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26.1 二次函数及其图象(第3课时)

发布时间:2014-01-03 13:43:39  

26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
第1课时

二次函数y=ax2的图象与性质
y=ax2 y 图象 开口方向 x 0 开口向上 a>0 a<0 y
0

x

开口大小 对称轴 顶点

开口向下 a的绝对值越大,开口越小 y轴 顶点是原点(0,0)

a的正负决定抛物线的什么? IaI的大小决定 什么的?

例1. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1 和y=x2 -1的图象 解:先列表
x … -3 -2 y=x2+1 … 10 5 y=x2-1 … 8 3 -1 2
0

0 1
-1
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2
0
y

2 3 … 5 10 …
3 8 …

y=x2+1 y=x2-1

然后描点,连线, 得到 y=x2+1, y=x2-1的图像.

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

抛物线y=x2+1:

开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2-1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, -1).

(1) 抛物线 2+1,y=x2-1 y=x 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?

10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1

y

y=x2+1

y=x2-1
x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 ●

(2)抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2的异同点:
相同点: ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同
10 9 y=x2 8 7 6 5 4 3 y=x2-1 2 ● 1 o -5 -4 -3 -2 -1 ● 1 2 3 4 5 x ●
y

y=x2+1

不同点: 顶点的位置不同, 抛物线的位置也不 同. 向上平移 2 抛物线y=x 1个单位 抛物线 y=x2+1 2 向下平移 抛物线 y=x2-1 抛物线y=x 1个单位

2+c有如下特点: 一般地,抛物线y=ax
y

(1)对称轴是y轴;
(2)顶点是(0,c).

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

(3)抛物线的开口方向由a的符号决定

1 2 抛物线y=- 2 x 向下平移5个单位后,所得 1 y=- 2 x2-5 ,再向上平移7个单位 抛物线为 1 2 后,所得抛物线为 y=- 2 x +2 .

二、在同一坐标系中画二次函数的图象:

1 2 (1) y ? ? x 2 1 2 (2) y ? ? ( x ? 1) 2 1 2 (3) y ? ? ( x ? 1) 2

三、观察三条抛物线:

y

2 (1)开口方向是什么? 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 开口都向下 -2 -3 -4 ? ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ? ? (x ?1 y ? ? ( x ? 1) -6 2 2 -7 -8

三、观察三条抛物线:

y

2 (2)开口大小有没有 1 变化? -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 -4 ? ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ? ? ( x ? 1) -6 y ? ? ( x ? 1) 2 2 -7 2 -8

三、观察三条抛物线:

y

2 (3)对称轴是什么? 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 直线x=-1 -2 -3 y轴 -4 ? ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ? ? ( x ? 1) -6 y ? ? ( x ? 1) 2 直线x=1 2 -7 2 -8

三、观察三条抛物线:

y

2 (4)顶点各是什么? 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 (-1,0) (0,0) (1,0) -4 ? ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 y ? ? ( x ? 1) -6 y ? ? ( x ? 1) 2 2 -7 2 -8

关于三条抛物 线,你有什么看法?

y

2 1 左右平移得到 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 0 x -2 -3 -4 ? ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 2 y ? ? ( x ? 1) -6 y ? ? ( x ? 1) 2 -7 2 -8

用平移观点看函数: 抛物线 y ? a( x ? h) 可以看作是由 2 抛物线 y ? ax 平移得到。 y
2

(1)当h>0时,

向左平移 h 个单位; (2)当h<0时,向右平移 h 个单位。

o

x

二次函数

y ? a( x ? h)

2

的图象有如下特点

1. 对称轴为直线x=-h, 2.顶点为(-h,0)。 3.抛物线的开口方向由a的符号决定

1、二次函数 y ? ?( x ? 2) 是由二次函 2 数 y ? ? x 向 右 平移 2 个单位得到的。
2

2、二次函数 y ? 2( x ? 3) 是由二次函 2 数 y ? 2x 向左平移3个单位得到的。
2

归纳与小结
二次函数y = ax2+k的性质:
(1)开口方向:当a>0时,开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴: y轴 (3)顶点坐标: 顶点坐标是(0,k) (4)函数的增减性: 当a>0时, 对称轴左侧y随x增大而减小, 对称轴右侧y随x增大而增大; 当a<0时, 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小。

归纳与小结
二次函数y = a﹙x+h﹚2的性质:
(1)开口方向:当a>0时,开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴: 对称轴直线x=-h; (3)顶点坐标: 顶点坐标是(-h,0) (4)函数的增减性: 当a>0时, 对称轴左侧y随x增大而减小, 对称轴右侧y随x增大而增大; 当a<0时, 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小。

26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象
第2课时

例3
x y

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 画出二次函数 2

的图象.
2 …
-5.5 …



-4

-3

-2

-1

0

1

… -5.5 -3

-1.5 -1

-1.5 -3

开口方向 向下

对称轴是 x=-1
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

顶点坐标是(-1,-1)

观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象,思考这三条抛物线 有什么关系?

1 1 2 1 2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y ? ? x , y ? ? x ? 1, 2 2 2

形状相同, 开口方向相同. 顶点不同,
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

1 2 y?? x , 2
1 2 y ? ? x ? 1, 2

对称轴不同.

1 1 2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 抛物线y ? ? x 怎样移动就可以得到抛物线 2 2

1 1 2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 抛物线y ? ? x 怎样移动就可以得到抛物线 2 2 1 1 y ? ? x 2先向下平移1个单位,得到抛物线 y ? ? x 2 ? 1, 把抛物线 2 2

1 2 再向左平移1个单位,就得到抛物线 y ? ? ( x ? 1) ? 1. 2

1 2 y?? x , 2
1 y ? ? x 2 ? 1, 2

还有其他平 移方法吗?

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

抛物线

1 2 y? x 2

怎样移动就可以得到抛物线

1 y ? ( x ? 2) 2 ? 4 ? 2

1 y ? ( x ? 2) 2 ? 4 ? 怎样移动可以得到抛物线 2

相同 一般地,抛物线y ? a( x ? h) 2 ? k与y ? ax 2形状 _____ , 不同 位置 ____ 。把抛物线y ? ax 2向上(下)向左(右)
平移,可以得到抛物线y ? a( x ? h) 2 ? k。

h、 k 平移的方向、距离要根据_____的值来决定。

抛物线y ? a ( x ? h) 2 ? k有如下特点: (1)当a ? 0时,开口向上 ;当a

? 0,开口向下 ____ ___; x=-h (2)对称轴是直线 ____; (3)顶点坐标是 ______。 (-h,k)

二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 最值

y=a(x+h)2+k(a>0)

y=a(x+h)2+k(a<0)

?? h,k ?
直线x ? ?h
向上
当x ? ?h时, 最小值为k

?? h,k ?
直线x ? ?h
向下

当x ? ?h时,最大值为k

练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点:

( )y ? (x ? 3) ? 5;(2)y ? ?(x ? 1 ? 2; 1 2 3 )
2 2

开口向上 对称轴是x=-3 顶点是(-3,5)
2

开口向下 对称轴是x=1 顶点是(1,-2)
2

(3)y ? (x ? 3) ? 7;(4)y ? ?(x ? 2) ? 6. 4 5
开口向上 对称轴是x=3 顶点是(3,7) 开口向下 对称轴是x=-2 顶点是(-2,-6)


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