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概率与统计分节知识点与练习

发布时间:2014-01-03 11:38:26  

双流艺体中学高2014届数学教研组

概率与统计 ----专题

基础知识回顾:

一、概率和频率

1..在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中 事

件A出现的次数nA为事件A出现的 ,称事件A出现的比例:

fn(A)= 为事件A出现的频率.

2..对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加 稳

定于一个常数---- ,因此可以用 来估计概率P(A).

*概率是一个常数,它是频率的科学抽象,将事件发生的频率近似地作为它的

概率是求一事件概率的基本方法.

二、古典概型

1.试验中所有可能出现的基本事件只有 个,即 性.

2.每个基本事件出现的可能性 ,即 性.

满足以上两个特点的概率模型称为: ,其计算公式为:

A包含的基本事件的个数 P(A)=. 基本事件的总数

三、几何概型

1..定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 )成

比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为 .

2.几何概型的概率公式

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积四、简单随机抽样:

1.简单随机抽样的概念:

设一个总体含有N个个体,从中逐个 地抽取n个个体作为样本(n≤N),

如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会 ,就把这种抽样方法叫

做简单随机抽样.

2.最常用的简单随机抽样方法有两种—— 和 .

1

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2、系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本:

(1)先将总体的N个个体 ;

(2)确定 ,对编号进行分段,当是整数时,取k=;

(3)在第1段用 抽样确定第一个个体编号l(l≤k);

(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l+ k,再加k得到第3个个体编号l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.

3、分层抽样

1.分层抽样的概念: 在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是分层抽样.

2.当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法.

3.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是均等的.

抽样比=

五、样本的数字特征

知识点一:随机事件的概率与频率

[例1] (2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相 2 NnNn

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等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

练1. (2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:

(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;

(2)试估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

练2.将一颗骰子先后抛投2次,观察向上的点数,求:

(1)两数之和为5的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率;

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(3)以第一次向上的点数为横坐标x,以第二次向上的点数为纵坐标y,点 (x,y)在圆x?y?15内部的概率.

知识点二:古典概型

[例1] (2012山东高考)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(注意规范答题格式)

练1.(2012·江西高考)如图所示,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,

1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;

(2)求这3点与原点O共面的概率.

例2.(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=

1,b4=8,{an}的前10项和S10=

55.

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(1)求an和bn;

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.

练1.(2011福建.12)某日用品按行业质量标准分成5个等级,等级系数X一次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,

(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值。

(2)在(1)的条件下,在等级系数为4和5的日用品中任取两件,写出所有可能的结果,并求这两件日用品等级系数恰好相等的概率。

知识点三:几何概型

例2.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别 5

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为120人、120人、n人,为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队抽6人.

(1)求n的值;

(2)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.

22 练习1.在区间[0,1]上任取两个数a,b,则关于x的方程x+2ax+b=0有实数根的

概率为________.

知识点四:随机抽样

例1. .(2012·山西四校联考)调查某高中1 000名学生的身高情况,得下表.已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏低男生的概率为0.15.

(1)求x的值; (2)若用分层抽样方法,从这批学生中随机抽取50名,问应在偏高学生中抽多少?

(3)已知y≥193,z≥193,求偏高学生中男生不少于女生的概率.

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知识点五:用样本估计总体

[例1] (2012·广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的

频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值;

(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩

相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

练1.在某次综合素质测试中,共设有40个考室,每个考室30名考生.在考试结束后,为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性,抽取每个考室中座 7

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位号为05的考生,统计了他们的成绩,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在这个调查采样中,用到的是什么抽样方法?

(2)试估计这40个考生成绩的众数、中位数、平均数。

(3)若从成绩在[60,70)的考生中任抽取2人,求成绩在[65,70)的考生至少有一人的概率.

高考真题再现

1.(四川.2013)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,?,24这24个整数中等可能随机产生.

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P(2,3); ii=1,

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

乙的频数统计表(部分) 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)

的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

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2.[2013·福建卷] 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图1-4所示的频率分布直方图.

图1-

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(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

3.[2013·江西卷] 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图1-6)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.

(1)写出数量积X的所有可能取值;

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. .

图1-6

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4.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(Ⅰ)将T表示为x的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.

5.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:

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(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2,估计x1?x2的值.

6.为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:

表1:男生上网时间与频数分布表

(Ⅰ)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数; (Ⅱ)完成表3的2?2列联表,并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”?

(Ⅲ)从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5

的样本,再从中任取两人,求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.

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附:k?,其中n?a?b?c?d

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

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