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数学:第二章二次函数复习课件(鲁教版九年级上)

发布时间:2014-01-01 10:42:05  

九年级数学(上)第二章 二次函数

回顾与思考---二次函数小结

想一想

1
驶向胜利 的彼岸

回顾与思考

?1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图形进行描述. ?2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. ?3.小结一下作二次函数图象的方法. ?4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. ?5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系. ?6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.

想一想

2

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

函数y=ax2+bx+c的顶点式
?一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. y ? ax2 ? bx ? c ?例.求次函数 c? y=ax2 +bx+c的对 ? 2 b 提取二次项系数 ? a? x ? x ? ? 称轴和顶点坐标. a c? ? 配方:加上再 2 2 ? 2 b ? b ? ? b ? c ? 减去一次项系 ?1.配方: ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ?
老师提示:

这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.

? ? 数绝对值一半 a ? 2a ? ? 2a ? a ? 的平方 ? 2 ?? b ? 4ac ? b 2 ? 整理:前三项化为平方形 ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? 式,后两项合并同类项 ?? ? ? 2 2
b ? 4ac ? b ? ? a? x ? ? ? .化简:去掉中括号 2a ? 4a ?

想一想

3

函数y=ax2+bx+c的图象
?我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. y ? 3x 2 ? 6 x ? 5 ?怎样直接作出 提取二次项系数 函数y=3x2-6x+5 ? 3? x 2 ? 2 x ? 5 ? ? ? 3? 的图象? ? 5 ? 配方:加上再减去一次项 ? 2 ? 3? x ? 2 x ? 1 ? 1 ? ? 系数绝对值一半的平方 ?1.配方: 3? ? 2? ? 2 整理:前三项化为平方形 ? 3??x ? 1? ? ? 式,后两项合并同类项 3? ? 2 化简:去掉中括号 ? 3?x ? 1? ? 2.

想一想

4

直接画函数y=ax2+bx+c的图象
?2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ?∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).

?3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2

-2

-1

0

1

2

3

4



y ? 3?x ? 1? ? 2



29

14

5

2

5

14

29



?4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象.

做一做

5
b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?
2

顶点坐标公式 ?
b 它的对称轴是直线: x ? ? . 2a

因此,二次函数y=ax2 +bx+c的图象是一条抛物线.
? b 4ac ? b 2 ? 它的顶点是? ? ? 2a , 4a ?. ? ? ?

根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标



?

?1?. y ? 2 x 2 ? 12 x ? 13; ?2?. y ? ?5x 2 ? 80 x ? 319;
1? ? ?3?. y ? 2? x ? ??x ? 2?; ?4?. y ? 3?2 x ? 1??2 ? x?. 2? ?

1.顶点坐标与对称轴

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和 性质

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

小结

拓展

回味无穷

函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2 的关系
?1.相同点: ?(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. ?(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增 大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

小结

拓展

回味无穷

函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2 的关系
2.不同点: ? b 4ac ? b 2 ? ? ? (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 ? ? 2a , 4a ? 和(0,0). ? b ? (3)对称轴不同:分别是 直线x ? ? 和y轴. 4ac ? b 2 (4)最值不同:分别是 4a 和0.2a 3.联系: 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax2 的图象先沿 b b ? ? x轴整体左(右)平移| 2a |个单位(当 2a >0时,向左平移; b ? <0时,向右平移),再沿对称轴整体上(下)平移| 4ac ? b 当 2a 4a 4ac ? b 4ac ? b |个单位 (当 4a >0时向上平移;当 4a <0时,向下平移) 得到的.
2 2

2

想一想P66 9

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac

的图象和x轴交点
有两个交点 有一个交点 没有交点

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

议一议

10

“二次函数应用” 的思路
?解决“最值问题”如:“最大利润”和“最大面 积” 此类问题的基本思路:

?1.理解问题; ?2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,建立 好平面直角坐标系; ?3.把现实中的数转化为坐标.用数学

的方式表示出它 们之间的关系; ?4.做数学求解; ?5.检验结果的合理性,拓展,注重逆向思维,提高能力等.

独立 作业

知识的升华

复习题A组, 3~7题, B组1~6题.

祝你成功!
驶向胜利 的彼岸

做一做

12
驶向胜利 的彼岸

二次函数的图象和性质

?1.(P73A组第1题)确定下列二次函数的开口方向,对称 轴和顶点.
?2. (P73A组第3,4,5,7题,P75B组第2,3,5题)确定函数 的解析式,作函数图象,求指定的对应值. ?3. (P74A组第4,5,6,7题,P75B组第4,5,6题,P77C组第 1,2,3,4,5,6题)二次函数的应用求最大值或最小值. ?4.(P73A组第2题,P75B组第1题)二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的 根的关系.

