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【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件:40 操作探究型问题

发布时间:2013-12-31 12:46:23  

第40课时 操作探究型问题

操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计 算等实验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完 全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动 手操作、合理猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题; (2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策略:运用 观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.

第40课时┃ 操作探究型问题

考向互动探究
探究一 折叠剪拼操作探究型问题 例1 [2013· 北京]阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图40-1①所示,在边长为a(a>2) 的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当 ∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ的面积. 小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC, ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG, △TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图40-1 ②).
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第40课时┃ 操作探究型问题

图40-1

请回答:

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形
(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为________; a (2)求正方形MNPQ的面积;
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第40课时┃ 操作探究型问题

(3)参考小明思考问题的方法,解决问题: 如图 40-2, 在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE =CF,再分别过点 D,E,F 作 BC,AC,AB 的垂线, 2 3 得到等边△RPQ, S △RPQ= ,则 AD 的长为________. 若 3 3

图40-2
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第40课时┃ 操作探究型问题

例题分层分析
(1)△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的

等腰直角三角形,拼成一个新的正方形怎么拼?边长多少?
动手试试. (2)要求正方形MNPQ的面积,可以利用转化思想,外

面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积.
(3)依图40-1②的作法补全图40-2,外面的三个“尖 角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积.

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第40课时┃ 操作探究型问题 解题方法点析
此类问题按照要求把一个图形先分成若干块,然后拼 接成一个符合条件的图形,常常利用平移、旋转、轴对称 等变换进行作图.
解:(2)四个等腰直角三角形面积和为 a2, 正方形 ABCD 的面积为 a2, ∴S
正方 形

MNPQ =S △ ARE + S △ DWH +S △ GCT +S △ SBF =4S △ ARE =

1 4× ×12=2. 2
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第40课时┃ 操作探究型问题
2 (3) . 3 提示:模仿小明的操作,向正三角形外面补出三个“尖 角三角形”,如下图. 这样,外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影 三角形的面积!

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第40课

时┃ 操作探究型问题
探究二 中心对称操作探究问题

例2 [2013· 陕西] 问题探究 (1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分; (2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作 出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方 形ABCD的面积四等分,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD= BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那 么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形 ABCD的面积分成相等的两部分?若存在,求出BQ的长; 若不存在,说明理由.
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第40课时┃ 操作探究型问题

图40-3

例题分层分析
(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分?

利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢?利用了圆 的什么性质?

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第40课时┃ 操作探究型问题

(2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的 部分呢?利用了正方形的什么性质?如果正方形内有一点

M,要求其中一条直线必须过点M,如何分割呢?
(3)把正方形改为菱形呢? 解题方法点析 平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形.过对称

中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形.

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第40课时┃ 操作探究型问题
解:(1)如图所示.

(2)如图,连接AC、BD相交于点O,

作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,
过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、 F两点,则直线OM、EF将正方形

ABCD的面积四等分.理由如下:

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第40课时┃ 操作探究型问题
∵点 O 是正方形 ABCD 的对称中心, ∴AP=CQ,EB=DF. 在△AOP 和△EOB 中, ∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠ AOE, ∴∠AOP=∠BOE. ∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°, ∴△AOP≌△BOE. ∴AP=BE=DF=CQ, ∴AE=BQ =CF=PD. 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为 d, 1 1 1 1 则 (AP+AE)d= (BE+BQ)d= (CQ+CF)d= (PD+DF)d. 2 2 2 2 ∴S 四边形 APOE =S 四边形 BEOQ=S 四边形 CQOF =S 四边形 FOPD . ∴直线 EF、 OM 将正方形 ABCD 的面积四等分.
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第40课时┃ 操作探究型问题

(3)存在.当 BQ=CD=b 时,PQ 将四边形 ABCD 的面积二等分. 理由如下: 如图,延长 BA 到点 E,使 AE=b,延长 CD 到点 F, 使 DF=a,连接 EF. ∵BE CF,BE=BC=a+b, ∴四边形 EBCF 是菱形. 连接 BF 交 AD 于点 M,则△MAB≌△MDF. ∴AM=DM, ∴P、M 两点重合. ∴P 点是菱形 EBCF 对角线的交点.

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第40课时┃ 操作探究型问题

在 BC 上截取 BQ=CD=b,则 CQ=AB=a. 设点 P 到菱形 EBCF 一边的

距离为 d, 1 1 1 则 (AB+BQ)d= (CQ+CD)d= (a+b)d, 2 2 2 ∴S 四边 形 ABQP=S
四边 形 CDPQ

.

∴当 BQ=b 时,直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成 相等的两部分.

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第40课时┃ 操作探究型问题
探究三 平移旋转操作探究问题

例3 [2013· 山西改编]数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题: 如图40-4,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF 叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC =FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交

AC于点G.
求重叠部分(△DCG)的面积.

图40-4
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第40课时┃ 操作探究型问题

(1)独立思考:请解答老师提出的问题; (2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将 △DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,

如图40-5,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出
解答过程.

图40-5

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第40课时┃ 操作探究型问题

例题分层分析 (1)为求△DCG的面积,需要研究该三角形的边角的特征;
(2)当将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,此 时G点是AH的中点吗?△DGH的面积与△DAH的面积之间 是倍分关系吗?

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第40课时┃ 操作探究型问题

解题方法点析
此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究 问题的情景和一个思维空间.解答中常常需要分类讨论、 自主探究、叙述推理.关键是掌握好平移前后,旋转前后

的图形是全等形.平移前后,每一个点移动的方向相同、
距离相等;旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同.

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第40课时┃ 操作探究型问题
解:∵∠ACB=90°,D 是 AB 的中点, ∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB. 又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B. ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC. ∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC. 又∵DC=DA,∴G 是 AC 的中点, 1 1 1 1 ∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3. 2 2 2 2 1 1 ∴S△ DCG= ×CG·DG= ×4×3=6. 2 2
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第40课时┃ 操作探究型问题

(2)∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1. ∵∠C=90°,ED⊥AB, ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2.∴GH=GD. ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°, ∴∠A=∠3,∴AG=GD,∴AG=GH, ∴点 G 是 AH 的中点. 在 Rt△ABC 中,AB= AC2+BC2= 82+62=10.
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第40课时┃ 操作探究型问题

1 D 是 AB 的中点,∴AD= AB=5. ∵ 2 在△ADH 与△ACB 中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°, ∴△ADH∽△ACB,∴ AD DH = , AC CB

5 DH 15 即 = ,∴DH= , 8 6 4 1 1 1 1

15 75 ∴S△ DGH= S△ADH = × ×DH·AD= × ×5= . 2 2 2 4 4 16
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