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一 不等式

发布时间:2014-01-03 13:43:50  

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. .
A a
B b b

B

a___b >

______>0 a-b

. .
A a

a___b <

a-b ______<0

思考
1.如果a=b,那么a- b___0。 = 2. 我们可以用什么方法比 较两个实数的大小?

比较法 (0是标杆)

例1 比较(x+1)(x+2)与(x-3)(x+6)得大小。

通过考察它们与0 的大小关系,得 出结论。

解:因为 (x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =(x2+3x+2)-(x2+3x-18)

=20 > 0
所以

(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

教学目标
知识与能力
1.熟练掌握不等式的基本性质和基本不 等式,并能够用它们解决简单问题。 2.理解基础不等式的几何和代数解释。

过程与方法
1.通过复习和回顾不等式的基本性质和基本不 等式,使学生对不等式认识进一步加深。
2.利用数形结合,掌握基本不等式在几何和代 数两方面的意义。

情感态度与价值观
1.通过解决实际问题, 使学生充分 认识不等式的重要性。 2.通过数形结合,使学生感受数学 的美。

教学重难点
重点
1.不等式的基本性质。 2.基本不等式及其应用。

难点
三个正数的算术-几何平均不 等式及其应用。

探究
等式有“等式两边同加(或减)一个数, 等式仍然成立”“等式两边同乘(或除以) 一个数,等式仍然成立”等基本性质。类比 等式的这些性质,不等式有哪些基本性呢?

类比思想

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

a>b

b<a ?

a>b,b>c ? a>c a>b ? a+c>b+c a>b,c>0 ? ac>bc a>b,c<0 ? ac<bc a>b>0 ?an>bn
n a>b>0 ? a ? n b ? n ? N , n ? 2 ?

思考

特别注意 “符号问 题”

观察不等式的基本性质, 并与不等式的基本性质比较, 你认为在研究不等式时,需要 特别注意什么问题?

例2

已知a>b>0,c>d>0 ,
求证
a > d b c

a b 关键是证明 b > c

即证明

1 1 > d c

证 明

性质4

1 因为c>d>0, 所以cd>0,c-d>0, > 0 cd
1 1 c-d 1 1 - = > 0 ,因此 > > 0 于是 d c cd d c a a 由a>0 ,得 > > 0 d c

性质4

性质2

1 a b > 0 ,得 > > 0 由a>b>0, c c c 故 a > b > 0 ,即 a > b
d c

d

c

性质6

练 习
求证如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立。

证 明

很重要的定理

因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b 时等号成立,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立。

探究

你能从几何的角度解释上述定理吗?





如图,S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2, S 矩形BCGH+S锯形JCDI=2ab. 有图形可知,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等 号成立。
b I A K a B J a C b D G

即矩形BCGH和矩形JCDI成 F 为两个正方形时等号成立。
b
E

重要不等式

恒等变形

基本不等式

a?b ? ab, 2 当且仅当a ? b时,等号成立。 若a,b ? 0, 则

探究
观察下图,如果AD=a,BD=b,OC是 斜边AB的中线,你能给出基本不等式的 几何意义吗?
C

A

O

D

B

分 析
1 1 在图中,CD⊥AB,AO=OB,于是O

C= 2 AB= (a+b), 2

因为∠DCA+ ∠A=90o, ∠B+∠A=90o
所以∠DCA= ∠B. 于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
AD CD 从而 CD = BD ,

a CD = 即 CD a

所以CD=

ab

当a≠b时,在Rt△OCD中,斜边CO大于 直角边CD,即 a + b = ab
2

当a=b时,在Rt△ABC斜边AB的中线CO和高 CD重合,即 a + b = ab
2

综上所述可知,基本不等式的几何意 义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜 边上的高。(即半弦长小于等于半径)
a+b 为a,b的算术平均数, 2 ab为a,b的几何平均数.

例3 求证:

(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短。
提示

基本不等式涉及两个正数的和 与积之间的数量关系,所以可以考虑 利用基本不等式进行证明。

证 明
设矩形的长为x,宽为y。

根据基本不等式

(1)设矩形周长为定值L,即2x+2y=L。
L 由于 ? 4 xy ,
2

L 可得:xy≤ ,当且仅当x=y时,等号成立. 16
即当且仅当矩形是正方形时,面积 L2 xy取得最大值
16

(2)设矩形面积为定值S,即xy=S为定值。

2(x+y)≥4 xy =4 ,当且仅 s 当x=y时,等号成立。
即当且仅当矩形是正方形时, 周长2(x+y)取最小值4 s

基本 不等式

简称:一 “正”, 二“定”, 三“相等”

对两个正实数x,y,如果它们的和S是 定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取 得最大值;如果它们的积P是定值,则当 且仅当x=y时,它们的和S取得最小值。

很重要!