做一做

13
驶向胜利 的彼岸

二次函数的应用A组: 6题

?6.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆 A D 才能使其所围成矩形的面积最大? ?解:如图,设矩形的一边AB=xm,那么 B C 另一边BC=(15-x)cm,面积为Scm2,则 ? ? x 2 ? 15 x S ? x(15 ? x) ? a ? ?1 ? 0, 2

4ac ? b 225 b 15 y最大值 ? ? ? 56.25 cm 2 . ?当x ? ? ? ? 7.5?cm ?时, 4a 4 2a 2 15 2 225 或由S ? x(15 ? x) ? ?( x ? ) ? . 2 4 ? a ? ?1 ? 0,?当x ? 7.5?cm?时, y最大值 ? 56.25 cm2 .

? ?

? ?

想一想

14

二次函数的应用B组: 6题
?6.竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t,其中t(s) 是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划 设计园内喷泉,喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度 应该达到多少?(结果精确到0.01m/s). ?解法1:(用公式)根据题意,y=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15m.
2 ? v0 4ac ? b 2 由 ? 15, 得 ? 15. ? v0 ? 10 3 ? 17.32?m / s ?. 4a 4 ? ?? 5?

?解法1:(用顶点式)根据题意,y=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15m.
2 2 v0 ? v0 ? v 由y ? ?5t 2 ? v0t ? ?5? t ? ? ? 得. ? 15. 20 ? 10 ? 20 ? v0 ? 10 3 ? 17.32?m / s ?. 2

想一想

15

二次函数的应用C组: 2题
?2.一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱 高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确 到0.1m). ?解:建立如图所示的坐标系 则可设抛物线表达式为y ? ax 2 . 则有A点坐标为(2,?2), B点坐标为( x,?3). A(2,-2)
1 2 由此可得函数表达式为y ? ? x . 2 1 2 当y ? ?3时, 得 ? 3 ? ? x . 2 ? x ? ? 6. ?水面宽 ? 2 6 ? 4.9?m?.
● ●

B(X,-3)

做一做

16
驶向胜利 的彼岸

二次函数的应用C组: 3题

?3.(1)如图,第n个图形中有多少个小正方形?你是如何 计算的? … ?(2)求1+3,1+3+5,1+3+5+7, ?1+3+5+7+9,…,1+3+5+7+9+…+(2n-1). 解 : ?1?借助表格来找规律
序号 1 2 3 4 … n

探寻 规律
求数 字和

1 1? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ?

1?
显然, 其规律是求n个求连续奇数的和.

1

4

9

16

?

n2

显而易见, 第n个图形中小正方形的个数为自然数n的平方.

做一做

17

二次函数的应用C组: 3题
?3.(1)如图,第n个图形中有多少个小正方形?你是如何 计算的? … ?(2)求1+3,1+3+5,1+3+5+7, ?1+3+5+7+9,…,1+3+5+7+9+…+(2n-1). (2) : 探寻求和的规律
序号 1 2 3 4 … n

1? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ?2n ?1? ? n?1 ? ?2n ? 1?? ? n 2 . 求和 16 9 4 2 上述规律也可以借助"高斯巧算" 来思考 : 将所求数组倒过来得到一组新数, 与原数组对应相加, 这样可得到 n对由首, 尾两个数字组成的数对, 再除以2即得结果.
规律

做一做

17

n?1 ? ?2n ? 1?? ? n2. 2

二次函数的应用C组: 5题
?5.(1)如图,下面每个图形中有多少个小圆圈?第5个图 形中有多少个小圆圈?你是如何计算的? ?(2)完成下表:
探寻求和的规律
序号 1 2 3 4 5 …

规律
探寻 内在 关系

1 1? 6 1 ? 6 ? 121 ? 6 ? 12 ? 18 1 ? 6 ? 12 ? 18 ? 24 1 1 ? 6 ?1 1 ? 6?1 ? 2? 1 ? 6?1 ? 2 ? 3 ? 4? 1 ? 6?1 ? 2 ? 3 ? 4?
显然, 将其分割成两部分1和6?1 ? 2 ? 3 ? 4?易求其和.

做一做

17

?n ? 1??1 ? ?n ? 1?? ? 3n 2 ? 3n ? 1. 1? 6?
2

二次函数的应用C组: 5题
?5.(1)如图,下面每个图形中有多少个小圆圈?第5个图 形中有多少个小圆圈?你是如何计算的? ?(2)完成下表:
探寻求和的规律
序号 …

规律 1 1? 6 1 ? 6 ? 12 1 ? 6 ? 12 ? 18 ? 1 ? 6 ? 12 ? ? ? 6?n ?1? 求和 1 1 ? 6 ?1 1 ? 6?1 ? 2? 1 ? 6?1 ? 2 ? 3 ? 4? ? 1 ? 6?1 ? 2 ? ? ? ?n ?1??

1

2

3

4



n

上述括号内部分可以借助"高斯巧算" 来计算. 值的注意的是 : 对照序号可知数组中的首数为 , 但尾数应为(n ?1). 1 且括号内应有(n ?1)对数对.

下课了!

结束寄语
?

形成天才的决定因素应该 是勤奋.


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