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21.1二次根式(1)[1]

发布时间:2013-09-22 09:42:37  

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根?如何表示? 一般地,若一个数的平方等于a,则 这个数就叫做a的平方根.

a的平方根是 ? a
⑵什么是一个数的算术平方根?如何表示?

正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0


a

(a≥0)表示.

求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 ?3 ,算术平方根
0.64的平方根 ? 0.8 ,算术平方根

3

0.8 0

0的平方根

0

,算术平方根

一个正数有两个平方根; 0的平方根是0; 负数没有平方根。
a(a≥0)的平方根 ? a ,

a的算术平方根是 a .

二次根式
一般地,我们把形如 的式子叫做二次根式,“ 次根号。
被开方数a≥0;

(a≥0) a ”称为二

二次根式

a ≥0
根指数为2.

( 双重非负性)

?1? 5 √ ?2? ? 3 ?3? 21 ?4? b ?b ? 0? √ 二次根式满足的两 个条件是: ?5? a ? 2 ?a ? 2?√ (1)有二次根号;
3

指出下列哪些是二次根式?

?6?

a ? b ?a?b ?
5m

(2)被开方数是非 负数.

?7 ?

?8?

x √? 1
2

探究

  当x为怎样的实数时, ? 2在实 x 数范围内有意义?
解: x+2≥0 ∴x≥-2 ∴当x≥-2时, x ? 2 在实数范围内有意义.

1 有意义? 当x取怎样的实数时, 2 x ? 3 ? x ?1
解:由题意得

?2 x ? 3 ? 0 , ? ?x ?1 ? 0



X≥

X ≠-1

3 ? 2

3 ∴ x ? ? ,且x ? ?1. 2

方法构想

一个式子中: 若含有几个二次根式,则要求所有被开方数大于等于0; 若含有分式,则要求分母的值不等于0; 若含有零指数或负指数次幂,则要求其底数不为0.

求下列二次根式中字母的取值范围:

?1? a ? 1 (a≥0) 2 ?3? ?a ? 3? (a取任意实数)
方法构想

1 1 ?2? (a ? ) 1 ? 2a 2

求二次根式中字母的取值范围的基本依据: ①被开方数大于等于零; ②分母中有字母时,要保证分母不为零。

?1?
?2?

当x为怎样的实数时,下列各式 有意义? x≥3 ∴3≤x≤6 x ? 3 ? 6 ? x x≤6

1 ? x ? x ?1

x≥1 x≤1

∴x=1

?3?

x ?2
2

?4?

x ?1

x为全体实数.

x为全体实数.

创设情境

1

4? 2 1 1 ? 3 9
理性提升

.

0.0001 ? 0.01 .

.

0?

0

.

二次根式的性质1:

a ≥0

(a≥0)——双重非负性

创设情境

2
2

(

4)

? 4

( 0.01 ) ? 0.01
2

1 1 2 ( ) ? 3
3
理性提升

( 0) ? 0
2

二次根式性质2:

? a? ? a
2

(a≥0)

3 2 2 计算:(1)( ) ;(2)(3 5). 2

3 2 3 解:(1)( )= ; 2 2
2 (2)(3 5)=32 ? 5)=9 ? 5=45. ( 2

方法构想

直接利用性质2计算即可,但是要注 意第二小题要先使用积的乘方法则 再使用性质2.

计算:

(1)( 1.5 )
解:(1)(

2

( 2)( 2 5 )
2

2

1.5 ) ? 1.5
2 2 2

( 2)( 2 5 ) ? 2 ? ( 5 )

      ? 5 ?

20 ?4

口答:

1 2 (1)( ) ? 3
(2)(?3 7) ?
2

1 3
63

. .

? 8 ? =8
2

练习 计算:

?? 3 ? =3
2

? ?

2 3 =12

2

?x

xy
3

?

? 2 ? =6 ??3 ? ? 3? ? ?

2

2

?x y

?

5? 2

??

5? 2
=3

?

计算: ( ? 10 ) ? ( ?3 3 ) ?
2

2

解:? ( ?

10 ) ? ( ?3 3 )
2 2

2 2

? ?10 ? ( ?3) ? ( 3 )

? ?10 ? 27 ? 17

已知 2 ? a ? | 3b ? 1|? 0, 求a 、b 的值.

解: 2 ? a ? 0, b ? 1|? 0, ? |3

且 2 ? a ? | 3b ? 1|? 0,
∴ 2-a=0 3b-1=0 1 ? a ? 2, b ? . 3

方法构想

如果几个非负数(a2 、|a|、 a (a ? 0) )的和为0, 那么每一个非负数都是0.

中考链接

(2009年· 怀化)
2

| a ? 2 | ? b ? 3 ? (c ? 4) ? 0,

则a ? b ? c ?
解:由题意得: a-2=0 b-3=0 ∴ c-4=0

3

.

a=2 b=3 c=4

x 1、函数 y ? 中,自变量x的取值范围是 x ?1
x≥0且x≠1 . 2、当x取何值时,下列各式在实数范围内有意义?

(1)
(2)

3x ? 2

x ?1 ? 1? 2x

2 (x ? ) 3 1 (?1 ? x ? ) 2

?4 (3) 2x ?1

1 (x ? ) 2

练习
当x为怎样的实数时,下列各式有意义?

?1?

x ?1
x≥1

?2?

24 ? 4 x
x≤6

?3?

? 5x

(3)-5x≥0

∴x≤0

即当x≤0时, ? 5 x 在实数范围内有意义.

归纳
当a>0时,a 表示a的算术平方根,因此 a>0;       当a ? 0时,a 表示0的算术平方根,因此 a ? 0 这就是说             a≥ 0 a    ( )是一个非负数 .


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