思考
某居民小区要建 一座八边形的休闲场所, D

H Q

G

P

C B

它的主体造型平面图(如图) A 是由两个相同的矩形ABCD和 EFGH构成的面积为200平方米

M

N

E F 的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造 价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴 影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再 在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为每 平方米80元。

求: (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立 S关于x的函数关系式; (2)当x为何值时,S最小?并求出这个最小值。

提示

该问题属于利用基本不 等式解决最值问题。

解:
(1)

200 - x 2 设DQ=y米,则x2+4xy=200,从而y= 4x
于是S=4200x2+210×4xy+80×2y2
200 - x +80×2 ? 200 - x ? ? ? 4x ? 4x ? 2+ 400000 =38000+4000x x2
2
2 2

=4200x2+210×4x

根据基本不等 式得

400000 4000x2+ ≥2 x2

(2)

400000 =80000, 4000x ? 2 x
2

所以S ≥38000+80000=118000, 400000 2= 当且仅当4000x x2 即x= 10 ≈3.16时,等号成立。 由上可知,当AD约为3.16米时,休 闲场所总造价S取最小值118000元。

反思
利用基本不等式解决极值问题, 要先写出函数的解析式,然后判断是 否可以借助于基本不等式去解决。

思考
基本不等式给出了两个正数 的算术平均数与几何平均数的关 系,这个不等式能否推

广呢?例 如,对于3个正数,会有怎样的 不等式成立?

如果a , b, c ? R? , a?b?c 3 ? abc , 3 当且仅当a ? b ? c时,等号成立。 那么





证 明
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

由于a3+b3+c3-3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2-3ab2-3abc

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)

=(a+b+c)? (a+b)2-(a+b)c+c2 ?-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) =(a+b+c) ? (a-b)2-(b-c)2+(c-a)2 ?≥0

所以a3+b3+c3 ≥3abc,当且仅当a=b=c时,
等号成立。

a+b+c 3 如果a,b,c?R+,那么 ? a+b+c , 3

当且仅当a=b=c时,等号成立。

推 广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数不小于它们的几何平均数, 即:a1 + a2 + ... + an ? n a a ...a 1 2 n n 当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。

例4 已知x,y,z? R+,求证(x+y+z)3≥27xyz

提示

本题涉及三个实数的和积, 可以考虑基本不等式的推广。

证 明

x? y?z 3 因为 ? xyz ? 0, 3

?x + y + z? 所以
27
3

3

? xyz

即:x ? y ? z ? ? 27 xyz ?

探究
在表面积一定的长方体中, 以正方体的体积最大吗?
应该 是……

猜想

证 明
设长方体的三条相交于同一顶点的棱 的长分别为x,y,z,则长方体的体积为V=xyz, 由于A=2xy+2yz+2zx≥6 这里A为定值,即A≥6 从而V=
3

3

? xyz ?

2

3

v2

即x=y=z时,等号成立。

? A ? ,当且仅当xy=yz=zx ?6? ? ?

所以,当长方体是正方体时,体积 取得最大值,最大值是 ? A ? ? ?
3

?6?

课堂小结
1.不等式的基本性质。 (1) (2) (3) (4) a>b ? b<a a>b,b>c ? a>c a>b ? a+c>b+c a>b,c>0 a>b,c<0 a>b>0 a>b>0
? ac>bc

?ac<bc
? n a
n ?a ?

(5)
(6)

? bn
n

b ? n ? N , n ? 2?

2. 基本不等式及其应用。

a?b ? ab , 2 当且仅当a ? b时,等号成立。 若a, b ? 0, 则

3.基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数不小于它们的几何平均数, 即:a1 ? a2 ? ... ? an ? n a1a2 ...an 当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。
n

随堂练习
1 1.已知0<x< ,求函数y=x(1-2x)的最大值. 2

1 解:由于0<x< ,故1-2x>0, 2

根据基本不等式可得:2x(1-x)≤

当且仅当x=

时,等号成立。 4 1 由上可知,y的最大值是 8

2 1 即:y= 2x(1-2x) ≤ 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? ? 1 ? ? 2 2? 2 ? 8 1

? 2x ? 1 ? 2x ? ? ? 2 ? ?

2

2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M 与N的大小关系。 解:M-N =(2x+3)(x-4)- (x-7)(x+3)-8 =x2-x-1 当M-N>0,即x2-x-1>0时,M>N,
1? 5 1? 5 x? 或x ? ; 2 2

解得 当M-N<0,即x2-x-1<0时,M<N,
1 解得: ? 5 ? x ? 1 ? 5 2 2

1? 5 1? 5 由上可知,当 x? 或x? 时,M大于N; 2 2



1? 5 1? 5 ? x? 2 2 时,M小于N。

习题答案
习题1.1(第9页) 1.(1)假命题 (2)假命题

(3)假命题

(4)真命题

2.因为(x + 1) + 2) - (x - 3)(x + 6) (x = (x2 + 3x + 2) - (x 2 + 3x -18) = 2

0 > 0 所以 x + 1) + 2) > (x - 3)(x + 6) ( (x

1 1 1 3. 1)因为a > b, ( > 0, 所以a ? > b? , ab ab ab 1 1 1 1 即 > ,即 > . b a a b (2)因为a > b,c < 0, 所以ac < bc,因为c < d,b > 0 所以bc < bd,ac < bd

4.不能得出,举反例如下: - 2 > -3,-1 > -4, 但是(-2)(-1) < (-3)(-4)


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