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27.2相似三角形的判定(4)

发布时间:2014-01-02 13:40:41  

27.2.3相似三角形的判定(4)

龙感湖中学九年级备课组

新课精讲
观 察
观察两副三角尺如图,其中同样角度(30°与 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同, 但它们看起来是相似的.一般地,如果两个三角形有 两组对应角相等,它们一定相似吗?

一定相似

探究
作△ABC和△A'B'C',使得∠A=∠A',∠B=∠B',这 时它们的第三个角满足∠C=∠C'吗?分别度量这两个三角 AB BC CA 、 、 形的边长,计算 ,你有什么现? A' B' B' C ' C ' A'

A

A'

满足:∠C = ∠C'
AB BC CA ? ? A ' B ' B 'C ' C ' A '

B

C

B'

C'

△ABC∽△A'B'C' 得到判定两个三角形相似的又一个简便方法。

判定定理:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
如图,已知△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A', ∠B=∠B',

求证: △ABC∽△A'B'C' 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上,截取AD=A'B',过点D
作DE//BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B' 又∵∠A=∠A',AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' ∴△A'B'C'∽△ABC D B E A

A'

C

B'

C'

知识要点
判定三角形相似的定理
角 角


A A

如果两个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似。 A 两角对应相等,两三角形相似。
A1

即: 如果 ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
C1

B
B1

C

那么 △ABC∽△A1B1C1.

和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点 分成的两条线段长的积相等。
例1 如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证PA·PB=PC·PD ? 证明:连接AC、BD. ∠A和∠D都是 CB 所对的圆周角, ∵ A ∴ ∠A=∠D 同理 ∠C=∠B D ∴ △PAC∽△PDB P PA PC ? ? O 即 PA·PB=PC·PD B PD PB
C 推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一 半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 C

如图:CD是弦,AB是直径CD⊥AB,垂足为P. 则PC2=PA PB

A

O

P

B

a 例2已知:线段a,b(如图) 求作:线段c,使c2=ab b 作法:1.作线段AP=a(如图) 2.延长AP到点B.使PB=b. 3.以AB为直径作半圆。 4.过点P作PC⊥AB.交半圆于点C. PC就是a,b的比例中项。
C c O A a P b B

例3.已知点P是 O 外一点,PT是切线,T是切 点 PA是割线,点A,B是它与 O 的交点(如图) C D O 求证:PT2=PA PB A B P 证明:连结TA,TB. T ∠BPT=∠TPA PB PT ? BPT? TPA ? PT PA ? PT2=PA PB ∠PTB=∠PAT



切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切 线是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 如上图中:PA PB=PC PD

例4.○O1、○O2、○O3、...都经过点A和B. 求证:从线段AB的延长线上任意一点向各圆引

切线,切点在同一 个圆上。 已知:如图,○O1、○O2、○O3、...都经过点A和B.点P是线段AB的 延长线上任意一点,且PC、PD、PE、...分别与○O1、○O2、○O3 、...相切于点C、D、E、.... P 求证:C、D、E、...在同一个圆上。 E 证明:∵PC是○O1的切线 ,PA是○O1的割线 C B 2=PA.PB. D ∴PC O1 O2 O3 同理PD2=PA PB,PE1=PA PB,.... A ∴PC=PD=PE=.... ∴C、D、E、...都在以点P为圆心,PC为半径的圆上。

探究4
A

已知:Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. AB ? BC ? k , A1 B1 B1C1 求证:△ABC∽△A1B1C1.
A1

思考:

B

C

对于两个直角三角形,我们可以利用 “HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于 一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?
证明: 设
AB AC ? ? k . 则AB ? kA?B?, AC ? kA?C ?. A?B? A?C?

B1

C1

由勾股定理,得
BC ?
BC ? ? ?C ? B
?

AB 2 ? AC 2 , B?C ? ?
AB 2 ? AC 2 ? ?C ? B

A? B? 2 ? A? C ? 2 .

k 2 A? B? 2 ? k 2 A? C ? 2 kB?C ? ? ? k. ?C ? ?C ? B B

BC AB AC ? ? . B?C ? A?B? A?C ?

∴Rt △ABC∽Rt △A'B'C'.

知识要点

判定三角形相似的定理
H L



如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
A
A1

即: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果 B
B1

C
C1

AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

那么 △ABC∽△A1B1C1.

练 习

1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等 腰三角形呢?证明你的结论. A'
A

B

C

B'

C'

已知:等腰△ABC 和等腰△A‘B’C‘ 中,满足A'B'=A'C', AB = AC 且有∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C'
证明:∵等腰三角形 AB=AC ∵等腰三角形 A'B'=A'C'
又∵∠B=∠B',

∴∠B=∠C ∴∠B'=∠C'

∴∠C=∠C'

∴△ABC∽△A'B'C'

已知:第腰△ABC 有AB=AC 和 △A'B'C' 有A'B'=A'C', 并且∠A=∠A', 求证:△ABC∽△A'B'C' 证明:∵ △ABC中AB=AC,∠B =∠C ∴ 2∠B =180°-∠A 1 ?B ? 90? ? ?A 2 同理 ,△A'B'C'中A'B'=A'C',∠B' =∠C' ∴ 2∠B' =180°-∠A' 1 ? ?B ' ? 90 ? ?A ' 2 又 ∠A=∠A'
A

