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你能证明它们吗 1.2.3.

发布时间:2014-01-03 14:45:33  

1.1你能证明它们吗(1)

导语:

等腰三角形是一种特殊的三角形,它有什么特殊性质呢?

学习目标:

1、理解并掌握“等边对等角”定理,能够运用“等边对等角”定理解决实际问题;

2、理解并掌握“三线合一”定理,能够运用“三线合一”定理解决实际问题;

重点:“等边对等角”的探究过程。

难点:“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用。

学习过程:

一.探索与发现:

1.想一想:

重合图形的边是什么关系?

2、剪一剪:

如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它打开,得到的三角形

ABC

3.想一想:

上面剪出的等腰ΔABC是轴对称图形吗?图形中重合的线段和重合的角分别是哪些?

4.总一总:

上述过程中,剪过的两边是相等的,即AB=AC。

像这样有_______ 的三角形,叫等腰三角形。

相等的两边叫____,如图中的边___和____,另一边叫____,如边____,

两腰所夹的角叫______,如_____,

底边与腰所夹的角叫_____,如____ 和 _____.

5.猜一猜:

等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?

6.新发现!

等腰三角形的性质:

性质1 _________________________可以简写成______________.

性质2 __________________________________________________.(“三线合一”。)

1

7验证一下吧!

如图:在ΔABC中,AB=AC,

作底边BC的中线AD,( 即:BD=CD )

在如图

A 和ΔACD中

AB=_____

BD=_____

AD=_____

∴_____≌_______(_____) C B ∴ ∠B=∠C, D

∴∠ADB=∠ADC , ∠ADB=∠ADC=90°

∴AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD

8.试一试:

如果把作中线改为:(1)作底边的高线可以吗?(2)作顶角的平分线呢?

自己证明(相信你一定行),写在练习本上

9.再熟悉一下 文字语言与符号语言的转化:

如图 , 在等腰ΔABC中,AB=AC,

(1)等腰三角形的两个底角相等。

∵ AB = AC,

∴∠B = ∠C

(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一) ① ∵AB=AC,BD=CD(已知)

∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC(三线合一)

②∵AB=AC,∠BAD=∠CAD (已知)

∴ BD=CD ,AD⊥BC(三线合一)

③∵AB=AC, AD⊥BC (已知)

∴ BD=CD ,∠BAD=∠CAD (三线合一)

二、 .回顾,思考与交流:

a) 等腰三角形的定义是什么?

b) 等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.

c) 等腰三角形中,若出现“三线”中的一线,应该会想到什么?

(根据垂直可以得出角平分线,中线;等等)

d) 等腰三角形中,“三线”都未出现,为解决问题,该怎么做?

e) 等腰三角形除了等腰三角形的性质,你还能总结出什么样的结论?

(两腰上的中线相等,两腰上的高线相等,两底角的平分线相等,你能证明吗?)

三.解题理解

2 D B C

例题

例1.(1)在ΔABC中AB=AC, ∠B=80°,∠C=____.

(2)在ΔABC中,AB=AC,∠A=50°则∠B=____,∠C=____.

例2 在ΔABC中,AB=AC,周长为30,AB=12,则BC= 。

例3、如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数。

例4、如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于E.求证:AE⊥BC.

例5证明:等腰三角形两底角的平分线相等。

已知:如图,在△ABC中,AB = AC,BD,CE是△ABC的角平分线。

求证:BD = CE。

3 AED

例6证明:等腰三角形两腰上的高相等。

已知:如图,在△ABC中,AB = AC,BE,CD是等腰三角形△ABC两条腰上B的高。

求证:CD = BE。

例7证明:等腰三角形两底角的平分线相等 AECA

DE

已知:如图,在△ABC中,AB = AC,BD,CE是等腰三角形△ABC两底角的平分线 求证:BD = CE。

四、错例分析:

等腰ΔABC中,两边的长为4和9,求它的周长。

小明的解法: 周长为4+4+9=17

小红的解法 周长为4+9+9=22

他们的解法对吗?如果有错,错在哪里?

练一练:

4

(1)等腰三角形的一边长为4,另一边为2,则周长是____.

(2)等腰三角形的两边长分别为3和5,则周长是_____.

