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《图形认识初步》知识点串讲及考点透视

发布时间:2014-01-03 16:43:22  

图形认识初步

一、目标要求

1,经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动,进一步发展空间概念;能从生活周围熟悉的物体入手,加深对物体的形状的认识,并从感性逐步上升到抽象的几何图形,并通过从不同方向看立体图形和展开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系,在此基础上进一步认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.

2,进一步认识角,以及角的表示方法,角的度量,角的画法.角的比较,补角和余角等内容.会进行线段或角的比较,能估计一个角的大小,会进行角的单位的简单换算.

3,从实物出发,感受到图形世界的无处不在,引起学习的兴趣.能区分直线、射线、线段的概念,并体会它们的一些性质,结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念. 4,能借助三角尺、量角器、方格纸等工具,会画角、线段、垂线,能进行简单的图案设计,并能了解直线、线段等有关性质;积累操作活动经验,发展有条理的思考与表达,经历在操作活动中探索图形性质的过程丰富数学学习的成功体验.

二、知识网络

本章内容都是研究的简单的基本图形,是以后学习的重要基础,其中如何结合立体图形与平面图形的互相转化的学习,来发展空间观念以及一些重要的概念、性质等是本章的重点;建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一,能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念的重要方面,更有利于创新能力的培养.

(二)疑点和易错点

这一章内容的概念比较多,概念之间的联系又比较密切,因此,如何从具体事物中抽象出几何图形,把握几何图形的本质特征,区分一些相近的概念,对图形的表示方法以及对几何语言的认识与运用,都复习的疑点和易错点.具体地说:

1,通常画一个立体图形要分别从正面看、从左面看、从上面看.如从不同方向看图2就

可得到图3中的三个图形.同样由图3的三个图形也可以画出图2.如果不能认真的观察分析立体图形的特征,就不能正确画出相应的平面图形.

2 图3

2,在研究直线、线段、射线的有关概念时,容易出现延长直线或延长射线之类的错误,在用两个大写字母表示射线时,忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点.

3,直线有这样一个重要性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.即两点确定一条直线.线段有这样一条重要性质:两点的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短.这两个性质是研究几何图形的基础,复习时应抓住性质中的关键性字眼,不能出现似是而非的错误.

4,注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点;而连结两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.这里应特别注意线段与距离的区别是,即距离是线段的长度,是一个量;线段则是一种图形,它们之间是不能等同的.

5,在复习角的概念时,应注意理解两种方式来描述,即一种是从一些实际问题中抽象地概括出来,即有公共端点的两条射线组成的图形,叫做角;另一种是用旋转的观点来定义,即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.角的两种定义都告诉我们这样一些事实:(1)角有两个特征:一是角有两条射线,二是角的两条射线必须有公共端点,两者缺一不可;(2)由于射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边的长短无关;(3)当角的大小一旦确定,它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍.另外对角的表示方法中,当用三个大写字母来表示时,顶点的字母必须写在中间,在角的两边上各取一点,将表示这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁,两旁的字母不分前后.

6,在研究互为余角和互为补角时,容易混淆这两个概念.常常误认为互为余角的两个角的和等于180°,互为补角的两个角的和等于90°.

三、思想方法

复习《图形认识初步》这部分内容除了要注意基础知识的巩固和典型习题的训练,还要注意数学思想方法的训练与运用.具体地说:

一、分类思想. 在过平面上若干点可以画多少条直线,应注意这些点的分情况讨论;或在画其它的图形时,应注意图形的各种可能性.

例1 两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是( )

A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3

二、方程思想.在处理有关角的大小,线段大小的计算时常需要通过列方程来解决. 例2 如果一个角的补角是150°,求这个角的余角.

三、图形变换思想.在研究角的概念时要充分体会对射线旋转的认识,在处理图形时应注意转化思想的运用,如立体图形与平面图形的互相转化的学习.

例3 请画出正六棱柱表面展开图.

分析 要将一个立体图形转化为平面图形,只要按照立体图形的折叠原理即可求解.

四、化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式n?n?1?

2的具体运用上来.

例4 若点C、D、E、F是线段AB上的四个点.则这个图形中共有多少条线段?

分析 已知线段上除了端点外,还有4个点,即这条线段共有6个点,这样要求这个图形中共有多少条线段,则由代数式n?n?1?

2即求.

.四、考点解密

(所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷)

考点1 从不同方向看立体图形

例5(河北省)图1中几何体的主视图是如图7所示中的( )

正面 A. B. C. D.

图7 图6 分析 主视图是从下面看的,由于图6中的图形是由两个部分组成的,上面是一个球,

球的下面是一个长方体,这样问题就简单了.

解 因为要画出的是从正面看到的主视图,而已知的立体图形是由两个部分组成的,上面是一个球,球的下面是一个长方体,所以我们从正面看到的上面是一个圆,下面是一个长方形.

又因为原立体图形中上面的球是放在中间的,所以正确的平面图形应该是C.故应选C. 说明 要画出从不同方向看到的平面图形,通常画出分别从正面看、从左面看、从上面看一个立体图形的平面图形.

考点2 立体图形的侧面展开图

例2(嘉兴市)如图8所示的图形中,不能经过折叠围成正方体的是( ) ..

A B

C

D

图8

分析

观察这四个平面图形,

A、C、D能围成一个正方体,只有B不能围成正方体. 解 应选B.

