), 以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。 求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

知 识 应 用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?

分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.

例 题
例 4

选 讲

有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度

为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式.
根据题意可知 抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 评价 通过利用给定的条件 可得方程组

解: 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

列出a、b、c的三元 一次方程组,求出a、 b、c的值,从而确定 函数的解析式. 过程较繁杂,
封面 练习

例 题
例 4

选 讲

有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式.
根据题意可知 ∵ 点(0,0)在抛物线上,

解: 设抛物线为y=a(x-20)2+16

评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解,方法比较灵 活
封面 练习

∴ 所求抛物线解析式为

例 题

选 讲

例4 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度
为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式. 解: 设抛物线为y=ax(x-40 ) 根据题意可知 ∵ 点(20,16)在抛物线上, 评价
选用两根式求解, 方法灵活巧妙,过 程也较简捷
封面 练习

动手做一做
已知当x=-1时,抛物线最高点的纵坐标为4, 且与x轴两交点之间的距离为6,求此函数解析式
解: 根据题意得顶点为(-1,4) 由条件得与x轴交点坐标 (2,0);(-4,0) 设二次函数解析式:y=a(x+1)2+4 有0=a(2+1)2+4,得a= ? y x o

9 4 9 故所求的抛物线解析式为 y= ? (x+1)2+4 4

课 堂

练 习

1、 一个二次函数,当自变量x= -3时,函数值y=2 当自变量x= -1时,函数值y= -1,当自变量x=1时 ,函数值y= 3,求这个二次函数的解析式? 1 3 2、 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是 2、 2 , 与Y轴交点的纵坐标是,求这个抛物线的解析式?

封面 小结

? 3、已知抛物线 的顶点坐标为(1,2),且这条 抛物线与x 轴的一个交点坐标是(-1,0),求 抛物线的表达式。









求二次函数解析式的一般方法:
? y ? x ? 已知图象上三点或三对的对应值, 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值) 通常选择顶点式

o

已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2,

通常选择两根式 确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式,
封面

抛物线位置与系数a,b,c的关系:

⑴a决定抛物线的开口方向: a>0 开口向上 a<0 开口向下 ⑵ a,b决定抛物线对称轴的位置: b (对称轴是直线x = -— ) 2a ① a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧; ② b=0 <=> 对称轴是y轴; ③ a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧

【左同右异】

例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示,x= 1 为该图象的对称轴,根
3

据图象信息你能得

到关于系数a,b,c的 一些什么结论? y
1 3 .

-1

.

1

x

4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是 (B) y 2-4ac>0 - b <0 A.b B. 2a
1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则( B ) A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18

C.a+b+c=0

6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y (C ) y
o

A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( C)
y o x o y x o y x o y x

-3

x

o B -3

x

o C -3

x

o D -3

x

A

B

C

D


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