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【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件:30 与圆有关的计算

发布时间:2013-12-31 12:46:33  

第30课时

与圆有关的计算

第30课时┃与圆有关的计算

考 点 聚 焦
考点1 正多边形和圆

正多边 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的 形和圆 一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆叫做 的关系 这个正多边形的外接圆

中心 一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的_______
正多边 半径 正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的________ 形和圆 中心角 的有关 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________ 概念 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ________ 边心距
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第30课时┃与圆有关的计算

180° (1)边长:an=2Rn2sin n
(2)周长:Pn=n·n a

正多边形的 有关计算

180° (3)边心距:rn=Rn2cos n

1 (4)面积:Sn= an2rn2n 2

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第30课时┃与圆有关的计算

(n-2)3180° (5)内角度数为: n

360° (6)外角度数为: n

360° (7)中心角度数为: n

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第30课时┃与圆有关的计算

考点2

弧长公式
2πR 若圆的半径是R,则圆的周长C=________

圆的周长

若一条弧所对的圆心角是n°,半径是R,则弧长 弧长公式
nπ R l=________. 180

在应用公式时,n和180不再写单位

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第30课时┃与圆有关的计算
考点3 扇形的面积公式
nπ R2 (1)S扇形=______(n是圆心角度数,R是半径); 360

扇形面积

1 lR (2)S扇形=______(l是弧长,R是半径) 2

弓形面积

S弓形=S扇形±S△

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第30课时┃与圆有关的计算 考点4 圆锥的侧面积与全面积

图形

(1)h是圆锥的高; 圆锥 简介 (2)a是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的______; 半径

(3)r是底面半径;
母线 (4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长,弧长等于圆 周长 锥底面________的扇形
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第30课时┃与圆有关的计算

圆锥的 侧面积

πra S侧=________

圆锥的
全面积

S全=S侧+S底=πra+πr2

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第30课时┃与圆有关的计算

归 类 探 究
探究一 正多边形和圆

命题角度: 1. 正多边形和圆有关的概念; 2. 正多边形的有关计算. 例1 [2013· 南昌 ] 如图 30-1, 正六边形 ABCDEF 中, AB

=2,点 P 是 ED 的中点,连接 AP,则 AP 的长为( C ) A.2 C. 13
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3

B.4 D. 11
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第30课时┃与圆有关的计算

图30-1





连接AE,求出正六边形的∠F=120°,再求出

∠AEF=∠EAF=30°,然后求出∠AEP=90°并求出AE的

长,再求出PE的长,最后在Rt△AEP中,利用勾股定理列式
进行计算即可得解. 如图,连接A

E,
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第30课时┃与圆有关的计算

1 在正六边形 ABCDE F 中,∠F = ×(6-2)·180°=120°. 6 1 ∵AF =EF,∴∠AEF =∠EAF = (180°-120°)=30°, 2 ∴∠AEP=120°-30°=90°, 3 AE =2×EF×cos30°=2×2× =2 3. 2 1 ∵点 P 是 ED 的中点,∴EP= ×2=1, 2 在 Rt△AEP 中,AP= AE 2+EP 2 = (2 故选 C.
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3)2 +12= 13.

第30课时┃与圆有关的计算

方法点析 (1)正n边形的半径R、边心距r和边长的一半构成直角 三角形,在正n边形中,共有2n个这样的直角三角形; (2)在正多边形中,构造直角三角形或特殊的三角形是

常用方法.

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第30课时┃与圆有关的计算
探究二 计算弧长

命题角度:

1.已知圆心角和半径求弧长;
2.利用转化思想求弧长. 例2 [2013· 宜宾]如图30-2,△ABC是正三角形,曲线

CDEF…叫做“正三角形的渐开线”,其中CD,DE,EF,…
的圆心按点A,B,C循环.如果AB=1, 那么曲线CDEF的长是 ________(结果保留π). 4π
图30-2
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第30课时┃与圆有关的计算
解 析
弧 CD,弧 DE,弧 EF 的圆心角都是 120 度,

半径分别是 1,2,3,利用弧长的计算公式可以求得三条弧长, 三条弧的和就是所求曲线的长. 120π ×1 2π 弧 CD 的长是: = , 180 3 120π ×2 4π 弧 DE 的长是: = , 180 3 120π ×3 弧 EF 的长是: =2π , 180 2π 4π 则曲线 CDEF 的长是: + +2π =4π . 3 3
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第30课时┃与圆有关的计算 探究三 计算扇形面积

命题角度: 1. 已知扇形的半径和圆心角,求扇形的面积;

2. 已知扇形的弧长和半径,求扇形的面积.
例3 [2012· 泰州]如图30-3,在边长为1个单位长度的小正方形

组成的网格中,△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点
上.将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到 △A1B1C1,然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到

△A1B2C2.
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第30课时┃与圆有关的计算
(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2; (2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积 (重叠部分不重复计算).
解 析 (1)根据图形平移及旋转的性质 画出△A1B1C1及△A1B2C2即可;(2)将△ABC 向下平移4个单位,AC所扫过的面积是以4 为底,以2为高的平行四边形的面积;再向 右平移3个单位,AC所扫过的面积是以3为 底,以2为高的平行四边形的面积;当 △A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2 时,A1C1所扫过的面积是以A1为圆心,以2 为半径,圆心角为90°的扇形的面积,再减 去重叠部分的面积.
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图30-3

第30课时┃与圆有关的

计算

解:(1)如图: (2)由平移,得 A1C1 ∥B 1E∥AC,A 1C1 = B1E=AC,∴四边形 ACEB1、四边形 A 1C1EB1 都是平行四边形,∴线段 AC 扫过区域的面积 为S ACEB1+S A1C1ED+S 扇形 C2A1D= 2)2 =14+π .

