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培优专题10_分式总复习(含答案)

发布时间:2014-01-01 11:40:14  

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13、分式总复习

曹氏抢先版

【知识精读】

A?定义:(A、B为整式,B中含有字母)?B???AA?M??通分:?(M?0)??BB?M?性质???约分:A?A?M(M?0)??BB?M???51?分式?定义:分母含有未知数的方程。如???x?1x?3???思想:把分式方程转化为整式方程???????方法:两边同乘以最简公分母?分式方程?解法????依据:等式的基本性质

???注意:必须验根?????应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用????

【分类解析】

1. 分式有意义的应用

例1. 若ab?a?b?1?0,试判断

分析:要判断11是否有意义。 ,a?1b?111是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因,a?1b?1

式分解,即可判断a?1,b?1与零的关系。

解:?ab?a?b?1?0

?a(b?1)?(b?1)?0

即(b?1)(a?1)?0 此题请大家认真思考!

?b?1?0或a?1?0

?11,中至少有一个无意义。 a?1b?1

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

a2?a?1a2?3a?1? 例2. 计算: a?1a?3

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分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。

解:原式?a(a?1)?1a(a?3)?1 ?a?1a?3

11?a??(a?)a?1a?3

??11?a?1a?3

(a?3)?(a?1)

(a?1)(a?3)

2a?2

(a?1)(a?3) ????

1x2?5x?5 例3. 解方程:1?2 ?x?7x?6x2?5x?6

分析:因为x?7x?6?(x?1)(x?6),x?5x?6?(x?2)(x?3),所以最简公分母为:(x?1)(x?6)(x?2)(x?3),若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于22x2?5x?5x2?5x?6?11故可得如下解法。 ??1?x2?5x?6x2?5x?6x2?5x?6

x2?5x?6?11 解:? ?1?22x?5x?6x?5x?6

原方程变为1?11 ?1?x2?7x?6x2?5x?6

11?2?2x?7x?6x?5x?6

22 ?x?7x?6?x?5x?6

?x?0

经检验,x?0是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知a?6a?9与|b?1|互为相反数,求代数式 2

4a?ba2?ab?2b2b(2?2)?2?的值。 222aa?bab?abab?2ab

分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a、b的值,又因为a2?6a?9?(a?3)2?0,|b?1|?0,利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。

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解:由已知得a?3?0,b?1?0,解得a?3,b?1

4a?ba2?ab?2b2b 原式?[?]?? (a?b)(a?b)ab(b?a)ab(a?2b)a

?(a?b)2a2?b2?ab?b2b?[]??ab(a?b)(a?b)ab(a?2b)a

?(a?b)2ab(a?2b)b ???ab(a?b)(a?b)(a?b)(a?2b)a

??1a?a?bb

把a?3,b?1代入得:原式?1 12

4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 解:设这列火车的速度为x千米/时

4501450?3x ?3?x212.x

方程两边都乘以12x,得5400?42x?4500?30x

解得x?75

经检验,x?75是原方程的根 根据题意,得

答:这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例6. 已知x?2y?3,试用含x的代数式表示y,并证明(3x?2)(3y?2)?13。 3y?2

解:由x?2y?3,得3xy?2x?2y?3 3y?2

?3xy?2y?2x?3

?(3x?2)y?2x?3

?y?2x?3

3x?2

?(3x?2)?

3(2y?3)6y?9?6y?413?2??3y?23y?23y?2

?(3x?2)(3y?2)?13

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6、中考原题:

M2xy?y2x?y 例1.已知2,则M=__________。 ?2?22x?yx?yx?y

分析:通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。

2xy?y2x?y 解:?2 ?x?yx?y2

2xy?y2?x2?2xy?y2

?x2?y2

x2

?2x?y2

?M

x2?y2

2 ?M?x

(x?1)3?x2?1 例2.已知x?3x?2?0,那么代数式的值是_________。 x?12

分析:先化简所求分式,发现把x?3x看成整体代入即可求的结果。

解:原式?(x?1)?(x?1)?x?2x?1?x?1?x?3x

?x?3x?2?0

?原式?x?3x?2

7、题型展示:

例1. 当x取何值时,式子

222222?x2?3x?2 2|x|?2有意义?当x取什么数时,该式子值为零? x2?3x?2 解:由x?3x?2?(x?1)(x?2)?0

得x??1或?2

所以,当x??1和x??2时,原分式有意义

由分子|x|?2?0得x??2

当x?2时,分母x?3x?2?0

当x??2时,分母x?3x?2?0,原分式无意义。 22

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所以当x?2时,式子|x|?2

x2?3x?2的值为零

例2. 求x2?(m?n)x?mnx2?

x?(m?n)x?mn?m212x2?n2的值,其中x?2m?3n??2。

分析:先化简,再求值。

解:原式?(x?m)(x?n)(x?m)(x?m)

(x?m)(x?n)?(x?n)(x?n)

(x?m)2

?(x?n)2

?x?2m?3n??1

2

?x?2m,x?3n,m??1

4,n??1

6

?原式?(x?m)2(2m?m)2

(x?n)2?(3n?n)2

2(?1)2

?m9

4n2??

4?(?116

6)2

【实战模拟】

1. 当x取何值时,分式2x?1有意义?

1?1

x

2. 有一根烧红的铁钉,质量是m,温度是t0,它放出热量Q后,温度降为多少?(铁的比热为c)

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4y24x2y3. 计算:x?2y? ?22x?2y4y?x

4. 解方程:x?2x?4x?6x?8 ???x?1x?3x?5x?7

5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天?

6. 已知4x?3y?6z?0,x?2y?7z?0,xyz?0,求

x?y?z的值。 x?y?2z

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【试题答案】

?x?0? 1. 解:由题意得? 1?1??0?x

解得x?0且x?1

?当x?0且x?1时,原式有意义

2. 解:设温度降为t,由已知得:

Q?mc(t0?t)

t0?t?Q

mc

t?t0?Q

mc

答:温度降为(t0?Q)。 mc

3. 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。

(x?2y)(x?2y)?4y24x2y 解:原式? ?x?2y(2y?x)(2y?x)

x24x2y??x?2y(x?2y)(x?2y)

x3?2x2y?4x2y?(x?2y)(x?2y)

?x(x?2y)

(x?2y)(x?2y)2

x2

?x?2y

1111 ?1??1??1?x?1x?3x?5x?7

1111 ? ???x?1x?3x?5x?7 4. 解:原方程化为1?

方程两边通分,得22 ?(x?1)(x?3)(x?5)(x?7)

?(x?5)(x?7)?(x?1)(x?3)

化简得8x??32

解得x??4

经检验:x??4是原方程的根。

说明:解分式方程时,在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法,减少繁琐计算。

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5. 分析:设规定日期是x天,则甲的工作效率为11,乙的工作效率为,工作总量x为1

解:设规定日期为x天

根据题意,得2(1

x?1

x?3)?x?2

x?3?1

解得x?6

经检验x?6是原方程的根

答:规定日期是6天。

6. 解:?4x?3y?6z?0(1),x?2y?7z?0

由(1)(2)解得??x?3z

?y?2z

?x?y?z3z?2

x?y?2z?z?z

3z?2z?2z?4

3

谢谢大家的参观!再见!

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