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初二数学易错题型

发布时间:2013-12-31 16:55:20  

题型:解答题

考察范围:轴对称

试题:取一张长方形的纸片,如图①所示,折叠一个角,记顶点A落下的位置为A′,折痕为CD,如图②所示再折叠另一个角,使DB沿DA′方向落下,折痕为DE,试判断∠CDE的大小,并说明你的理由。

答案:解:∠CDE=90°,

理由:由折叠知

∠BDE=∠A′DE,∠A′DC=∠ADC

所以∠CDE=∠ADA′+∠BDA =(∠ADA′+∠BDA′) =×180°=90°。

备注:

题型:填空题

考察范围:轴对称

试题:有一张矩形纸片ABCD,按下面步骤进行折叠:

第一步:如图①,将矩形纸片ABCD折叠,使点B、D重合,点C落在点C′处,得折痕EF; 第二步:如图②,将五边形AEFC′D折叠,使AE、C′F重合,得折痕DG,再打开;

第三步:如图③,进一步折叠,使AE、C′F均落在DG上,点A、C'落在点A'处,点E、F落在点E′处,得折痕MN、QP,这样,就可以折出一个五边形DMNPQ。

(1)请写出图①中一组相等的线段( )写出一组即可;

(2)若这样折出的五边形DMNPQ,如图③,恰好是一个正五边形,当AB=a,AD=b,DM=m时,有下列结论:

①a2-b2=2abtan18°;②;③b=m+atan18°;④ b=m+mtan18°, 其中,正确结论的序号是( )(把你认为正确结论的序号都填上)。

答案:(Ⅰ)

(Ⅱ)①②③

备注: (答案不惟一,也可以是等);

题型:解答题

考察范围:一次函数的图像

试题:如图所示,直线和-2交于点P,直线分别交x轴、y轴于点A,B,直线

(1)两直线的交点P的坐标;

(2)△PCA的面积。

交y轴于点C。求:

答案:解:(1)解方程组得所以交点P的坐标为;

(2)在函数中,令x=0,得y=6,令y=0,得x=8,所以点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),在函数中,令x=0,得y=-2,所以点C的坐标为(0,-2),所以|BC|=8,| OA| =8,过点P作PD⊥y轴于D点,所

备注:

题型:证明题

考察范围:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

试题:已知:如图所示,AB=BC,∠BAD=∠BCD,∠BDA=∠E,C、D、E在一条直线上,求证:△ADE是等腰三角形。

答案:先证AD=CD,再证∠BDC=∠E,再证∠EAD=∠E,得AD=ED,可证。

证明“略”

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。

探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。

说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);

(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。

①AN=NC(如图②);

②DM∥AC(如图③)。

附加题:若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由。

答案:

解:BM+CN=MN

证明:如图,延长AC至M1,使CM1=BM,连结DM1, 由已知条件知:∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,

∴∠ABD=∠ACD=90°,

∵BD=CD,

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,

∴∠MDB=∠M1DC,DM=DM1,

∴∠MDM1=(120°-∠MDB)+∠M1DC=120°,

又∵∠MDN=60°,

∴∠M1DN=∠MDN=60°,

∴△MDN≌△M1DN,

∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB;

附加题: CN-BM=MN,

证明:如图,在CN上截取,使CM1=BM,连结DM1, ∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°, ∴∠DBM=∠DCM1=90°,

∵BD=CD,

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,

∴∠MDB=∠M1DC,

DM=DM1,

∵∠BDM+∠BDN=60°,

∴∠CDM1+∠BDN=60°,

∴∠NDM1=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120°-60°=60°

∴∠M1DN=∠MDN,

∵AD=AD,

∴△MDN≌△M1DN,

∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB。

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:

问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:

①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN。

②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN。

然后运用类比的思想提出了如下的命题:

③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN。

任务要求:

(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;

(2)请你继续完成下面的探索:

①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF?中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)

②如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。

(1)我选

证明:

