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数线段的数学思想之应用

发布时间:2013-12-31 09:47:47  

数线段的数学思想之应用

吉水县阜田中心小学 周小燕 胡智文

在数学中,有许多数学思想方法,其中有一种思想就是数线段的数学思想。 什么是数线段的数学思想呢?

先看一个个问题:

如图①直线L上共有n个点:A1、A2、A3、?、An。问图中共有多少条

线段?

这就是一个数线段的问题,怎么数呢?

分析: L1A2 3? n以A1为一端点的线段有

图① A1A2、A1A3、?A1An 共(n-1)条;

以A2为一端点的线段有

A2A3、A2A4、?A2An 共(n-2)条;

?? ??

以An-1为一端点的线段有

An-1An 共 1 条;

故图中线段总数S=1+2+3+?+(n-1)

=1 n(n-1) 2本题的数法关键是从A1数起,按A1→An的顺序,先数A1,再数A2,一直数到An,不重复。这种数学思想方法,就叫做数线段的数学思想。

这种思想,在生活中和学习中运用非常广泛,应用得当,可简化许多问题。

一、 在生活中,有以下问题

1、房屋顶架如图②,问:

(1)三角形的个数;(2)顶架中角的个数。

分析:横梁上共有五个点

解:(1)从AP数起有:

△APB、△APC、△APD、△APE 4个

从BP数起有:

图② △BPC、△BPD、△BPE 3个

从CP数起有:

△CPD、△CPE 2个

从DP数起有:

△DPE 1个

故三角形共有:4+3+2+1=10(个)

(2)顶架中角的个数也同(1)的数法

结果为:4+3+2+1=10(个)

2、握手问题

某单位的一次会议共有10人参加,每两人握手一次,问共要握手多少次? 这一问题便可用数线段的数学思想来解决。

取n=10,则S=1 ×10×9=45 2故共要握手45次。

3、比赛问题

奥运会前夕,有一次足球预选赛,有15个队参加,若每两个队比赛一场,问共要比多少场赛?

1解:取n=15,则S= ×15×16=120 2故共要比赛120场。

4、备票问题

从“吉安——吉水”的途中,包括起止站共有4个站,且各站之间没有相同的票价。

(1)问“吉安——吉水”路上共有多少种票价?

(2)总站应预备车票多少种?

解:这个问题也可以用数线段的数学思想来解

(1)取n=4,则S=1 ×4×3=6 2故共有6种票价。

(2) 车票与票价有点不同,“吉安——吉水”的车票与“吉水——吉安”的车票不同,但票价是相同的,这问与方向有关,故车票张数是票价张数的2倍。

所以总站应预备车票 S’=2×6=12(种) An6

二、 在数学中也有诸多问题

A11、 数多边形对角线总条数

一个n边形如图③,问它共有多少条对角线? 5 要解决这一问题,便可用上述思想。

解:从A1数起有: A2A1A3、A1A4、?、A1An—1 有(n-3)条; 3 4 从A2数起:

图③ A2A4、A2A5、?、A2An 有(n-3)条;

从A3数起有:

A3A5、A3A6、?、A3An 有(n-4)条;

??

从An-2数起有:An-2An 有 1 条。

不重复,对角线的总条数为:

S=1+2+3+?+(n-3)+(n-3)

=1 (n-3)(n-2)+(n-3) 21 = n(n-3) 22、

解方程组也用到数线段的数学思想 2x+y=-1 ① x-2y=-8 ③

④ 已知两个关于x、y的方程组 与 ax+by=6 ax-by=-18 ②

ax+by=6 的解相同,试求关于x、y的方程组 的解。 ax-by=-18

ax+by=6 ax-by=-18

中去,最后才求出x、y的值,这就麻烦多了;如果用数线段的数学思想与方程组的思想相结合,那样就要简单得多了。

本题的关键是题中共有①②③④四个方程,这四个方程可以组成多少个方程组呢?这便可以用到数线段的数学思想了。

取n=6,则S=1 ×4×3=6 2

故①②③④四个方程共可以组成6个方程组。

再由方程组的思想,由于本题中的解相同,故x、y的值同时满足①②③④四个方程,那就意味着,这6个方程组的解都是相同的。

2x+y=-1 在此,我们只要求出方程组 的解来,便也就找到了本题的 x-2y=-8

ax+by=6 x=-2 答案了,解之得 这便也是方程组 的解。 ax-by=-18 y=3

其实,数线段的数学思想在很多问题中常常用得着,这里就不一一讲述了。

综上所述,说明数线段的数学思想确实是一种比较好的数学思想方法,它的运用非常广泛。如果在生活中合理应用,在学习中恰当运用,那便如虎添翼了。

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