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二次函数复习课件(北师大版九年级下)

发布时间:2014-01-01 10:42:10  

数学·新课标(BS)

第2章复习1 ┃ 知识归类

┃知识归纳┃
1.二次函数的概念 y=ax 一般地,形如 2+bx+c (a,b,c是常数, a≠0 )的

函数,叫做二次函数.
[注意] (1)等号右边必须是整式;(2)自变量的最高次数是2; (3)当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数. 2.二次函数的图象 二次函数的图象是一条 抛物线 ,它是轴对称图形,其对 称轴平行于 y 轴.

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第2章复习1 ┃ 知识归类

[注意] 二次函数y=ax2+bx+c的图象的形状、大小、开口 方向只与a有关.
3.二次函数的性质

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第2章复习1 ┃ 知识归类
一般式 y=ax2 +bx+c 开口 方向 a>0 a<0 顶点式 y=a(x-h)2+k

开口向上

开口向上

开口向下
2 ? b 4ac-b ? ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

开口向下

顶点坐标

(h,k)
直线 x=h

对称轴

b 直线 x=- 2a

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第2章复习1 ┃ 知识归类

当 x=- 最 大 (小) 值 a<0 a>0

b , 2a
2

4ac-b y 最小值= 4a 当 x=- b , 2a

当 x=h,y 最小值=k

4ac-b y 最大值= 4a

2

当 x=h,y 最大值=k

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第2章复习1 ┃ 知识归类
b 当 x<- 时,y 的值 2a a>0 当 x<h 时,y 的值随 x

随 x 的增大而 减小 ; 的增大而 减小 ; x>h 当 b 时, 的值随 x 的增大而 y 当 x>- 时, 的值随 x y 2a 增大 增大 的增大而 增大 b 当 x<- 时,y 的值 2a 当 x<h 时,y 的值随 x 随 x 的增大而 增大 ; 的增大而 增大 ; x>h 当 b y 时, 的值随 x 时, 的值随 x 的增大而 y 2a 减小 的增大而 减小 当 x>-

增 减性

a<0

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第2章复习1 ┃ 知识归类

4.二次函数图象的平移
一般地,平移二次函数y=ax2 的图象可得到二次函数y= a(x-h)2+k的图象.

[注意] 抓住顶点坐标的变化,熟记平移规律,左加右减, 上加下减.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

┃考点攻略┃
? 考点一 例1
值.

二次函数的定义应用

已知抛物线y=(m+1)xm2 +m的开口向下,求m的

[解析] 本题容易考虑不全面,只考虑m+1<0,而忽略抛 物线是二次函数的图象,自变量x的次数为2.由抛物线开口向下 得m+1<0且m2+m=2,即m=-2.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
?m2+m=2, ? 解:根据题意,得? ?m+1<0. ?

解得 m=-2.

方法技巧 解答这类问题要明确两点:(1)函数图象是抛物线,所以是二 次函数;(2)抛物线的开口只与二次项系数有关.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略 ? 考点二 例2 二次函数图象的平移

如果将抛物线y=x2+bx+c沿直角平面坐标向左平移

2个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线y=x2-2x+1,则b 6 -

6 =________,c=________.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

[解析] ∵y=x -2x+1=(x-1) ,y=x 4c-b2 , 4 又抛物线 y=(x-1)2 是

2

2

2

? b?2 ? +bx+c=?x+ ? + 2? ? ?

2 ? b?2 4c-b y=?x+ ? + 向左平移 ? 2? 4 ? ?

2 个单

位,再向上平移 3 个单位得到的,

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
2 ? b?2 4c-b y=?x+ ? + 可看作是 ? 2? 4 ? ?



y=(x-1)2 向右平移 2 个单

位,再向下平移 3 个单位得到的.
2 ? b?2 4c-b ∴y=?x+ ? + =(x-1-2)2-3, 即 ? ? 2? 4 ?

y=x2+bx+c=x2

-6x+9-3=x2-6x+6,∴b=-6,c=6.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
方法技巧 在平移的过程中,抛物线的形状始终保持不变,而抛物线的 形状只与二次项系数有关,所以要求平移后(或前)抛物线的表达 式,只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可. 解这一类题目,需将一般表达式化为顶点式,抓住顶点位置 的改变,根据平移规律进行解答.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

?