答案:解:(1)选命题① 证明: 在图1中,∵∠BON=60°, ∴∠CBM+∠BCN=60°, ∵∠BCN+∠ACN=60°, ∴∠CBM=∠ACN,

又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,∴△BCM≌△CAN,

∴BM=CN,

选命题②,证明:在图2中, ∵∠BON=90°,

∴∠CBM+∠BCN=90°, ∵∠BCN+∠DCN=90°, ∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN,

选命题③证明:在图3中, ∵∠BON=108°,

∴∠CBM+∠BCN=108°, ∵∠BCN+∠DCN=108°, ∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°,∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN;

(2)①当∠BON=

②BM=CN成立,

证明:如图5,连结BD、CE,

在△BCD和△CDE中, 时,结论BM=CN成立,

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE,

∴△BCD≌△CDE,

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD,

∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°,

∴∠MBC=∠NCD,

又∵∠DBC=∠ECD=36°,

∴∠DBM=∠ECN,

∴△BDM≌△ECN。

备注:

题型:操作题

考察范围:全等三角形的性质

试题:我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点,例如:如图(1),平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点。

(1)如图(2),已知平行四边形ABCD,请你在图(2)中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);

(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图(3)、

图(4)中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):

①如图(3),当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是____; ②如图(4),当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是____;

答案:解:(1)比如:

(2)①S1+S4=S2+S3或S1+S3=S2+S4或S1·S3=S2·S4或S1/S4=S2/S3等;

②S1·S3=S2·S4或S1/S2=S4/S3等。

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一 点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD,探究:当点M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。

(1)如图(1),当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是____;此时=____;

(2)如图(2),当点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;

(3)如图(3),当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=____(用x、L表示)。

答案:解:(1)BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,此时

=

(2)猜想:结论仍然成立,

证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE,

∵BD=CD,且∠BDC=120°,

∴∠DBC=∠DCB=30°,

又△ABC是等边三角形,

∴∠MBD=∠NCD=90°,

在△MBD与△ECD中,

BM=CE,∠MBD=∠ECD,BD=DC,

∴△MBD≌△ECD(SAS),

∴DM=DE,∠BDM=∠CDE,

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°,

在△MDN与△EDN中:

DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,

∴△MDN≌△EDN(SAS),

∴MN=NE=NC+BM,

△AMN 的周长Q=AM+AN+MN

=AM+AN+(NC+BM)

=(AM+BM)+(AN+NC)

=AB+AC

=2AB,

而等边△ABC的周长L=3AB, ∴;

(3)当M、N分别在AB、CA的延长线上时,

若AN=x,则Q=2x+

备注: L(用x、L表示)。

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°。说明:BE=CF。

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4,求GH的长。

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4。

直接写出下列两题的答案:

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,则GH=________________;

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,则GH=_____________(用n的代数式表示)。

答案:解:(1)如图1,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,

∴∠EAB+∠AEB=90°,

∵∠EOB=∠AOF=90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°,

∴∠EAB=∠FBC,

∴△ABE≌△BCF,

∴BE=CF;

(2)如图2,过点A作AM//GH交BC于M,过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O′,则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ∴EF=BN,GH=AM, ∵∠FOH=90°,AM//GH,EF//BN,

∴∠NO′A=90°,

故由(1)得,

△ABM≌△BCN,

∴AM=BN,

∴GH=EF=4。

(3)①8;

②4n。

备注:

题型:操作题

考察范围:角平分线的定义 |等腰三角形的性质,等腰三角形的判定|全等三角形的性质

试题:(1)如图1,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF 是平行四边形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线。(保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使它的第三个顶点在△ABC的其它边上,请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形,且三个图形中的等腰三角形各不相同,并在图下方的横线上写明所画等腰三角形的腰和腰长。(不要求尺规作图)

答案:解:(1)如图所示:

(2)如图:

备注:

题型:解答题

考察范围:因式分解

试题:计算多项式的乘法时,有这样一个结果:

