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2011中考二次函数总复习(精品课件1)

发布时间:2014-01-02 14:39:47  

中考语录
中考是人生的第一 个十字路口,车辆很多 ,但要勇敢地穿过去。

一般地,函数y ? ax 2 ? bx ? c(其中a, b, c是常数, a ? 0)叫做关于x的二次函数。
1. 自变量的最高次数是2。 2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数解析式必须是整式。

二次函数的解析式y=ax2 +bx+c (其中a,b,c是常数,a≠0)

注意:当二次函
数表示某个实际 问题时,还必须根 据题意确定自变 量的取值范围.

想一想:函数的 自变量x是否可 以取任何值呢?

1.定义:一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示 形式: (1)y=ax2 (a≠0,b=0,c=0,).

(2)y=ax2 +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2 +bx(a≠0,b≠0,c=0).

2.定义的实质是:ax2 +bx+c是整式,自变量x的最 高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

思考:下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的, 请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项:

(1) y ? 2 x ? 3
2 2



a ? 2, b ? 0, c ? ?3
不是,因为不是整式

1 (2) y ? ? x ? ? 3 x

巩固一下吧!
下列函数中哪些是一次函数,哪些是二次函数?

(3) y ? ?1 ? 2 x
(5) y ? x ? x ? 1
2

3 (1) y ? x 4

( 2) y ? x 2

1 (4) y ? 2 x ? ? 3 x 2 2 (6) y ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)
2

(7) y ? ( x ? 2) ? 3
2

(8) y ? ?0.5 x 2 ? 1
(10) x ? y ? 5
2 2

2 (9) y ? x ? ? 1 x

1,函数 y ? ax ? bx ? c (其中a、b、c为常数), 当a、b、c满足什么条件时,
2

(1)它是二次函数; (2)它是一次函数; (3)它是正比例函数;

a ? 0 时,是二次函数; 当 a ? 0, b ? 0 时,是一次函数; 当 a ? 0, b ? 0, c ? 0 时,是正比例函数;


驶向胜利 的彼岸

2,函数 y ? (m ? m ? 2) x
2

m2 ? 2

当m取何值时,

(1)它是二次函数? (2)它是反比例函数? m2 ? 2 ? 2 且 m2 ? m ? 2 ? 0 (1)若是二次函数,则
∴当 m ? ?2 时,是二次函数。

m2 ? 2 ? ?1 m2 ? m ? 2 ? 0 (2)若是反比例函数,则 且
∴当 m ? 1 时,是反比例函数。
驶向胜利 的彼岸

二次函数的三种解析式
使用

解析式
一般式

范围

y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k

已知任意 三个点 已知顶点(h,k) 及另一点
已知与x轴的两 个交点及另一 个点

顶点式

交点式

y=a(x-x1)(x-x2)

小结:各种形式的二次函数的关系
y = a( x – h )2 + k

左 右 平 移

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x – h )2
左右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。

1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质

(1)是一条抛物线; (2)对称轴是:x=- 2a (3)顶点坐标是:(-2a , 4ac-b2 ) 4a (4)开口方向: a>0时,开口向上; a<0时,开口向

下.
图 26.2.4
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前进

(二) 函数性质:
(1) a>0时,对称轴左侧(x<-2a), 函数值y随x的增大而减小 ;对称轴 右侧(x>- ),函数值y随x的增大而 2a 增大 。 a<0时,对称轴左侧(x<- 2a), 函数值y随x的增大而增大 ;对称轴 右侧(x>- 2a ),函数值y随x的增大而 减小 。
2 (2) a>0时,ymin= 4ac-b 4a

图 26.2.4

a<0时,ymax= 4ac-b2
4a

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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

直线x=h
由h和k的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性
最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

a、b、c、 △、的符号与图像的关系

yy

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c<0 y y c>0 c=0
xx

00 0

0 0

?(0,c) ?(0,c) (0,0) ?

x x

b y x=- b b y 2a x=- y x=2a2a

(3)a、b确定对称轴 ab>0
x

b x=- 2a

的位置:

ab=0

ab<0

0

?(x,0)

