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圆锥的侧面积

发布时间:2014-01-02 13:40:34  

生活中的圆锥形物体

圆锥的侧面展开图

1、 ? r(圆) 2

2、 ? r(弧) 2

2? r

3、圆锥的侧面展开图是一个扇形,设圆锥的母线为 l 底面圆 的半径为 r ,那么 l 2? r 这个扇形的半径为____ ,扇形的弧长等于底面圆周长为___ 因此圆锥的侧面积为____ 4、圆锥的侧面积与底面积之和为圆锥的全面积

2? r

? rl

即: S全 ? S侧 ? S底 ? ? rl ? ? r

2

例1 、已知圆锥的底面直 径为4,母线长为6,则它 12? 的侧面积为_____

例2 、用一个半径为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧 面,则此圆锥的底面半径 为_____ 3cm

圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽, 已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm,要制作20顶这 样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到 0.1cm2) 分析:根据题意,要求纸帽的 面积,即求圆锥的侧面积。现 在已知底面圆的周长,从中可 求出底面圆的半径,因而可得 出扇形的弧长,再根据勾股定 理求出母线长,代入计算公式 中即可。

解:设纸帽的底面半径为rcm,母线长 为 l cm, 则

r=

58 2?

58 2 2 l ? ( ) ? 20 ? 22.03cm 2?
S圆锥侧 1 ? ? rl ? ? 58 ? 22.03 ? 633.87cm 2 2

638.87 ? 20 ? 12777.4cm2
所以,至少需要12777.4cm2的纸

例: 如图,一个圆锥形烟囱帽的底面直 径是80cm,母线长50cm,要加工这样一个烟 囱帽,需要多少铁皮?工匠师傅怎样从一个 圆形铁皮中将其剪下来?
分析:从实际问题出发, 怎样剪下需要的铁皮,在 半径确定的情况下,要确 定圆心角。因此需求侧面 展开图中扇形的圆心角。

80 ? rl ? ? ? ? 50 ? 2000? ? 6280(cm2 ) 解:侧面积S侧= ?2 设扇形的圆心角为 n ,则 ? rl ? ? d 180 即 n? ? 50 ? ? ? 80 ∴n=288 180

∴从圆形铁皮上剪下一个圆心角为2880的扇形即可

例:如图,有一圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三 角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮 食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老 鼠,则小猫所经过的最短路程是多少? 分析:小猫所经过的路程最短,应该求圆锥侧面展 开后两点B、P之间的线段长度。
A
j

B
P

A P

6

B

O

C

C

A
j

B
P

A
P

6

C
B
O

C

解:设圆锥底面半径为 r ,母线为 l ,展开后圆心角度 n?,则底面圆的周长为 2? r,侧面展开图的弧长 数为 为 n? l , ∴ 2? r ? n? l
180

∵轴截面△ABC为等边三角形 ∴AB=BC 即 l ? 2r ? 6 ? r ? 3 n? ? 6 ? n ? 180 即其侧面积展开图为半圆 ? 2? ? 3 ?
180

180

则△ABP为直角三角形,BP为最短路线 在Rt△ABP中,BP=
AB2 ? AP2 ? 62 ? 32 ? 3 5m

答:小猫所经过的最短路程为 3 5m

圆锥的侧面展开图是一个扇形 若

圆锥母线为 l ,底面半径为 r ,那么这个扇形的半径 为 l ,扇形的弧长为2? r ,因此圆锥的侧面积为 ? rl 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,

S圆锥全 ? ? rl ? ? r 2

圆锥的基本特征是:
①圆锥的高通过底面的圆心,并且垂直于底面 ②圆锥的母线长都相等 ③经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形 ④圆锥的侧面展开图是半径等于母线长,弧长等于圆锥底 面周长的扇形。

课外作业:

课本 习题3.11

想一想,试一试:
有一个直角边分别为15和20的直角 三角形,若绕一边旋转一周,可得到几 种几何体?你能分别求出其全面积吗?


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