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二次函数的概念2345

发布时间:2014-01-02 10:35:45  

二次函数的概念
? 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数,其中,是自变量, 分别是函数表达式的二次项系数,一次项 系数和常数项。 ? 二次函数的特殊形式: ? (1)y=ax2 ( 2)y=ax2+c ? (3) y=a(x-h)2 (4)y=a(x-h)2+k

抛物线y=ax2的图像性质:
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小; o |a|越小,抛物线的开口越大; (3) a>0时, 在y轴左侧,y随x的增大而减 小,在y轴右侧,y随x增大而增大; a<0时, 在y轴左侧,y随x的增大而增 大,在y轴右侧,y随x增大而减少;
y

a>0

x

a<0

抛物线y=ax2+k的图像性质:
(1)当a>0时, 开口向上;

当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3

抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)

抛物线y=a(x-h)2的图像性质:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 1 -2 y ? ? ( x ? 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

2

抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)

抛物线y=a(x-h)2+k的图象性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

直线x=h
由h和k的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

二次函数y=a(x-h)2 +k与y=ax2 的关系
?1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. ?(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在 对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称 轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而 减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)2 +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2 的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.

各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移

y = a( x – h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x – h )2

右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。

1.抛物线y=(x-3)2的开口方向 ,对称轴是 ,顶 点坐标为 ,在对称轴左侧,即x 时,y随x增大 而 ;在对称轴右侧,即x 时,y随x增大而 , 当x= 时,y有最 值为 . 2.函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位,再沿y轴向 平移 个单 位得到. 3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取什么实数, 图象顶点必在( ). A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上

4.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式
为 .

5.函数y=-2x2+8x-8的顶点坐标为

.

6.函数y=2x2+8x-8的对称轴为
7.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2-4x-1 有相同的顶点,并且在对称轴左侧,y随x的增大而 增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,则所求 的二次函数的解析式为( ) A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)

.

8.若b<0,则函数y=2x2+bx-5的图象的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.设抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上,则c为
10.二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和-1,6) ,则 对称轴为 . 11.如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( )
y y y y

.

o

x

o x

o x

o

x

A

B

C

D

? 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: ? 1 1 2 2 ?1? .y = 2 ? x + 3 ? - , ? 2 ? .y = - ? x + 1? - 5. 2 3

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?
?

? 3.对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?


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