(x+p)(x+q)=x2+mx+n

则m=(p+q),n=pq

这说明如果一个二次三项式的常数项分成p·q,而p+q恰好是系数,那么这个x2+mx+n二次三项式就可以分解成x2+mx+n=(x+p)(x+q),通过上面的方法,分解下列二次三项式:

(1)x2+5x+6; (2)x2-5x+6;(3)x2-5x-6;(4)x2+5x-6;

(5)x2-x-6; (6)x2+x-6; (7)x2-7x+6;(8)x2+7x+6。

答案:解:(1)(x+2)(x+3);(2)(x-2)(x-3);(3)(x-6)(x+1);(4)(x-1)(x+6);(5)(x-3)(x+2);(6)(x+3)(x-2);(7)(x-6)(x-1);(8)(x+6)(x+1)。

备注:

题型:计算题

考察范围:因式分解

试题:计算:

答案:解:原式=

备注: 。 。

题型:单选题

考察范围:因式分解

试题:任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式,对于两个乘数的差的绝对值最小的

一种分解:n=p×q(p≤q)可称为正整数n的最佳分解,并规定F(n)=。如:12=1×12=2×6=3×4,则

F(12)=,则在以下结论: ①

F(2)=, ②

F(24)= ,③若n是一个完全平方数,则F(n)=1,④若n是一个完全立方数,即n=a3(a是正整数),则F(n)=。中,正确的结论有:

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

答案:C

备注:

题型:解答题

考察范围:因式分解

试题:先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:

例1.1+ax+ax(1+ax)

=(1+ax)(1+ax)

=(1+ax)2

例2.1+ax+ax(1+ax)+ax(1+ax)2

=(1+ax)(1+ax)+ax(1+ax)2

=(1+ax)2+ax(1+ax)2

=(1+ax)2(1+ax)

=(1+ax)3

(1)分解因式:

1+ax+ax(1+ax)+ax(1+ax)2+…+ax(1+ax)n;

(2)分解因式: [ ]

x-1-x(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+……-x(x-1)2003+x(x-1)2004。

答案:解:(1)

(2)

=

备注: 。 ;

题型:解答题

考察范围:绝对值|有理数减法|有理数除法|有理数的混合运算

试题:

在某地有一小洞,里面藏着无数的财宝,在山洞的入口处有一块标牌,上面有如下数学算式“①|172-83|;②|-3|×(-3)+2÷0.2;③(-1)12-22;④|6.7-(-8)|;⑤5-|(-2)3|;⑥-|-π|+3.14;⑦34÷7-5;⑧(﹣1)÷6”。经人破解,发现原来在上述某个算式后面有一个开启山洞大门的金钥匙,其他的则是炸弹、假如你一次就拿到钥匙,里面所有的财宝就是你的;假如你没有拿到钥匙,那么你的生命和所有财宝都不存在了,把上述算式进行计算后,钥匙就在结果绝对值最小的标牌后面、聪明的你请仔细思考一下,如何能拿到这些财宝?

答案:

解:①∵|172﹣83|=89,

∴|89|=89;

②|﹣3|×(-3)+2÷0.2=﹣9+10=1,

∴|1|=1;

③(﹣1)12﹣22=1﹣4=﹣3,

∴|﹣3|=3;

④|6.7﹣(﹣8)|=6.7+8=14.7,

∴|14.7|=14.7;

⑤5﹣|(﹣2)3|=5﹣8=﹣3,

∴|﹣3|=3;

⑥﹣|﹣π|+3.14=﹣π+3.14,

∴|﹣π+3.14|=π﹣3.14;

⑦34÷7﹣5=﹣, ∴=;

⑧(-1)÷6=﹣, ∴=;

<1<3=3<14.7<89, ∵π﹣3.14

∴⑥<⑦<⑧<②<③=⑤<④<①,

由此可以看出:⑥式的绝对值最小,所以钥匙在⑥牌的后面

备注:

题型:解答题

考察范围:勾股定理

试题:有一块边长为12米的正方形绿地,如图所示,在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米),由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走?米,踏之何忍?”请问:小明在标牌?填上的数字是多少?