考点三
例3

二次函数与一次函数的综合应用

已知矩形ABCD

中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线 为y轴,建立平面直角坐标系(如图X2-1). (1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标;

(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的
表达式; (3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标; (4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系?证明你的结 论.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

[解析] 利用矩形的性质可以得到A,B,C,D及AD的中点E

的坐标,然后利用顶点式求出抛物线的表达式.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
解:(1)A(0,1),B(0,-1),C(4,-1),D(4,1),E(2,1). (2)设抛物线的表达式为:y=a(x-2)2+1, ∵抛物线经过点 B(0,-1), 1 ∴a(0-2)2+1=-1,解得 a=- . 2 1 ∴抛物线的表达式为:y=- (x-2)2+1. 2 1 经验证,抛物线 y=- (x-2)2+1 经过点 C(4,-1). 2 1 (3)直线 BD 的表达式为:y= x-1, 2

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
1 ? y=- ?x-2?2+1, ? 2 解方程组? ?y=1x-1, 2 ? ∴点 P
? 的坐标为?3, ? ?

?x=3, ? 得? 1 ?y=2. ?

1? ? . 2? ?

1 (4)S△PEB = S△PBC . 2 1 3 S△PBC = ×4× =3.过 P, 分别作 PP′⊥BC, E EE′⊥BC, 2 2 1 1 ?3 ? 1 3 垂足分别为 P′,E′,S△PEB= ×2×2+ ×? +2?×1- ×3× 2 2 ?2 ? 2 2 ? ? 3 1 = ,∴S△PEB= S△PBC. 2 2

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第2章复习1 ┃ 考点攻略 ? 考点四 例4 二

次函数的图象和性质的应用

已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-2,0),O(0,0),

B(-3,y1),C(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系是( A )
A.y1>y2 B.y1=y2

C.y1<y2 D.不能确定

[解析] A

结合图形,找到A、O、B、C四个点的大致位置,

容易看出y1与y2的大小关系.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
方法技巧 解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴,由 a 的正负性 就可以知道抛物线的增减性,可以结合图形进行判别.如果所给 的点没有在对称轴的同一侧,可以利用抛物线的对称性,找到这 个点的对称点,然后根据增减性再作判断.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略 ? 考点五 例5 求二次函数的表达式

已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图X2-2所示,

它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的表达式; (2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. [解析] 由于二次函数经过具体的两个点,可以把这两个点的 坐标代入即可求出表达式,然后根据图象求出自变量x的取值范 围.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

解:(1)把(-1,0),(0,3)分别代入 y=-x2+bx+c,
?-1-b+c=0, ? 得? ?c=3, ? ?b=2, ? 解得? ?c=3. ?

所以 y=-x2+2x+3. (2)令 y=0,得-x2+2x+3=0, 解得 x1=-1,x2=3, 所以,由图象可知,函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围是- 1<x<3.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

方法技巧 求二次函数的表达式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出 恰当的表达式:(1)若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式 y=ax2 +bx+c;(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点 式 y=a(x-h)2+k;(3)若给出抛物线与 x 轴的交点,或对称轴和对称轴 与 x 轴的交点距离,通常可设交点式 y=a(x-x1)(x-x2).

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第2章复习1 ┃ 考点攻略 ? 考点六 例6 二次函数和其他知识的综合应用

如图X2-3,已知二次函数y=ax2 -4x+c的图象与坐

标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式; (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周 长最小.请求出点P的坐标.

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

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第2章复习1 ┃ 考点攻略

[解析] 把点A(-1,0)和点B(0,-5)代入表达式即可求出a和c 的值,△ABP的周长中的边长AB是确定的,只要求出PA与PB的 和最小即可,因此要把PA和PB转化到一条线上,在此还要利用 抛物线的对称性.

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第2

章复习1 ┃ 考点攻略
解:(1)根据题意,
?0=a×?-1?2-4×?-1?+c, ? 得? ?-5=a×02-4×0+c. ? ?a=1, ? 解得? ?c=-5. ?

∴二次函数的表达式为 y=x2-4x-5.

图X2-4

(2)令 y=0, 得二次函数 y=x2-4x-5 的图象与 x 轴的另一个交点 坐标 C(5,0). 由于 P 是对称轴 x=2 上一点, 连接 AB(如图 X2-4),由于 AB= OA2+OB2= 26,

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
要使△ABP 的周长最小,只要 PA+PB 最小. 由于点 A 与点 C 关于对称轴 x=2 对称, 连接 BC 交对称轴于点 P, 则 PA+PB=BP+PC=BC,根据两点之间,线段最短,可得 PA+PB 的最小值为 BC. 因而 BC 与对称轴 x=2 的交点 P 就是所求的点. 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b,
?b=-5, ? 根据题意,可得? ?0=5k+b. ? ?k=1, ? 解得? ?b=-5. ?