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
y

Δ>0

Δ=0

Δ<0

0 0

?(x?,0) ?(x ,0) (x,0)
x
1 2

x

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 ?(1)有两个交点 ?(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

思考:
求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛 物线的解析式,关于Y轴的抛物线的解析式

小结
1、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称 的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c 2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称 的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 ?(1)有两个交点 ?(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

小结
(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个 根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0) (2) 抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标 是(X1,0)(X2,0),则一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为X1,X2 X1+X2= X1X2=

题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成 的面积 例1:填空: (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐 (0,2) 标是____________,与x轴的交点 (1,0)和(2,0) 坐标是____________; (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交 (0,-3) 点坐标是____________,与x轴的 3 (1,0)和(2 ,0) 交点坐标是____________.

前进

例2:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交

点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4
y ×

(-8)=36>0

∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0
A P B x

解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 前进 而P点坐标是(1,-9)

∴S△ABC=27

(二)根据函数性质判定函数图象之间 的位置关系
例3:在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y

O

x O x O

x O x

A B C D

答案: B

前进

(三)根据函数性质求函数解析式

例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并 且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x

1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? x=-1 1 :(5) yy (1)∵a= —>0 - -— (6) (2)由x=0,得y= 3 x=-1 2 2 (3) :(4)由对称性可知 当x≤-1时,y随x的增大 (1,0) x 由图象可知 3(-3,0) MA=MB=√22+22=2√2 ①画对称轴 (1,0) x 抛物线与y轴的交点C(0,- -—) ∴抛物线的开口向上 (-3,0) 而减小; 2 B(1,0) x 0 (1,0) x A(-3,0) D (-3,0) 当-3AB=|x1-x2|=4 < 0 < x < 1时,y ②确定顶点 0 前进 当x=-1时,y有最小值为 1 1 (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 1> 2+x- —=0 3 ∴ ∵y= — ΔMAB的周长=2MA+AB 3 0 当x< -3或x>1时,y 0 前进 由y=0,得—x ③确定与坐标轴的交点 22 (0,-–) y最小值=-22 3 2前进 2 =2 √2×2+4=4 √2+4 x1 x2=1 (0,-–)33 及对称点 =-3 2 1 (-1,-2) C(0,-–) (0,-–) ΔMAB的面积=—AB×MD (-1,-2) 22 与x轴交点A(-3,0)B(1,0) ∴对称轴x=-1,顶点坐标M(-1,-2) 2 1 ④连线 (-1,-2) M(-1,-2) =—×4×2=4 2

解 解: 解: 解

? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?

巩固练习:
1、填空:

(1)二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标 25 1 1 x=— (—,-—) 2 是___________对称轴是_________。 4 2 (2)抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 (0,0)(2,0) 是___________ 1 2 (3)已知函数y=—x -x-4,当函数值y随 2 x的增大而减小时,x的取值范围是 x<1 ___________ (4)二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 2 经过原点,则m= ____。

2.选择

c (1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是___________

__. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1的________________ B A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)若y=ax2+bx+c(a ? 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), C 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a ? 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2

3、解答题:
已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且 图象过点(-3,-2)。 (1)求此二次函数的解析式; (2)设此二次函数的图象与x轴交于A,B两点,O为 坐标原点,求线段OA,OB的长度之和。

能力训练

1、 二次函数的图象如图所示,则在下列各不等式 中成立的个数是____________
y

-1
0

1

x

①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0

2、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时,y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时,y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标;
y

O

x

3、已知一个二次函数的图象经过点(0,0), (1,﹣3),(2,﹣8)。 (1)求这个二次函数的解析式; (2)写出它的对称轴和顶点坐标。

基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3

C y= - x2 – 3x

D y=-2(x+1)2 - 3

2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定

归纳小结:
(1)二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用 注意:图象的递增性,以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围 (2)a,b,c,Δ的正负与图象的位置关系 注意:图象与轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0)时 AB=|x2-x1|= √(x1+x2 )2+4x √Δ 1 x2= —— |a|

这一结论及推导过程。

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3.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等 1 的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m与 1 x轴有____个交点.

4.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上, 16 则c=____.

制作:小井中学


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