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26.3.1实际问题与二次函数(面积和利润)

发布时间:2013-12-31 09:47:36  

回味无穷:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
?顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
b ? 4ac ? b ? y ? a? x ? . ? ? 2a ? 4a ? ? b 4ac ? b 2 ? b 对称轴:直线x ? ? ? 顶点坐标:? ? , ? 2a ? 2a 4a ? ? ?利润=售价-进价.
2 2

?总利润=每件利润×销售数量.

1、求下列二次函数的最大值或最小值:
⑴ y=-x2+2x-3; ⑵ y=-x2+4x y
2、图中所示的二次函数图像的解析 式为:

y ? 2 x 2 ? 8 x ? 13

⑴若-3≤x≤3,该函数的最大值、最小值 分别为( 55 )、( 5 )。 ⑵又若0≤x≤3,该函数的最大值、最小 值分别为( 55 )、( 13)。
-4 -2

6 4 2

0

x
2

求函数的最值问题,应注意什么?

26.3 .1 实际问题与二次函数

用总长为60米的篱笆围成矩形场地.

用总长为60米的篱笆围成矩形场地. 问题1: 若矩形的一边长为10米,它的面积是多少?

用总长为60米的篱笆围成矩形场地. 问题2: 若矩形的一边长分别为15米、20米、

30米时,它的面积是多少?

用总长为60米的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 当

s 随矩形一边长 l 的变化而变化。 是多少时,场地的面积 最大? l s
? l (30 ? l )
s ? ?l ? 30l
2

解:由题意得:s


(0 ? l ? 30)



s ? ?l ? 30l (0 ? l ? 30)
2

s

200

b 30 当 l?? ?? ? 15 2a 2 ? (?1)

0

15

30

l

s最大值

4ac - b 0 - 30 ? ? ? 225 4a 4 ? (-1)

2

2

用总长为60米的篱笆围成矩形场地,矩形

s 随矩形一边长l 的变化而变化。当 l 是 多少时,场地的面积 s 最大?
面积
解:由题意得:s


? l (30 ? l ) 2 s ? ?l ? 30l (0 ? l ? 30)
最大.

b 30 ?? ? 15 s最大值 当l?? 2a 2 ? (?1)

4ac - b 2 0 - 30 2 ? ? ? 225 4a 4 ? (-1)

答:当

l 是15米时,场地的面积 s

因为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的
顶点是最低(高)点, b 时, 所以当 x ? ? 2a 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 有最小(大)值 4ac ? b 4a
2

如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ 花圃宽为(24-4x)米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)

A B

D C

4ac ? b 2 b (2)当x= ? ? 3 时,S最大值= 4a =36(平方米) 2a

(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24-4x ≤8 4≤x<6 ∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

某商品现在的售价为每件60元, 每星期可卖出300件,市场调查 反映:每涨价1元,每星期少卖 出10件;每降价1元,每星期可 多卖出20件,已知商

品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润 最大? 请大家带着以下几个问题读题

(1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?
构建二次函数模型解决 一些实际问题

探究
某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出20件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大?

分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况

先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商 品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。 10x 涨价x元时则每星期少卖 件,实际卖出 件,单 (300-10x) 位利润为 元因此,所得利润 (60-40-X)



y=(300-10x)(60-40-x) 2
(0≤X≤30)

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000

怎样确定x的 取值范围?

y ? ?10 x ? 100 x ? 6000
2

(0≤X≤30)

b 4ac ? b 2 x?? ? 5时,y最大值 ? ? 6250 2a 4a
5 5 当x = ________时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价____元,
即定价_________元时,利润最大,最大利润是___________. 65 6250
y \元

6250 6000

(5,6250)

0

5

30

x\元

可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的过程得 出答案。 解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖20x件,实际卖出 (300+20x)件,单位利润为(60-40-X)元,因此,得利润

y=(300+20x)(60-40-x) 即y= -20x2 +100X+6000
当x ? ? b 5 ? 时,y最大 ? 6125 2a 2

1 答:定价为 57 元时,利润最大,最大利润为6125元 2 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

总结 :
运用函数来决策定价的问题:

构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)

练习

旅行社何时营业额最大

2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行 社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价 就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行 社可以获得最大营业额? 解: 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则

y ? x?800 ? 10?x ? 30??

? ?10 x 2 ? 1100 x
? ?10?x ? 55? ? 30250.
2

归纳小结:
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ?求出函数解析式和自变量的取值范围 ?配方变形,或利用公式求它的最大值或最小

值。 ?检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。

寄语

生活是数学的源泉, 探索是数学的生命线.

作业:
P25 P26 2. 3. 9.


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