答案:解:在Rt△ABC中,AB为斜边,

∴??,

=??米=??米=13米,

少走的距离为AC+BC﹣AB=(12+5)﹣13(米)=4米

答:小明在标牌?填上的数字是4.

????

试题:取一张长方形的纸片,如图①所示,折叠一个角,记顶点A落下的位置为A′,折痕为CD,如图②所示再折叠另一个角,使DB沿DA′方向落下,折痕为DE,试判断∠CDE的大小,并说明你的理由。

??

答案:解:∠CDE=90°,

理由:由折叠知

∠BDE=∠A′DE,∠A′DC=∠ADC

所以∠CDE=??∠ADA′+??∠BDA

=??(∠ADA′+∠BDA′)

=??×180°=90°。

答案:解:∠CDE=90°,

理由:由折叠知

∠BDE=∠A′DE,∠A′DC=∠ADC

所以∠CDE=??∠ADA′+??∠BDA

=??(∠ADA′+∠BDA′)

=??×180°=90°。

备注:

备注:

题型:填空题

考察范围:轴对称

试题:有一张矩形纸片ABCD,按下面步骤进行折叠:

第一步:如图①,将矩形纸片ABCD折叠,使点B、D重合,点C落在点C′处,得折痕EF; 第二步:如图②,将五边形AEFC′D折叠,使AE、C′F重合,得折痕DG,再打开;

第三步:如图③,进一步折叠,使AE、C′F均落在DG上,点A、C'落在点A'处,点E、F落在点E′处,得折痕MN、QP,这样,就可以折出一个五边形DMNPQ。

(1)请写出图①中一组相等的线段( )写出一组即可;

(2)若这样折出的五边形DMNPQ,如图③,恰好是一个正五边形,当AB=a,AD=b,DM=m时,有下列结论:

①a2-b2=2abtan18°;②??;③b=m+atan18°;④ b=??m+mtan18°,

其中,正确结论的序号是( )(把你认为正确结论的序号都填上)。

答案:(Ⅰ)??(答案不惟一,也可以是等);

(Ⅱ)①②③

答案:(Ⅰ)??(答案不惟一,也可以是等);

(Ⅱ)①②③

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:一次函数的图像

试题:如图所示,直线??和??-2交于点P,直线??分别交x轴、y轴于点A,B,直线??交y轴于点C。求:

(1)两直线的交点P的坐标;

(2)△PCA的面积。

??

答案:解:(1)解方程组??得??所以交点P的坐标为??;

(2)在函数??中,令x=0,得y=6,令y=0,得x=8,所以点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),在函数??中,令x=0,得y=-2,所以点C的坐标为(0,-2),所以|BC|=8,| OA| =8,过点P作PD⊥y轴于D点,所以????。

答案:解:(1)解方程组??得??所以交点P的坐标为??;

(2)在函数??中,令x=0,得y=6,令y=0,得x=8,所以点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),在函数??中,令x=0,得y=-2,所以点C的坐标为(0,-2),所以|BC|=8,| OA| =8,过点P作PD⊥y轴于D点,所以????。

备注:

备注:

题型:证明题

考察范围:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

试题:已知:如图所示,AB=BC,∠BAD=∠BCD,∠BDA=∠E,C、D、E在一条直线上,求证:△ADE是等腰三角形。

??

