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2013.8.25.1探索勾股定理(1)课件(北师大版八年级上)

发布时间:2013-09-22 09:42:36  

八年级数学(上册)? 北师版

探索勾股定理

(1)观察图1-1
C A B C 图1-1 A B

正方形A中含有 9 个 小方格,即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是

9 个单位面积。
正方形C的面积是
图1-2

18 个单位面积。

(图中每个小方格代表一个单位面积) 你是怎样得到上面的结 果的?与同伴交流交流。 1 2 3

(2)(3)

C A B C 图1-1 A B

S正方形c
1 ? 4 ? ? 3 ? 3 ? 18 2

图1-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)

(单位面积)

分割成若干个直角边 为整数的三角形

返回

C A B C 图1-1 A B

S正方形c
1 ? ? 62 2

(单位面积) ? 18

图1-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)

把C看成边长为6的 正方形面积的一半

返回

C A B C 图1-1 A B

(2)在图1-2中,正 方形A,B,C中各含 有多少个小方格?它 们的面积各是多少?
(3)你能发现图1-1 中三个正方形A,B, C的面积之间有什么 关系吗?

图1-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

SA+SB=SC

即:两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积

做一做
你是怎样得 到表中的结 果的?与同 伴交流交流。
A C

B
图1-3

C

(1)观察图 1-3、图1-4, 并填写右表:
幻 灯 片 9

A
B

图1-4 A的面积 B的面积 C的面积 (单位面积) (单位面积) (单位面积)

图1-3
图1-4

16
4

9
9

25
13

S正方形c
1 ? 4? ? 4? 3 ?1 2

A

C

B
图1-3

C

? 25
(面积单位)

A
B
图1-4

分割成若干个直角边为 整数的三角形
幻灯片 7

(2)三个 正方形A, B,C的面 积之间有什 么关系?

A

C

B
图1-3

C

A
B
图1-4

SA+SB=SC

即:两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7

议一议
(1)你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗?
(2)你能发现

A

C

直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗?与同 伴进行交流。

B
图1-3

C

A
B
图1-4

(3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形,并测量斜边的长度。(2)中 的规律对这个三角形仍然成立吗?

A

? ? ? ??? ?? ?
B

? ?? ?C ? ? ???? ??? ?? ?
C A B 图1-2

正方形周边上 的格点数a=12

正方形内部的 格点数b=13 所以,正方形C的 面积为:

图1-1

1 ?12 ? 13 ? 1 ? 18 2
(单位面积)

1 利用皮克公式 S ? a ? b ? 1 2

返回

勾股定理(gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c,那么 c 2 2 2 a

a ?b ? c

b

即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶!
勾 弦



勾股定理——千古第一定理
在古代,许多民族发现了这个事实,即直角三角形的三条 边长为a,b,c,则 a 2 ? b2 ? c 2,其中 a,b

是直角边长,c是斜长, 我国的算术《周髀算经》中,就有勾股定理的记载,为了纪念 我国古人的伟大成就,就把这个定理命名为“勾股定理”或 “商高定理”,在西方,被称为“毕达哥拉斯”定理或“百牛” 定理。不管怎么说,勾股定理都是数学中的伟大定理,它给人 们的巨大力量可说是难以估量,几乎所有的生产技术和科学研 究都离不开它。它的重要性主要表现在: (1)勾股定理是联系数学最基本的,也是最原始的两个对象— —数与形的第一定理;(2)勾股定理导致无理数的发现,这就 是所谓的第一次数学危机;(3)勾股定理开始把数学由计算与 测量的技术转变为证明和推理的科学;(4)勾股定理中的公式 是第一个不定方程,有许许多多组数满足这个方程,也是最早 得出完整解答的不定方程,它一方面引导出各式各样的不定方 程,包括著名的费马大定理,另一方面也为不定方程的解题程 序树立了一个范式。

想 一 想

小明的妈妈买了一部29英寸(约74厘米)的电 视机。小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只 有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员 搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为 什么吗?

我们通常所说的29英 寸或74厘米的电视机, 是指其荧屏对角线的长 度

∵ 58 ? 46 ? 5480
2 2

74 ? 5476
2

荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错

判断正误 :
若直角三角形的两条边长为6cm、 8cm,则第三边长一定为10cm.( × )

6

6

8

8

考一考:
1 求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.

225 X 81 144 ①

144
5

169 ②

3


5 z 4 30

2 直角三角形的两直角边为5、12,则三角形的周长为

3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6,那么△ABC的

24 面积为 ____.

三、应用定理

巩固新知

例:如图,为得到池塘两岸A点和B点间的距离, 观测者在C点设桩,使△ABC为直角三角形,并测得 AC为100米,BC为80米.求A、B两点间的距离是多少?

B

C 解:如图,根据题意 得
Rt △ABC中,∠B=90° AC=100米, BC=80米, 由勾股定理 得 ∵AB2+BC2 =AC2 ∴AB2 =AC2-BC2 =1002 - 802=602 ∴AB=60(米) 答:A、B两点间的距离是60米.

A

c
a b

c a

b

1 (b ? a) ? 4 ? ab ? c 2 2
2

b ? 2ab ? a ? 2ab ? c
2 2

2

a ?b ? c
2 2

2

a b c c b

1 (a ? b) ? c ? 4 ? ab 2
2 2

a

a ?b
2

2

?c

2

有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,

就把这一证法称为“总统”证法。

a a a a

b c b a a

b c

a b c

b

c

b

b

b

c

c b

a

a

b

a

F b G c a E P b c a b A b C H c a B c D a

E b F c a A P b c M N a Q c B c C

G H a F a A b M B C b K

c

D

L

c

E

试一试
在△ABC中,∠C= 90 .
?

(1)若a=5,b=12,则c= (2)若c=4,b= 6 ,则a=

. .
2 2

c ? a ?b
2

2

a ? c ?b

选一选
已知△ABC的三边分别是a,b,c, 若∠B=Rt∠,则有关系式( )

A.a2+b2=c2 C.a2-b2=c2

B.a2+c2=b2 D.b2+c2=a2

例:一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位 mm),求两孔中心A、B之间的距离.
40

A
90

B
C
160 40

课后探索
做一个长,宽,高分别为50厘米,40 厘米,30厘米的木箱,一根长为70厘米 的木棒能否放入,为什么?试用今天学 过的知识说明。

想 一 想

小明的妈妈买了一部29英寸(74厘 米)的电视机。小明量了电视机的屏 幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽,他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗? 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机,是指其荧屏对角 线的长度

74 ? 5476 ∵ 58 ? 46 ? 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
2 2
2

小结
说说这节课你有什么收获?

作业
一、P7 习题1.1 第1、2、3、4题 二、准备4张全等的直角三角形纸片
a

c
b

再见


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