A

五.巩固训练:

(一) 基础强化 E1、等腰三角形的一内角是40°,则其他两角的度数分别是

D2、等腰三角形顶角的外角是138°,它的一个底角是

3、已知一等腰三角形两边为2,4,则它的周长为

4、等腰三角形中,和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 B5、线段AB = 4cm,M是AB垂直平分线上一点,MA = 4cm,则∠MAB =

6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高为

7等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成6cm和9cm两部分,则等腰三角形的底边长是

(二)能力突破

1.如图,在△ABC中BC=AC,CD⊥AB,DE∥BC,

试说明△ADE和△CED都是等腰三角形。 C

E E

C D

A BD

A 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,DE⊥AB于E, DF⊥ AC于F。求证:DE=DF

C

3如图:△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE。 求证:AH=2BD

5

4.如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD=BE,AE=DE,求∠A 的度数。

(三)拓展提升

5.已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,若AD=AB,∠CAD=36°,求∠DBC的度数。

1.1你能证明它们吗(2)———等腰三角形的判定

学习目标

1. 等腰三角形的判定定理的证明。

2. 等腰三角形的判定定理的应用。

3. 重点:等腰三角形的判定定理的应用。

难点:逻辑推理

一.导入

上节课我们学习了等腰三角形的哪些性质?

1、 等腰三角形是怎样定义的?

有 相等的三角形,叫做等腰三角形。

2、等腰三角形有哪些性质?

①等腰三角形是 对称图形。

②等腰三角形的 相等(简写成“等边对等角”) 。

6 ABECD

③等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的高重合(也称为“三线合一”).

3、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。

如果 ,那么 .

二.合作探究:

上面命题的逆命题是:

如果 ,那么 。

这个命题也是真命题,请继续探究

已知:如图,在ΔABC中 , 若 ∠B =∠C

求证:AB=AC

证明: 作AD⊥BC

∵AD⊥BC

∴_____=_____=90o

在RtΔABD和RtΔACD中

____=_____

____=_____

____=_____

∴_____≌______ (_____)

∴AB=AC,

新发现!

等腰三角形的判定方法 :

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的 也相等。 (简写成 )

用符号语言表示为:

在△ABC中, ∵∠B=∠C ( )

∴ AC=AB( )

三、练习巩固

1.在△ABC中, 已知∠A=50°,∠B=65°判断△ABC是什么三角形,为什么?

2.如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,

则∠1= __,∠2= __, 图中的等腰三角形有

3、如图,AB∥CD, ∠1=∠2,求证:AB=AC.

C

4、已知:如图,AD ∥BC,BD平分∠ABC。求证:AB=AD

B C

5、如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB。

求证:OC=OD。

6、如果三角形一个外角平分线平行于三角形的第三边,那么这个三角形是等腰三角形吗?为什么?

写出已知.求证并证明

四.反馈小结:

1、 这节课我们学习了什么知识?

2、 说一说你还有什么疑惑?

五.双基检测

1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后(如图(4)所示),你得到的三角形还是等腰三角形吗?为什么?

3、 如图(5),∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1、∠2的度数, ?并说明图中有哪些等腰三角形.

8

3、如图(6),把一张矩形的纸沿对角线折叠.重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?

2

4、如图(7),AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,求证:OC=OD.

5.如图,在△ABC中,∠ACB、∠CAB的平分线交于点F,过点F作DE∥AB,分别交BC,BA于D、E,试说明:DE=CD+AE

1.1你能证明它们吗(3)———等边三角形 学习目标:1.掌握等边三角形的概念,性质及判定.

2.会根据等边三角形的性质及判定解决问题. 重 点 :等边三角形的性质和判定

难 点 :灵活运用等边三角形的性质及判定. 一. 忆一忆

等腰三角形的定义: (1)在△ABC中AB=AC

(2)等边对等角:在△ABC中∵AB=AC ∴∠B = ∠C (3)等角对等边:在△ABC中∵∠B = ∠C ∴ AB=AC (4)三线合一: 想一想:

1.等边三角形是等腰三角形吗? 2.它有什么性质?

3.如何判定一个三角形是等边三角形? 二.学一学:

9

图(6)

C

AB

图(7)

B

DF

EC

A

1.等边三角形的概念:三条边都相等的三角形是等边三角形。

小学时我们学过:等边三角形的内角都相等,你知道为什么吗?