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第2章复习1 ┃ 考点攻略
所以直线 BC 的表达式为 y=x-5. 因此直线 BC 与对称轴 x=2
?x=2, ? 解得? ?y=-3. ? ?x=2, ? 的交点坐标是方程组? ?y=x-5 ?

的解,

所求点 P 的坐标为(2,-3).

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第2章复习2 ┃ 知识归类

┃知识归纳┃
1.利用二次函数求最值的问题 (1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤.

利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤:
①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围);

②求出该二次函数图象的顶点坐标;
③由函数顶点坐标求得其最值,即求得“最大利润”.

(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式.

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第2章复习2┃ 知识归类
产量最大化问题与最大利润问题类似,若问题中的函数类型是
二次函数,可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决.也可以应 用配方法求其顶点,利用函数图象也可以判断函数的最值.

[注意] 在求最值问题中,我们常用二次函数的表达式求顶点坐
标来求最值;也可以运用“数形结合”的方法,结合函数图象来判断 求解最值;还可以利用列表的方法估计最值.

(3)与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积:要求面积就需要知道矩形的两 条边,因此,把这两条边分别用含x的代数式表示出来,代入面积公 式就能转化为数学问题了.

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第2章复习2┃ 知识归类 [警示] 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时,要注 意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义,这是很多同学 易犯错的地方. 2.二次函数与一元二次方程的关系 对于一元二次函数y=ax2 +bx+c,只要令y等于某个具体 的数y0 ,就可

以将函数转化成一元二次方程,这个方程的解是 抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标. 特殊地,如果令y值为0,所得方程为ax2+bx+c=0,该方 程的解是抛物线与x轴交点的横坐标.若方程无解,则说明抛物 线与x轴无交点.

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第2章复习2┃ 知识归类 二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个 数之间的关系,可以总结如下:设y=ax2+bx+c(a≠0),令y=0, 得:ax2+bx+c=0. 当b2 -4ac>0时,方程有两个不等实数根,二次函数的图 象与x轴有 两 个交点;

当b2 -4ac=0时,方程有两个相等实数根,二次函数的图 象与x轴只有 一 个交点(即顶点);
当b2-4ac<0时,方程没有实数根,二次函数的图象与x轴 没有交点.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

┃考点攻略┃
? 考点一 一元二次方程与二次函数的关系

例 1 抛物线 y=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取 值范围是( B ) 7 A.k≥- 4 7 C.k>- 4 7 B.k≥- 且 k≠0 4 7 D.k>- 且 k≠0 4

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

7 [解析] B 先根据(-7) -4k(-7)≥0 得到 k≥- ,由于是抛 4
2

物线,所以 k≠0.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略 ? 考点二 二次函数与图形面积

例2

如 图 X2 - 8 , 苗 圃 的 形 状 是 直 角 梯 形 ABCD ,

AB∥DC,BC⊥CD.其中AB,AD是已有的墙,∠BAD=135°, 另外两边BC与CD的长度之和为30米,如果梯形的高BC为变量 x(米),梯形面积为y(米2),问:当x取何值时,梯形的面积最大? 最大面积是多少?

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

[解析] 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角 ∠BAD=135°,这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出 函数解析式.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

解:作 AE⊥CD 于点 E,如图 X2-9,因为∠BAD=135° ,则 ∠ADC=45° .所以 BC=AE=ED.又因为 BC+CE+ED=30, 则 AB=30-2x,CD=30-x, 1 1 故 y= (AB+CD)· BC= [(30-2x)+(30-x)]· x, 2 2 3 2 所以 y=- x +30x(0<x<15). 2 3 配方得:y=- (x-10)2+150.即当 x=10 时,y 最大=150(米 2). 2

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

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第2章复习2 ┃ 考点攻略 ? 考点三 二次函数与几何图形

例3 如图X2-10,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的 常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B,C重合).连接 DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y. (1)求y关于x的函数关系式; (2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
12 (3)若 y= , 要使△DEF 为等腰三角形, 的值应为多少? m m

