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圆的动点问题

发布时间:2013-12-31 13:50:30  

以圆为载体的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1.在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM∥x轴(如图所示).点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.

(1)求b的值和点D的坐标;

(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的圆P与圆O外切,求圆O的半径.

(1)点B(-1,0),代入得到b=1,直线BD:y=x+1,Y=4,代入x=3,点D(3,1)

(2)1.PO=OD=5,则P(5,0)

2 .PD=OD=5,则PO=2*3=6,则P(6,0)

3.PD=PO 设P(x,0),D(3,4) 勾股定理,解得x=25/6,则P(25/6,0)

(3)由P,D两点坐标可以算出

1.PD=2根号5 r=5-2根号5 2.PD=5 r=1 3.PD=25/6 r=0

2.如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4),动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;

1(2)以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙

C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连2

接PA、PB.

① 当⊙C与射线DE有公共点时,求t② 当△PAB为等腰三角形时,求t的值.

解:(1),;

(2)①当⊙C的圆心C由点M(5,0)向左运动,使点A到点D并随⊙C继续向左运动时, 有,即,

当点C在点D左侧时,过点C作CF⊥射线DE,垂足为F,则由∠CDF=∠EDO, 得△CDF∽△EDO,则,解得,

由t,即,解得,

∴当⊙C与射线DE有公共点时,t的取值范围为

②当PA=AB时,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q, ,

有PA2=PQ2+AQ2,

∴,即, 解得

当时,有, ,

∴,解得,

当时,有,

∴,即,

解得(不合题意,舍去),

∴当

是等腰三角形时,,t=4或,t=5或,或。

3.如图,射线OA⊥射线OB,半径r=2cm的动圆M与OB相切于点Q(圆M与OA?没有公共点),P是OA上的动点,且PM=3cm,设OP=xcm,OQ=ycm.

(1)求x、y所满足的关系式,并写出x的取值范围.

(2)当△MOP为等腰三角形时,求相应的x的值.

(3)是否存在大于2的实数x,使△MQO∽△OMP?若存在,求相应x的值,若不存在,请说明理由.

解:(1)过点M作MD⊥OA,垂足为D,显然ODMQ为矩形,

∴x2-4x+y2=5.∴x取值范围为2<x≤2 .……………………(4分)

(2)若△MOP为等腰三角形,①若OM=MP,此时x=4;

②若MP=OP时,x=3;③若OM=OP时,∵OM=4+y2,∴4+y2=x2,于是

解得x= ……………………(8分)

(3)分三种情况依次讨论:

①假设两三角形相似,若∠OPM=90°,则MP=y,OP=2=x,得x=2,不是大于2的实数,故∠OPM不可能是90°;

②若∠MOP=90°,由于圆M在第一象限,所以这不可能.

③假设△QMO∽△MOP,此时∠OMP=90°,则 ,∴ = = .

得4+y2=2x,于是 得x=1+ <2 .

∴存在这样的实数x,并且x=1+ .………………………(12分) ∴OD=MQ=2,MD=OQ=?y,?∴PD=x-2.在Rt△MDP中,y2+(x-2)2=32,

4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圆,M为圆心.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求阴影部分的面积;

(3)在x轴的正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=k,△CPQ的面积为S,求S关于k的函数关系式,并求出S的最大值.

解:(1)由抛物线经过A(-1,0),B(4,0),

设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4),

将C(0,-4)代入上式中,得-4a=-4,a=1.

∴y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4.

(2)∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4).

∴OB=OC=4,OA=1

∴∠OBC=45°,∴∠AMC=90° ∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17

AM2=CM2=17/2

∴S阴影=17/8

π.

(3)∠OBC=45°,PQ⊥x轴;

∴BP=PQ=k,

∴S=1/2

k?(4-k)=-1/2

k2+2k.

∴当k=2时,Smax=2.

5.如图,在平面直角坐标系中,半圆M的圆心M在x轴上,半圆M交x轴于A(-1,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,弦AC的垂直平分线交y轴于点D,连接AD并延长交半圆M于点E.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)求证:

1(3

)若P为x轴负半轴上的一点,且OP=AE

,是否存在过点P的直线,使该直线与(1)中所得2

的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?若存在,求出这条直线的解析式;若不存在.请说明理由.

6.如图所示,在直角坐标系中,⊙P经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A

(-6,0)、B(0,-8)两点,两点.

(1)求直线AB的函数表达式;

(2)有一开口向下的抛物线过B点,它的对称轴平行于y轴且经过点P,顶点C在⊙P上,求该抛物线的函数表达式;

1(3)设(2)中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S△QDE=S△ABC?若存在,15

求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

7.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).

(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?

(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?

8.如图,⊙M与x轴相切于点A(-2,0),⊙M交y轴正半轴于B,C两点,且BC=4.

(1)求⊙M的半径;

(2)求证:四边形ACBM为菱形;

(3)若抛物线y=ax+bx+c经过O,A两点,且开口向下,当它的顶点不在直线AB的上方时,求a的 2

取值范围.

9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,⊙P经过点A、点B(圆心P在x轴负半轴上),已知AB=10,AP=

(1)求点P到直线AB的距离;

(2)求直线y=kx+b的解析式;

(3)在⊙P上是否存在点Q,使得以A,P,B,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、2C、D四点.抛物线y=ax +bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.

(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.

25. 4

11.如图,在平面直角坐标系中,以点A(-3,0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点(点B在点C的左边),与y轴相交于D、M两点(点D在点M的下方).

(1)求以直线x=-3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式;

(2)若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点,求PC+PD的取值范围;

(3)若点E为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点F,使得以点B、C、E、F

为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.

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