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2北师大版九年级数学下册结识抛物线

发布时间:2014-01-02 10:35:46  

自尊

自爱

自信

自立

自强

复习: 1、什么叫做二次函数? ?一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0) 的函数叫做x 的二次函数 2、画函数图象的主要步骤是什么? (1)列表; (2)描点; (3)连线。

3、请你画出二次函数 y=x2 的图象。 列表:

x



-3

-2 -1

0

1

2

3



y

x y

… …

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

… …

描点,连线

y
10 8 6 4 2 1

2 y= x

-4

-3

-2

-1

0 -2

1

2

3

4

x

x
y=x2

... ...

-2 -1.5 4 2.25

-1 -0.5 1 0.25

0 0

0.5 0.25

1 1

1.5 2.25

2
4

...
... ...

坐标轴中 描的点越 多图像越 精确

y ? x2

0

抛物线y=x2在x轴的 二次函数y=x2的 上方(除顶点外),顶点 图象形如物体抛射 是它的最低点,开口 时所经过的路线,我 y 2 向上,并且向上无限 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 10 伸展;当x=0时,函数y y轴对称,y轴就 对称轴与抛物 的值最小,最小值是0. ?(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 是它的对称轴. 线的交点叫做 8

观察图象,回答问题串

y= x

?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什 6 么?图像与对称轴有交点吗?请你找出几对对称点, 并与同伴交流. 4 ?(3)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?

抛物线的顶点.

当x<0 (在对称轴的 2 ?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化?当x>0呢? 左侧)时,y随着x的增大而 1 减小. -4 -3 -2 -1 0 1 2 当x>0当x=2时,y=4 3 (在对称轴的 4 x 当x=-2时,y=4 -2 右侧)时, 当x=1时,y=1 y随着x的增大而 ?(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何 当x=-1时,y=1 增大.

知道的?

做一做: 二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后作出 它的图象,它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行 交流。 观察y=-x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值, 完成下表

x y=x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

...... ......

做一做P405

x y

… …

-3 -2 -1 -9 -4 -1

0 -0

1 -1

2 -4

3 -9

… …

描点,连线
-4 -3 -2 -1 -1 -2 -4 -6 -8 -10 0

y 1 2 3 4 x

y=-x2

y ? x2

观察右图,
完成填空。
0

y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值

y=x2
(0,0)

y=-x2
(0,0) y轴

y轴

在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
向上 向下

动画演示

y?x

2

二次函数y=x2,当x<0时 (在对 称轴的左侧),y随 着x的增大而减小。

当x=-2时,y=-4 当x=1时,y=-1 当x=-1时,y=-1 当x=2时,y=-4
0

二次函数y=x2,当x>0时 (在对称轴的右侧),y随 着x的增大而增大。
二次函数y=-x2,当x<0时 (在对称轴的左侧),y随 着x的增大而增大。

y ? ?x
返回

二次函数y=-x2,当x>0时 (在对称轴的右侧),y随 着x的增大而减小。

2

课 堂

y ?

x2
二次函数y=±x2的性质 1、顶点坐标与对称轴

2、位置与开口方向
3、增减性与极值

y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值

y=x2
(0,0)

y=-x2
(0,0) y轴

y轴

在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
向上 向下

动画演示 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值为0。

y?x

2
E

A

F

抛物线 C y=x2与 y=-x2关 于x轴 4 对称

1

在同一坐标系 内,抛物线y=x2与 抛物线y= -x2的位 置有什么关系?
返回

1
B

0

抛物线 4 y=x2与 22 y=-xx关 y?? D 于原点 对称

1.二次函数y=x2的图象是一条 抛物线 ,开 口 向上 ,对称轴为 Y轴 . 对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而 减小 ; 对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 . 抛物线与x轴的交点是(0,0) ,与y轴也交于此 点,是图象的最_________点,也叫做顶点. 低
小结

2.二次函数y=-x2图象是一条 抛物线 ,开 口向下 ,对称轴为 Y轴. 对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而 增大 ; 减小 对称轴的右侧,y随x的增大而________. (0,0) 抛物线与x轴的交点是 ,与y轴也交于此 高 点,是图象的最________点,也叫做顶点.
小结

3.观察二次函数y=x2的图象,可以知道当x <0时,随着x的增大,y值 减小 ;当x>0时, 随着x的增大,y值 增大 . 4.观察二次函数y=-x2的图象,可以知道当 x<0时,随着x的增大,y值 增大 ;当x>0时, 减小 随着x的增大,y值 .
小结

5.观察y=x2图象可知,无论x取何值,y ﹥ 2图象可知,无论x取何值,y 0.观察y=-x ﹤ 0.
6.抛物线y=-x2上有一点A(2,__ ), 点A关于y -4 -2 __),这个点 轴的对称点A’坐标为(__ , -4 在 ____(填“在”或“不在”)y=-x2的图象 上.
小结

(0,0) 7.抛物线y=x2的顶点坐标为 .若点A (a,4)在其图象上,则a的值是 ±2 .若 点B(3,b)在其图象上,则b= 9 .

8.抛物线y=-x2的顶点坐标为(0,0) .若点 A(3,m)在其图象上,则m= -9 .若点 B(n,-4)在其图象上,则n的值是 ±2 .
小结

9.如图,A、B分别为y=x2上两点,且线段 AB⊥y轴,若AB=6,则 (-3,9) A点坐标为___________, (3,9) B点坐标为___________. 10.点A、B分别为y=-x2上两点,且线段 AB⊥y轴,若AB=5,则 A点坐标为___________, (-2.5,-6.25) 小结 (2.5,-6.25) B点坐标为___________.

4 9 11.二次函数y=x2,若2≤x≤3,则___≤y≤___;若 9 16 -4≤x≤-3,则___≤y≤___;若 1≤x≤3,则 9 ___≤y≤___; 12.已知a>0,点(a,y1)、(a+1,y2)都 ﹤ 在函数y=x2的图象上,则y1______y2.(填 “<”或“>” )
小结

?

13.求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐 标.

?

求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交 点坐标.

14.已知点A(1,a)

在抛物 线y=x2上. (1)求A点的坐标. (2)在x轴上是否存在点P, 使得△OAP是等腰三角形? 若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.

1 2 y ? x , y ? 2 x 2 , y ? 3x 2 ? ? 它们的函数图象怎样? ? 2 与刚才研究 y ? x 2 的函数图象类似吗?是抛物线吗?

猜想:

它们的开口朝向,对称轴,顶点怎样? 顶点是最高点还是最低点? 1 2 2 2 y ? ? x , y ? ?2 x , y ? ?3x ? ?它们的函数图象怎样? ? 2 2 与刚才研究y ? ? x 的函数图象类似吗?是抛物线吗? 它们的开口朝向,对称轴,顶点怎样? 顶点是最高点还是最低点?


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