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第2

章复习2 ┃ 考点攻略

[解析] (1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似, 由比例式建立y关于x的函数关系式;(2)将m的值代入(1)中的函 数关系式,配方化成顶点式后求最值;(3)逆向思考,当△DEF 是等腰三角形,因为DE⊥EF,所以只能是EF=ED,再由(1)可 得Rt△BFE≌Rt△CED,从而求出m的值.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
解:(1)在矩形 ABCD 中,∠B=∠C=90° , ∴在 Rt△BFE 中,∠BEF+∠BFE=90° . 又∵EF⊥DE,∴∠BEF+∠CED=90° , ∴∠CED=∠BFE, ∴Rt△BFE∽Rt△CED, 8x-x2 BF BE y 8-x ∴ = ,即 = .∴y= . CE CD x m m 8x-x2 1?? ? (2)当 m=8 时,y= ,化成顶点式:y=- ?x-4??2+2, 8 8 ∴当 x=4 时,y 的值最大,最大值是 2.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
8x-x 12 (3)由 y= 及 y= 得 x 的方程:x2-8x+12=0, m m 解得 x1=2,x2=6. ∵△DEF 中∠FED 是直角, ∴要使△DEF 是等腰三角形,则只能是 EF=ED, 此时,Rt△BFE≌Rt△CED, ∴当 EC=2 时,m=CD=BE=6; 当 EC=6 时,m=CD=BE=2. 即 m 的值为 6 或 2 时,△DEF 是等腰三角形.
2

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

方法技巧 在几何图形中建立函数关系式,体现了“数形结合”的数学思 想, 要注意运用“相似法”“面积法”与“勾股法”建立有关等式, 从而转化为函数关系式.这也是中考试卷中的常见考点.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略 ? 考点四 二次函数与生活应用

例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销 是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出 的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45 吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促 销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就 会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支 付厂家及其他费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店 的月利润为y(元).

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;

(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认 为对吗?请说明理由.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

[解析] 当每吨材料售价为 x 元时,对应的销售量为
? ? 260-x ? ? 45+ ×7.5?吨,由此就可以列出函数解析式.而对于当月利 ? 10 ? ?

润最大时,月销售额也最大的问题时,我们只需注意两者的区别就 是

一个减去成本,一个不减成本.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
260-240 解:(1)45+ ×7.5=60(吨). 10
? ? 260-x ? ? (2)y=(x-100)?45+ ×7.5?, 10 ? ?

3 2 化简得:y=- x +315x-24000. 4 3 2 3 (3)y=- x +315x-24000=- (x-210)2+9075. 4 4 当 x 为 210 元时,月利润 y 最大.

答: 利达经销店要获得最大月利润, 材料的售价应定为每吨 210 元. (4)我认为,小静说的不对.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
理由:方法一:当月利润最大时,x 为 210 元, 而对于月销售额
? ? 260-x 3 ?45+ ?=- (x-160)2+19200 来说, W=x 当 ×7.5 4 10 ? ?

x 为 160 元时,月销售额 W 最大. ∴当 x 为 210 元时,月销售额 W 不是最大. ∴小静说的不对. 方法二:当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为 17325 元;而 当 x 为 200 元时,月销售额为 18000 元. ∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额 W 不是最大. ∴小静说的不对.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

方法技巧 “每每型”二次函数模型成为近年考试的热点问题,其特点就 是每下降,就每增加;或每增长,就每减少.解决这类问题的关键 就是找到单价提高后,该经销店每天售出的建筑材料的吨数,而等 量关系为销售利润=销售吨数×每吨的利润.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略 ? 考点五
例5

二次函数与体育活动

某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时, 身体(看成一点)

在空中的运动路线是一条经过原点 O 的抛物线(如图 X2-11 所示, 图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下该 2 运动员在空中的最高处距水面 10 m,入水距池边的距离为 4 m, 3 同时运动员在距水面高度为 5 m 之前,必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水的姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的表达式;

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
(2)在某次试跳时,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛 3 物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 5 m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略

[解析] 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模,将运

动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线, 用待定系数法求出表达式,再利用函数知识求解.

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
解:(1)在给定的直角坐标系中,设最高点为 A,入水点为 B, 抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由题意知,O,B 两点坐标分别为(0,0),(2,-10),顶点纵坐标 2

为 . 3 ?c=0, ? ?4ac-b2 2 则有? = , 4a 3 ? ?4a+2b+c=-10. ? 25 ? ?a=- 6 , ? 10 解得? ?b= 3 , ? ?c=0. ? ?a=-3, 2 ? 或?b=-2, ? ?c=0. ?

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第2章复习2 ┃ 考点攻略
因抛物线的对称轴在 y 轴右侧, 所以- b >0,即 a 与 b 异号,又开口向下,则 a<0,b>0, 2a

3 所以 a=- ,b=-2,c=0 不符合题意,舍去. 2 25 2 10 故所求抛物线的表达式为 y=- x + x. 6 3 3 3 8 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 m, x=3 -2= m 时, 即 5 5 5
? 25? ?8?2 10 8 16 y=?- ?×? ? + × =- .所以此时运动员距水面的高为 6 ? ?5? 3 5 3 ?

10-

16 14 = 3 3

<5.因此,此次跳水会出现失误.

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