说明 判断一个图形能否围成正方体,关键是要看这个平面图形是否是某一个正方体的侧面展开图,如果是,即能围成一个正方体,否则就不是.另外,一个立体图形可以有不同

的平面展开图.也就是说,同一个立体图形,按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的.反之,一些平面图形也可以围成立体图形,就是说,平面图形可以围成立体图形.但要注意,并不是所有的平面图形都能够围成多面体.

考点3 确定平面图形的个数

例3(绍兴市)若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则如图9中以BC为公共边的“共边三角形”有( )

A.2对 B.3对 C.4对 D.6对

分析 要知道有多少“共边三角形”,只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即可.

解 结合图形,满足题意的三角形是:△ABC与△DBC,△DBC与△EBC,△EBC与△ABC,共3对.故应选B.

说明 求解本题一定要注意抓住以BC为公共边的“共边三角形”,不能忽视关键性的字眼. P S

R Q 图9 图10 考点4 图形角度大小的计算

例4(大连市)如图10,∠PQR等于138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ.则∠SQT等于( )

A.42° B.64° C.48° D.24°

分析 要求∠SQT的大小,由于SQ⊥QR,QT⊥PQ,可知∠PQS=∠RQT,进而即可求得.

解 因为SQ⊥QR,QT⊥PQ,所以∠PQS+∠SQT=∠SQT+∠RQT=90°,即∠PQS=∠RQT,又∠PQS+∠SQT +∠RQT=138°,所以∠PQS=∠RQT=48°,所以∠SQT=138°-2×48°=42°.故应选A.

说明 在进行图形的有关计算时,除了要能灵活运用所学的知识外,还要能从图形中捕捉求解的信息.

考点5 互为余角与互为补角

例5(内江市)一个角的余角比它的补角的1少20°.则这个角为( ) 2

A.30° B.40° C.60° D.75°

分析 若设这个角为x,则这个角的余角是90°-x,补角是180°-x,于是构造出方程即可求解.

解 设这个角为x,则这个角的余角是90°-x,补角是180°-x. 则根据题意,得1(180°-x)-(90°-x)=20°.解得:x=40°.故应选B. 2

说明 处理有关互为余角与互为补角的问题,除了要弄清楚它们的概念,通常情况下不要引进未知数,构造方程求解.

考点6 平面图形的操作问题

例6(旅顺口区)如图11,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,最后将正方形纸片展开,得到的图案是如图12所示的( )

ABCD

图11 图

12

分析 要想知道展开后得到的图案是什么,可以依据题意,结合正方形的图形特征,发挥想象即可求解.

解 因为将正方形沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,就是说这个正方形上共有6个小圆,其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称,且1对圆在两个直角的顶点上,2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.

说明 这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时,充分发挥想象,并能大胆地归纳与推断.

考点7 平面图形的面积问题

例7(临安市)如图13,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( )

A.2 B.4 C.8 D.10

分析 要求图中阴影部分的面积,由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一,于是即求.

解 根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一,而正方形的面积是16,所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.

说明 本题的图形在操作过程中,虽然形状发生了改变,但是图形的面积却没有变化,抓住这一点问题就可以简洁求解.

a

b

图14 图13 图15

考点8 拼图问题

例8(烟台市)如图14,有三种卡片,其中边长为a的正方形卡片1张,边长分别为a,b的矩形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形,则这个正方形的边长为___.

分析 16张卡片,拼成一个正方形,而边长为a的正方形卡片1张,边长分别为a,b的矩形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张,由此可知正方形的每边上应有4张,而且这个正方形的边长应为a+3b.

解 因为边长为a的正方形卡片1张,边长分别为a,b的矩形卡片6张,边长为b的正方形卡片9张,而用这16张卡片拼成一个正方形,所以正方形的每边上应有4张,而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的,如图15就是其中的一种.

说明 这是一道结论开放型问题,只要符合题意且结论正确的都可以.

考点9 规律探索问题

例9(江西省)用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图16

第3个第1个第2个图16

(1)第4个图案中有白色纸片___张;

(2)第n个图案中有白色纸片___张.

分析 要解答这两个问题,只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可,由于第1个图案中有白色纸片1张,第2个图案中有白色纸片7张,第3个图案中有白色纸片10张,?,由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n + 1张,从而求解.

解 因为第1个图案中有白色纸片1张,第2个图案中有白色纸片7张,第3个图案中有白色纸片10张,?,所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是(1)当n=4时,3n+1=13;(2)3n + 1.

说明 这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点,同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证,才能正确地获解.

练习题:

1,(十堰市)观察如图17甲,从左侧正对长方体看到的结果是图乙中的( )

A B C D (图甲)

17 (图乙)

2,(衡阳市)如图18所示的图形中,不是正方体平面展开图的是( )

图18

3,(江阴市)如图19,把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪下,则右图展开得到的图形的面积为( )

沿虚线剪开 图

19

A.4 B.2 C.8 D.

4,(广东省)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图20是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的前面,则这个正方体的后面是 ( )

A.0 B.6 C.快 D.乐

22 图

21 图20 图23

5,(南通市)已知∠α=35°19′,则∠α的余角等于( )

A.144°41′ B.144°81′ C.54°41′ D.54°81

6,(枣庄市)如图21,B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°,则满足条件的点P的个数是( )

A.3个 B.2个 C.l个 D.不存在

7,(十堰市)如图22,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( )

A.22.5°角 B.30°角 C.45°角 D.60°角

8,(烟台市)一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时,把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图23形式,然后他把露出的表面都涂上不同的颜色,则被他涂上颜色部分的面积为( )

A.33分米2 B.24分米2 C.21分米2 D.42分米2

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