证明:等边三角形的内角都相等。

已知:在△ABC中,AB=AC=BC

求证: ∠A= ∠B= ∠C

证明:在△ABC中

∵AB=AC

∴∠B=∠C (为什么? )

同理 ∠A=∠C

∴∠A=∠B=∠C C

又∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °

结论:等边三角形的内角都相等,且等于60°。

2.等边三角形的性质

1)等边三角形是特殊的等腰三角形,它的三个边都______,三个内角都相等且每一个内角等于_____。

2)等边三角形它是_______图形,有____条对称轴,它的任意角的平分线垂直、平分对边。

A

三.悟一悟

1.已知: △ABC中, AB=AC,并且有一个角为60 °

求证: △ABC是等边三角形

证明:在△ABC中 C

∵ AB=AC. ∴ ∠B= ______

(1)当顶角∠A=60 °时,∠B= ∠C= 60 °∴∠A= ∠B= ∠C=60 °

∴AB=BC=AC ∴ △ABC是等边三角形.

(2)当底角∠B= 60°时,_____=60 °, ∠A=180 —(60°+60 °)=60. °

∴ ∠A= ∠B=∠C=60 °

∴ AB=BC=AC ∴ △ABC是等边三角形.

3.等边三角形的判定方法:

1)三边_______的三角形是等边三角形.

2)三个内角_______ 的三角形是等边三角形.(你知道为什么吗?)

3)有一个内角等于______的______三角形是等边三角形.

符号语言:

在△ABC中 (1)∵AB = AC = BC

∴△ABC是等边三角形

(2)∵∠A =∠B =∠C

10 B C D 图(1)

∴△ABC是等边三角形

(3)∵AB = AC,∠B = 60° 或 ∵AB = AC,∠A = 60°

∴△ABC是等边三角形 ∴△ABC是等边三角形

四.做一做:三、自主探究 合作展示 探究(一) 1、 如图(1),将两个含有30°角的三角形放在一起,你能借助这个图形, 找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?

2、 你能用所学的知识验证以上结论吗?

方法1:

如图(2),△ABC是等边三角形,AD⊥BC于D,∠BAD= °,BD= BC= AB。

方法2:

如图(3),△ABC中,延长BC到D使BD=AB,连接AD,则△ABD是 三角形,

BC=

A

D

图(2)

C

11

= 。 22

C 图(3)

3.由此可得直角三角形的性质定理:

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

D

1

∵∠ACB=90 °,∠A= 30°∴ BC= AB

2

五.练一练

1、在Rt△ABC中, ∠B=2∠A,AB=6cm,则BC=________.

2、Rt△ABC中, ∠A= 30°,AB+BC=12cm,则AB= _______. 3、如图, Rt△ABC中, ∠A= 30°,BD平分∠ABC, 且BD=16cm,则CD= . 。AD=____

4、在△ABC中∠ACB= 90°,BA的垂直平分线交边CB于D。若AB=10,AC=5,则30°角的个数有 个

六.巩固一下 1.如图,∠BAC=120°,AB=AC,AB=14,则AD = 。

11

2.如图,在Rt?ABC中,∠B = 30°,BD = AD,BD = 12

求DC的长。

A

3等腰三角形的底角为15?,腰长为2a,求腰上的高。

如图,在?ABC中,已知AB = AC =2a,∠ABC =∠ACB = 15°,

CD是腰AB上的高,求CD的长。 BDCDBC

4.已知:?ABC中,?ACB?90?,CD?AB,?A?30?,AB = 40,

求DB的长。

5、如图,在△ABC中, AB=AC,∠BAC= 120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F。 12 B

6、如图,在△ABC中, ∠ACB= 90°,∠B= 15°,AB

求证:

DB=2AC

7、课外活动小组在一次测量活动中,测得∠APB

=60°AP=BP=

200cm,

他们便得到了一个结论:池塘最长处不小于200cm.他们的结论对吗?

8、如图:O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,求∠BOC的度数。

C B

9、如图:等边三角形ABC,AD为中线,AD=AE,求∠EDC的度数

D

A

10、如图:△ABC中,AB=AC=2,∠B=15°,求腰上的高的长。 C

13 求证:BF=2CF。

都是等边三角形,求证AE=CD。

14 D C 11、如图:已知△ABC和△BDE

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