答案:先证AD=CD,再证∠BDC=∠E,再证∠EAD=∠E,得AD=ED,可证。

证明“略”

答案:先证AD=CD,再证∠BDC=∠E,再证∠EAD=∠E,得AD=ED,可证。

证明“略”

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:操作:如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN。

探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明。

说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);

(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。

①AN=NC(如图②);

②DM∥AC(如图③)。

附加题:若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其它条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由。

答案:

答案:

解:BM+CN=MN

证明:如图,延长AC至M1,使CM1=BM,连结DM1,

由已知条件知:∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°,

∴∠ABD=∠ACD=90°,

∵BD=CD,

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,

∴∠MDB=∠M1DC,DM=DM1,

∴∠MDM1=(120°-∠MDB)+∠M1DC=120°,

又∵∠MDN=60°,

∴∠M1DN=∠MDN=60°,

∴△MDN≌△M1DN,

∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB;

附加题: CN-BM=MN,

证明:如图,在CN上截取,使CM1=BM,连结DM1, ∵∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=30°, ∴∠DBM=∠DCM1=90°,

∵BD=CD,

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1,

∴∠MDB=∠M1DC,

DM=DM1,

∵∠BDM+∠BDN=60°,

∴∠CDM1+∠BDN=60°,

∴∠NDM1=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120°-60°=60°

∴∠M1DN=∠MDN,

∵AD=AD,

∴△MDN≌△M1DN,

∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB。

??

??

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:

问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:

①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN。

②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN。

然后运用类比的思想提出了如下的命题:

③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN。

任务要求:

(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;

(2)请你继续完成下面的探索:

①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF?中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)

②如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。

(1)我选

证明:

??????

答案:解:(1)选命题① 证明:

在图1中,∵∠BON=60°,

∴∠CBM+∠BCN=60°,

∵∠BCN+∠ACN=60°,

∴∠CBM=∠ACN,

又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,

∴△BCM≌△CAN,

∴BM=CN,

选命题②,证明:在图2中,

∵∠BON=90°,

∴∠CBM+∠BCN=90°,

∵∠BCN+∠DCN=90°,

∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,

∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN,

选命题③证明:在图3中,

∵∠BON=108°,

∴∠CBM+∠BCN=108°,

∵∠BCN+∠DCN=108°,

∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°, ∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN;

(2)①当∠BON=??时,结论BM=CN成立, ②BM=CN成立,

证明:如图5,连结BD、CE,

在△BCD和△CDE中,

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE, ∴△BCD≌△CDE,

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD, ∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°, ∴∠MBC=∠NCD,

又∵∠DBC=∠ECD=36°,

∴∠DBM=∠ECN,

∴△BDM≌△ECN。

答案:解:(1)选命题① 证明:

在图1中,∵∠BON=60°,

∴∠CBM+∠BCN=60°,

∵∠BCN+∠ACN=60°,

∴∠CBM=∠ACN,

又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°,

∴△BCM≌△CAN,

∴BM=CN,

选命题②,证明:在图2中,

∵∠BON=90°,

∴∠CBM+∠BCN=90°,

∵∠BCN+∠DCN=90°,

∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°,

∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN,

选命题③证明:在图3中,

∵∠BON=108°,

∴∠CBM+∠BCN=108°,

∵∠BCN+∠DCN=108°,

∴∠CBM=∠DCN,

又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°, ∴△BCM≌△CDN,

∴BM=CN;

(2)①当∠BON=??时,结论BM=CN成立, ②BM=CN成立,

证明:如图5,连结BD、CE,

在△BCD和△CDE中,

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE, ∴△BCD≌△CDE,

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD, ∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°, ∴∠MBC=∠NCD,

又∵∠DBC=∠ECD=36°,

∴∠DBM=∠ECN,

∴△BDM≌△ECN。

??

??

??

??

备注:

备注:

题型:操作题

考察范围:全等三角形的性质

试题:我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点,例如:如图(1),平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点。

??

(1)如图(2),已知平行四边形ABCD,请你在图(2)中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);

(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图(3)、图(4)中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):

①如图(3),当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是____; ②如图(4),当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是____;

答案:解:(1)比如:

??

(2)①S1+S4=S2+S3或S1+S3=S2+S4或S1·S3=S2·S4或S1/S4=S2/S3等;

②S1·S3=S2·S4或S1/S2=S4/S3等。

答案:解:(1)比如:

??

(2)①S1+S4=S2+S3或S1+S3=S2+S4或S1·S3=S2·S4或S1/S4=S2/S3等;

②S1·S3=S2·S4或S1/S2=S4/S3等。

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一 点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD,探究:当点M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。

??