B

C

A'

∴ ∠B=∠B',
∵ △ABC∽△A'B'C'

B'

C'

2、如图, 在RtΔABC中,CD是斜边AB上的高。 (1)图中有哪些相似的三角形?证明你的结论. (2)证明CD2=AD· BD (3)类似的,AC2=( )· ( ); BC2=(


)· (



同理 ⊿CDB~⊿ADC

1 2

∴ △ACD∽△ABC ∽△CBD (2) ∵⊿CDB~⊿ADC


CD = BD ∴CD2=AD·DB AD CD (1)、△ACD∽△ABC (3)、 同理⊿ACD~⊿ABC ∴AC2=AD ·AB, △CBD∽△ABC ⊿ABC~⊿CBD BC2=BD ·BA △ACD∽△CBD
A D



证明: ∵∠ACB=∠ADC=90°
又∠ A=∠ A=90° ∴ △ACD∽△ABC

由(1)可得

直角三角形被斜边上的高分 成的两个直角三角形和原三 角形都相似。

例1.直角三角形被

斜边上的高分成的两个直角 三角形和原三角形都相似。
已知:Rt△ABC中,CD是斜边上的高(如图) 求证:△ABC∽△CBD∽△ACD. 证明: ∠B=∠B ? △ABC∽△CBD. Rt∠ACB=Rt∠CDB C



同理可证△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD.

A
.

D

B

例2.已知:如图(甲)BE.CF是△ABC的中线它 A 们相交于点G. GE GF 1 求证:GB = GC = 2 F F E 证明:连结EF.
G

A

G

E

AE=EC AF=FB

? } {

如果AD是图乙中△ABC的另一条 中线,同样可以证 明它和BE的交点也分别内分AD,BE为2:1.即AD和BE的 交点也是BE和CF的交点G.就是说三角形的三条中线 交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重 心。

B 1 甲 ? BC=2EF FE= BC 2 GE GF EF FE BC ? GB GC BC



C

?

B

D

C


GE GF 1 = = GB GC 2

定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点
的距离的两倍。

例3.已知△ABC,P是AB上的一点,连结CP.满足什么 A 条件时,△ACP与△ABC相似。 ?1=?B P 解: ?A=?A} ACP ∽ ABC



?

2

1

C

?2=?ACB ? ACP ABC ∽ ?A=?A} AB AC = AC AP ? ACP ∽ ABC ?A=?A

B



当∠1=∠B,或∠2=∠ACB,或AC2=AB AP时, △ACP∽△ABC.

直角三角形中成比例的线段
从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线 上的正射影。如图(甲)点P1',P2',P3'分别是点P1,P2,P在 直线MN上的 正射影。
P1
A B A B A B' A' B' A' B' A' B ( A' B B') (B') A A B N

M

P2' P3 P1' P2

P3'

N


M



一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段 叫做这条线段在这条直线上的正射影。图(乙)中线段 A'B'都是对应的线段AB在直线MN上的正射影。(当AB⊥ MN时A'B'缩为一个点)。 点、线段在一条直线上的正射影,简称射影。

定理:直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边 上的射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边 上的射影和斜边的比例中项。 已知:如图,AB是Rt△ABC的斜边,CD是高。 求证:(1)CD2=AD ? BD (2)AC2=AD ?AB , BC2=BD ? AB 证明:(1) ∠ACB=90° ACD ∽ CBD C CD⊥AB . CD BD CD2=AD ? BD A = B AD CD D (2)同理可证:△ACD∽△ABC,△BCD∽△BAC. ∴AC2=AD ? AB , BC2=BD ? AB



?

?

?

C

A

D

B

常用的相等的角: ∠A =∠DCB ;∠B =∠ACD 常用的成比例的线段:

AC ? BC ? AB ? CD 2 AC ? AD ? AB 2 BC ? BD ? AB CD 2 ? AD ? DB

课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法:
1.通过定义 (三边对应成比例,三角相等) 2. 平行于三角形一边的直线 3. 三边对应成比例 (SSS) 4. 两边对应成比例且夹角相等 (SAS) 5. 两角对应相等 (AA) 6. 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 (HL)

2. 相似三角形的性质:
1. 对应角相等。 2. 对应边成比例。 3. 对应高的比等于相

似比。 4. 对应中线的比等于相似比。 5. 对应角平分线的比等于相似比。

反馈练习

《课堂内外》第37--38页
小结测试

《课堂内外》活页练习第页
作业布置

A 1 2

A O

C

B
A

C

B D D O A

C

D
E

D

E A B B

B

C

C

基本图形的形成、变化及发展过程:
平行型
. 旋转 ∽ 斜交型 . 特 殊 垂直型 平移 . 平移 . 特 殊 .

.

