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【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件:39 函数实际应用型问题

发布时间:2013-12-31 12:46:30  

第39课时

函数实际应用型问题

函数实际应用型问题是把题中数量关系抽象为函数模 型,如一次函数、二次函数、反比例函数以及它们的分段 函数,进而应用函数进行分析、研究、解决有关问题.函 数问题的实质是研究两变量之间的对应关系,用函数思想 构建数学模型解决实际问题.

第39课时┃ 函数实际应用型问题

考向互动探究
探究一 分段函数实际应用

例1 [2013· 徐州]为增强公民的节约意识,合理利用天然气资 源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,

实行阶梯式气价,调整后的收费价格如下表所示:
每月用气量 不超出75 m3的部分 超出75 m3不超出125 m3的部分 单价(元/m3) 2.5 a

超出125 m3的部分

a+0.25

第39课时┃ 函数实际应用型问题
(1)若甲用户3月份的用气量为60 m3,则应缴费________ 元; (2)若调价后每月支出的燃气费为y(元),每月的用气量 为x(m3),y与x之间的关系如图39-1所示,求a的值及y与x之 间的函数关系式; (3)在(2)的条件下,若乙用户2、3 月份共用天然气175 m3(3月份用气量低

于2月份用气量),共缴费455元,乙用户
2、3月份的用气量各是多少?
图39-1

第39课时┃ 函数实际应用型问题
例题分层分析 (1)观察表格,你能获得哪些信息?3月份的用气量为60 m3,该如何缴费? (2)从折线统计图你能得到什么?折线分为哪几段?表中 a对应图中的什么?结合图象与表格能求出a. (3)从0≤x≤75,75<x≤125和x>125运用待定系数法分 别表示出y与x之间的函数关系式.

(4)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x) m3, 分3种情况:①x>125,175-x≤75时,②75<x≤125,175 -x≤75时,③75<x≤125,75<175-x≤125时,分别建立 方程求出其解.

第39课时┃ 函数实际应用型问题
解题方法点析 解分段函数问题的一般策略:

(1)分段函数的特征:不同的自变量区间所对应的函数式
不同,其函数图象是一个折线,解决分段函数问题,关键是 要与所在的区间相对应.

(2)分段函数中“折点”既是两段函数的分界点,同时又
分别在两段函数上,求解析式时要用好“折点”坐标,同时 在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义,“折点”

的纵坐标通常是不同区间的最值.
(3)分段函数应用广泛,在收费问题、行程问题及几何动 态问题中都有应用.

第39课时┃ 函数实际应用型问题
解:(1)150 (2)由题意,得a=(325-75×2.5)÷(125-75), a=2.75, ∴a+0.25=3.

设线段OA的解析式为y1=k1x,则有2.5×75=75k1,
∴k1=2.5, ∴线段OA的解析式为y1=2.5x(0≤x≤75); 设线段AB的解析式为y2=k2x+b,由图象得

第39课时┃ 函数实际应用型问题
∴线段AB的解

析式为y2=2.75x-18.75(75<x≤125);

(385-325)÷3=20,故C(145,385),设射线BC的解析 式为y3=k3x+b1,由图象得

∴射线BC的解析式为y3=3x-50(x>125).

(3)设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气(175-x) m3,
当x>125,175-x≤75时, 3x-50+2.5(175-x)=455, 解得x=135,175-135=40,符合题意;

第39课时┃ 函数实际应用型问题

当75<x≤125,175-x≤75时,

2.75x-18.75+2.5(175-x)=455,
解得x=145,不符合题意,舍去; 当75<x≤125,75<175-x≤125时, 2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方程无解. ∴乙用户2、3月份的用气量分别是135 m3,40 m3.

第39课时┃ 函数实际应用型问题

探究二 例2

图形的最大面积

[2013· 潍坊]为了改善市民的生活环境,我市在某河滨

空地处修建一个如图39-2所示的休闲文化广场.在 Rt△ABC内修建矩形水池DEFG,使顶点D、E在斜边AB上,

F、G分别在直角边BC、AC上;又分别以AB、BC、AC为
直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月 部分栽植花草;其余空地铺设地砖.其中AB=24 米, ∠BAC=60°.设EF=x米,DE=y米.
3

第39课时┃ 函数实际应用型问题

(1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x为何值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积 是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当x为何 值时,矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的 1 ?
3

图39-2

第39课时┃ 函数实际应用型问题
例题分层分析 (1)Rt△ABC中已知条件是什么?从中你能求出哪些边角? (2)图中还有哪些直角三角形?这些直角三角形边角关系能 不能用x,y来表示呢?根据AD+DE+BE=AB,列出y与x之间 的关系式. (3)也可以过C点作AB边上的高,利用相似三角形GCF与三 角形ACB相似,且相似三角形对应高的比等于相似比求出y与x 之间的关系式. (4)先证明两弯新月的面积=△ABC的面积,再根据三角形 的面积公式求出两弯新月的面积,然后根据矩形DEFG的面积 等于两弯新月面积的 1 列出关于x的一元二次方程,解方程即 3 可求解.

第39课时┃ 函数实际应用型问题

解题方法点析 利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是: 1.用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形 面积相关的量;

2.根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,用
函数表示出这个面积; 3.根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量 b 的值.当- 不在自变量的取值范围内时,应根据取值范 2a 围来确定最大值.

第39课时┃ 函数实际应用型问题

解:(1)在直角△ABC 中,由题意可得 AC=12 米, ∠ABC=30°, ∴AD=

3米,BC=36

DG x EF 3 = = x, BE= = 3x. tan60° 3 3 tan30°

又 AD+DE

+BE=AB, ∴y=24 (2)S 4 3- 3 3x(0<x<18). =- 4 3 3(x-9)2+108 3, 3平

矩形 DEFG=xy=

∴当 x=9 时,矩形 DEFG 的面积最大,最大面积是 108 方米.

第39课时┃ 函数实际应用型问题

(3)记 AC 为直径的半圆、 为直径的半圆、 为直径的 BC AB 1 半圆面积分别为 S 1、S2 、S3 ,两弯新月面积为 S,则 S1= π 8 1 1 AC2,S2= π BC2,S3= π AB2. 8 8 由 AC2+BC2=AB2, 可知 S 1+S2=S3,S1+S2-S=S 3-S △ABC,∴S=S△ ABC, 1 ∴S= ×12 2 3×36=216 3(平方米).

第39课时┃ 函数实际应用型问题

4 由- 3

3(x-9)2+108

1 3= ×216 3

3,

解得 x=9±3

3,符合题意,

∴当 x=9±3 3时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面 1 积的 . 3


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