(1)如图(1),当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是____;此时??=____;

(2)如图(2),当点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;

(3)如图(3),当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=____(用x、L表示)。

答案:解:(1)BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,此时??=??;

答案:解:(1)BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN,此时??=??;

(2)猜想:结论仍然成立,

证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE, ∵BD=CD,且∠BDC=120°,

∴∠DBC=∠DCB=30°,

又△ABC是等边三角形,

∴∠MBD=∠NCD=90°,

在△MBD与△ECD中,

BM=CE,∠MBD=∠ECD,BD=DC,

∴△MBD≌△ECD(SAS),

∴DM=DE,∠BDM=∠CDE,

∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°,

在△MDN与△EDN中:

DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,

∴△MDN≌△EDN(SAS),

∴MN=NE=NC+BM,

△AMN 的周长Q=AM+AN+MN

=AM+AN+(NC+BM)

=(AM+BM)+(AN+NC)

=AB+AC

=2AB,

而等边△ABC的周长L=3AB,

∴??;

??

(3)当M、N分别在AB、CA的延长线上时, 若AN=x,则Q=2x+??L(用x、L表示)。

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:全等三角形的性质

试题:(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°。说明:BE=CF。

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4,求GH的长。

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4。

直接写出下列两题的答案:

①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,则GH=________________;

②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,则GH=_____________(用n的代数式表示)。

答案:解:(1)如图1,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,

∴∠EAB+∠AEB=90°,

∵∠EOB=∠AOF=90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°,

∴∠EAB=∠FBC,

∴△ABE≌△BCF,

∴BE=CF;

答案:解:(1)如图1,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,

∴∠EAB+∠AEB=90°,

∵∠EOB=∠AOF=90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°,

∴∠EAB=∠FBC,

∴△ABE≌△BCF,

∴BE=CF;

??

(2)如图2,过点A作AM//GH交BC于M,过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O′,则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ∴EF=BN,GH=AM, ∵∠FOH=90°,AM//GH,EF//BN,

∴∠NO′A=90°,

故由(1)得,

△ABM≌△BCN,

∴AM=BN,

∴GH=EF=4。

??

(3)①8;

②4n。

备注:

备注:

题型:操作题

考察范围:角平分线的定义 |等腰三角形的性质,等腰三角形的判定|全等三角形的性质

试题:(1)如图1,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB边上,四边形AEBF 是平行四边形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线。(保留作图痕迹,不要求写作法)

??

(2)如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使它的第三个顶点在△ABC的其它边上,请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形,且三个图形中的等腰三角形各不相同,并在图下方的横线上写明所画等腰三角形的腰和腰长。(不要求尺规作图)

??

答案:解:(1)如图所示:

??;

(2)如图:

??。

答案:解:(1)如图所示:

??;

(2)如图:

??。

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:因式分解

试题:计算多项式的乘法时,有这样一个结果:

(x+p)(x+q)=x2+mx+n

则m=(p+q),n=pq

这说明如果一个二次三项式的常数项分成p·q,而p+q恰好是系数,那么这个x2+mx+n二次三项式就可以分解成x2+mx+n=(x+p)(x+q),通过上面的方法,分解下列二次三项式:

(1)x2+5x+6; (2)x2-5x+6;(3)x2-5x-6;(4)x2+5x-6;

(5)x2-x-6; (6)x2+x-6; (7)x2-7x+6;(8)x2+7x+6。

答案:解:(1)(x+2)(x+3);(2)(x-2)(x-3);(3)(x-6)(x+1);(4)(x-1)(x+6);(5)(x-3)(x+2);(6)(x+3)(x-2);(7)(x-6)(x-1);(8)(x+6)(x+1)。

答案:解:(1)(x+2)(x+3);(2)(x-2)(x-3);(3)(x-6)(x+1);(4)(x-1)(x+6);(5)(x-3)(x+2);(6)(x+3)(x-2);(7)(x-6)(x-1);(8)(x+6)(x+1)。