随堂练习
1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。 × (1)所有的等腰三角形都相似。 √ (2)所有的等腰直角三角形都相似。 (3)所有的等边三角形都相似。 √ (4)所有的直角三角形都相似。 × (5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 (7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。 × (8)相似的两个三角形一定大小不等。

√ × √

2. AD⊥BC于点D, CE⊥AB于点 E ,且交AD于F,你能 从中找出几对相似三角形?

A

E F B D C

3. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC 相交,截得的小三角形与△ABC相似,这样的直线有几条?



D●



C

这样的直线有两条:
A A

D

E

D E

B 作DE,使∠AED=∠C ∠A=∠A ∠AED=∠C △ ADE∽ △ABC

C

B 作DE,使∠AED=∠B ∠A=∠A ∠AED=∠B △ AED∽ △ABC

C

构造基本图形
4、如图,△ABC中,M为AC边的中点,E为AB上一点 1 且 AE = 4 AB ,连结EM并延长交BC的延长线于D.
求证:BC=2CD
A E M
B C A E E M A E A

F F
D B C

M

D A

F
E

F
M

B

C

D
B C

M

D

B

C

D

课堂小结
三角形相似的识别方法有那些?
方法1:通过定义

?

三个角对应相等 三边对应成比例

方法2:平行于三角形一边的直线。 方法3:三边对应成比例。 方法4:两边对应成比例且夹角相等。 方法5:通过两角对应相等。 方法6:斜边直角边对应成比例

D

位似图形
一、位似形

C D' O A' B' C'

现在,我们来研究相似性的已知特殊情形。 A B 甲 如图(甲),O是四边形ABCD内的任一点,A'.B'.C.D'分别是OA,OB, OA' OB' OC' OD' 2 OC,OD上的点。 = = = = OA OB OC OD 3 2 可以证明四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,并且相似比为 3
OA' OB' OC' ? = = OA ?OB OC

{ {
A'B' AB? B'C' BC?



A'B' OB' 2 = = AB OB 3 ?OB'A'=?OBA

B'C' OB' 2 = = BC OB 3


?

A'B' B'C' 2 = = AB BC 3

?A'B'C'=?ABC.

?OB'C'=?OBC

A'B' B'C' C'D' D'A' 2 = = = = 同理可得 AB BC CD DA 3 ?B'C'D'=?BCD,?C'D'A'=?CDA,?D'A'B'=?DAB. ∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,相似比为 2 3

由此看出,在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,如果有: (1)对应顶点A'和A,B'和B,C'和C,D'和D的连线都经过同一点O; OA' OB' OC' OD' 2 , 那么四边形A'B'C'D' (2)
OA = OB = OC = OD = 3

2 和四边形ABCD相似,相似比等于 3

,这样的两个四边形

这样的两个四边形有特殊的

位置关系。 如果一个图形上的点A',B',…,P'和另一个图像上的点A,B,...,P分 别对应,并且 OA' OB' OP' (1)直线A'A,B'B,...P'P都经过同一点O;(2) = OB = ... = =K OA OP 那么这两个图形叫做位似图形,点O叫做位似中心。 位似图形不仅形状相同,而且有特殊的位置关系。 对于两个多边形来说,只要它们的对应顶点A',B',...P'和A,B,...P 有上面的(1)、(2)两个关系,这两个多边形就是位似多边形. 如图(甲)中的四边形A'B'C'D'和四边形ABCD是位似四边形。

定理:两个位似多边形一定相似,它们的相似比等于对
应顶点与位似中心的距离的比,它们的各对对应边分别 平行。
两个位似图形的各对对应点可以全部都在位似中心的同旁,这时这两个位 似图形叫做相互外为似,位似中心叫做外位似中心,也可以全部都在位似中心 的两旁,这时这两个位似图形叫做相互内位似, 位似中心叫做内位似中心。 例如图(乙)中五边形A'B'C'D'E'和五边形ABCDE相互外位似,点O为外位似中心 图(丙)中,五边形A'B'C'D'E'和五边形ABCDE相互内位似,点O为内位似中心。
E E' O A' A D' C' B' C
C' D' E' A B

D
B' A' O

E

D

C



B



例1已知:锐角三角形ABC(图1)。 求作:矩形DEFG,使DE在边BC上,点G和F分别在 边AB和AC上,且DE:GD=2:1.
作法:1.在AB上任取一点G1,作G1D1⊥BC,垂足为D1. 2.在D1C(或其延长线)上取一点E1,使D1E1=2G1D1. 3.以G1D1,D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1. 4.作射线BF1,交AC于点F. 5.作FE∥F1E1,交BC于的E;作FG∥F1G1,交AB于的G;作GD∥G1D1 交BC于点D. A 四边形DEFG就是所求的矩形。
G G1 B D1 D F F1 E1 (1) E C

证明:由作法知,DE在BC上,点G,F分别在AB,AC 上.又DD1,EE1,FF1,GG1,相交于点B,且
BE BF BG BD = = = BE1 BF1 BG1 BD1

∴四边形DEFG和四边形D1E1F1G1位似. ∵四边形D1E1F1G1是矩形,且的D1E1:G1D1=2:1
A G G1 B D1 D F F1 E1 (1) E C


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