45×π ×(2 4×2+3×2+ 360

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第30课时┃与圆有关的计算

方法点析 求不规则图形的面积,常转化为易解决问题的基本图 形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果.

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第30课时┃与圆有关的计算
探究四 和圆锥的侧面展开图有关的问题

命题角度:

1. 圆锥的母线长、底面半径等计算;
2. 圆锥的侧面展开图的相关计算. 例4 如图 30-4, Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, AC=BC=2 2,
若把 Rt △ ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周,则所得的几何体 的表面积为( D ) A.4π C.8π
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B.4 D.8

2π 2π

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第30课时┃与圆有关的计算

图30-4





过 C 作 CO⊥AB ,则 OC=2, Rt △ABC 绕边 A B

所在直线旋转一周 ,则所得的几何体的表面积 为 2×OC×AC×π =2×2×2 2π =8 2π .

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第30课时┃与圆有关的计算
探究五 用化归思想解决生活中的实际问题

命题角度: 1. 用化归思想解决生活中的实际问题; 2. 综合利用所学知识解决实际问题. 例5 [2013· 威海] 如图30-5,CD为⊙O的直径,

CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为点E, AO=1.

(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
图30-5
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第30课时┃与圆有关的计算
解:(1)∵CD 为⊙O 的直径,CD⊥AB, 1 1 ∴∠C= ∠AOD.∵∠AOD=∠COE,∴∠C= ∠COE. 2 2 ∵AO⊥BC,∴∠C=30°. (2)连接 OB.由(1)知∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°. 在 Rt△AOF 中,AO=1,∠AOF=60°, 3 1 ∴AF= ,OF= .∴AB= 3. 2 2 ∴S 阴影 =S 扇形 OAB -S △OAB =
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120 2 1 1 1 3 ×1 π - × × 3= π - . 360 2 2 3 4
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第30课时┃与圆有关的计算

回 归 教 材
平面图形的滚动问题

教材母题
把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的 距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮

中心与平面的距离保持不变(如图30-6).因此,当车辆
在平坦的路上行驶时,坐车的人会感觉到非常平稳.由 此可见,车轮做成圆形也蕴含了丰富的数学道理.

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第30课时┃与圆有关的计算

图30-6

[点析] 平面图形的滚动问题,主要考查动点移动的路线或 围成的面积,难度较大,创新性很强,是中考的热点考题.

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中考预测
1. 如图 30-7,

△ABC 的边 BC 位于直线 l 上, Rt AC= 3, ∠ACB =90 °,∠ A = 30°,若 Rt △ABC 由现在的位置向右 无滑动翻转,当点 A 第 3 次落在直线 l 上时,点 A 所经过的

(4+3)π 路线的长为________(结果用含π 的式子表示).

图30-7
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第30课时┃与圆有关的计算





根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1,

AB=2BC=2,∠ABC=60°.点A先是以B点为旋转中心,顺时 针旋转120°到A1,再以点C1为旋转中心,顺时针旋转90°到A2, 然后根据弧长公式计算两段弧长,从而得到点A第3次落在直线l 上时,点A所经过的路线的长.

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第30课时┃与圆有关的计算

∵Rt△ABC 中,AC= 3,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°. ∵Rt△ABC 在直线 l 上无滑动的翻转,且点 A 第 3 次落在直线 l ︵ ︵ 上时,有 3 个AA1的长,2 个A 1A2的长, 120π ×2 90π × 3 ∴点 A 经过的路线长= ×3+ ×2=(4+ 3)π . 180 180

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第30课时┃与圆有关的计算

2.如图30-8,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD

在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一
次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为________. 6π

图30-8

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第30课时┃与圆有关的计算

解 析

如图,根据旋转的性质知,点A经过的路线长是三段:

①以90°为圆心角,AD长为半径的扇形的弧长;②以90°为圆心 角,AB长为半径的扇形的弧长;③90°为圆心角,矩形ABCD对 角线长为半径的扇形的弧长. ∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=3, ∴BC=AD=3,∠ADC=90°,对角线AC(BD)=5. ∵根据旋转的性质知,∠ADA′=90°,AD=A′D=BC=3,

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第30课时┃与圆有关的计算

∴点 A 第一次翻滚到点 A′位置时, 则点 A′经过的路线长为: 90π ×3 3π = . 180 2 同理,点 A′第一次翻滚到点 A″位置时,则点 A′经过的路 90π ×4 线长为: =2π . 180 点 A″第一次翻滚到点 A1 位置时,则点 A″经过的路线长 90π ×5 5π 为: = . 180 2
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第30课时┃与圆有关的计算

则当点 A 第一次翻滚到点 A 1 位置时, A 经过的路线长为: 点 3π 5π +2π + =6π . 2 2 故答案是:6π .

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