备注:

备注:

题型:计算题

考察范围:因式分解

试题:计算:

??。

答案:解:原式=??。

答案:解:原式=??。

备注:

备注:

题型:单选题

考察范围:因式分解

试题:任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式,对于两个乘数的差的绝对值最小的

一种分解:n=p×q(p≤q)可称为正整数n的最佳分解,并规定F(n)=??。如:12=1×12=2×6=3×4,则F(12)=??,则在以下结论: ①F(2)=??, ②F(24)= ??,③若n是一个完全平方数,则F(n)=1,④若n是一个完全立方数,即n=a3(a是正整数),则F(n)=??。中,正确的结论有:

[ ]

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

答案:C

答案:C

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:因式分解

试题:先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:

例1.1+ax+ax(1+ax)

=(1+ax)(1+ax)

=(1+ax)2

例2.1+ax+ax(1+ax)+ax(1+ax)2

=(1+ax)(1+ax)+ax(1+ax)2

=(1+ax)2+ax(1+ax)2

=(1+ax)2(1+ax)

=(1+ax)3

(1)分解因式:

1+ax+ax(1+ax)+ax(1+ax)2+…+ax(1+ax)n;

(2)分解因式:

x-1-x(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+……-x(x-1)2003+x(x-1)2004。

答案:解:(1)??;

(2)??

??

??

??

??

=??。

答案:解:(1)??;

(2)??

??

??

??

??

=??。

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:绝对值|有理数减法|有理数除法|有理数的混合运算

试题:

在某地有一小洞,里面藏着无数的财宝,在山洞的入口处有一块标牌,上面有如下数学算式“①|172-83|;②|-3|×(-3)+2÷0.2;③(-1)12-22;④|6.7-(-8)|;⑤5-|(-2)3|;⑥-|-π|+3.14;⑦34÷7-5;⑧(﹣1)÷6”。经人破解,发现原来在上述某个算式后面有一个开启山洞大门的金钥匙,其他的则是炸弹、假如你一

次就拿到钥匙,里面所有的财宝就是你的;假如你没有拿到钥匙,那么你的生命和所有财宝都不存在了,把上述算式进行计算后,钥匙就在结果绝对值最小的标牌后面、聪明的你请仔细思考一下,如何能拿到这些财宝?

答案:

答案:

解:①∵|172﹣83|=89,

∴|89|=89;

②|﹣3|×(-3)+2÷0.2=﹣9+10=1,

∴|1|=1;

③(﹣1)12﹣22=1﹣4=﹣3,

∴|﹣3|=3;

④|6.7﹣(﹣8)|=6.7+8=14.7,

∴|14.7|=14.7;

⑤5﹣|(﹣2)3|=5﹣8=﹣3,

∴|﹣3|=3;

⑥﹣|﹣π|+3.14=﹣π+3.14,

∴|﹣π+3.14|=π﹣3.14;

⑦34÷7﹣5=﹣,

∴=;

⑧(-1)÷6=﹣,

∴=;

∵π﹣3.14<<1<3=3<14.7<89,

∴⑥<⑦<⑧<②<③=⑤<④<①,

由此可以看出:⑥式的绝对值最小,所以钥匙在⑥牌的后面

备注:

备注:

题型:解答题

考察范围:勾股定理

试题:有一块边长为12米的正方形绿地,如图所示,在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米),由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走?米,踏之何忍?”请问:小明在标牌?填上的数字是多少?

??

答案:解:在Rt△ABC中,AB为斜边,

∴??,

=??米=??米=13米,

少走的距离为AC+BC﹣AB=(12+5)﹣13(米)=4米

答:小明在标牌?填上的数字是4.

答案:解:在Rt△ABC中,AB为斜边,

∴??,

=??米=??米=13米,

少走的距离为AC+BC﹣AB=(12+5)﹣13(米)=4米

答:小明在标牌?填上的数字是4.

????

??

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