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九年级上期中复习

发布时间:2014-01-03 16:43:25  

二次根式专题

知识点1

a≥0)叫做二次根式. 1、 下列各式 ①-

m2?1 ②?8 ③x?1

④ ⑤π 是二次根式的是

2、x为怎么样的值时,下列各式在实数范围内有意义

x?1

知识点 2.最简二次根式

同时满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 1、下列式子中是最简的二次根式的是:

4

2①

y

2

a

.7

3⑥7

3

2、(1

是整数,求自然数n的值是

n的最小值是知识点3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 1

、若a

是同类二次根式,则

a?b?2

是同类二次根式,则x知识点4.二次根式的性质

2

=a(a≥0)

?0

(a0)?

?│a│=?a(a?0)

?0(a?0);

??

?a(a?0)1、化简x?1??x= ______. 2、若a<0

,化简a?3?______.

3、要使3?x?1

有意义,则x?1

x的取值范围是

4、若x,y为实数,

且x?2??0,则

(x?y)2010的值为___________.

5

?n?2,求n的取值范围知识点5.分母有理化及有理化因式

把分母中的根号化去,叫做分母有理化;

两个含有二次根式的代数式相乘,?若它们的积

不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化

因式.

1

、已知:a?2?

b?2ab

b?a

的值 2

、a?b?则a b 知识点6.二次根式的运算

(a≥0,b≥0);

?b≥0,a>0). 1

、?

、2

3

、 4、?(13?1)

一元二次方程

知识点1.一元二次方程的判断标准: (1)方程是整式方程

(2)只有一个未知数——(一元)

(3)未知数的最高次数是2——(二次) 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程

1、下面关于x的方程中:①ax2+bx+c=0;②3x2

-2x=1;③x+3=

1x

;④x2-y=0;④(x+1)2= x2

-1.一元二次方程的个数是 .

2、若方程kx2+x=3x2

+1是一元二次方程,则k的取值范围是_________.

3、若关于x的方程x

k2?2

?k?1x?5?0是一元二

2、用配方法解方程

次方程,则k的取值范围是_________.

|m|+1

4、若方程(m-1)x-2x=4是一元二次方程,则m=______.

知识点 2.一元二次方程一般形式及有关概念

一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,x2?2x?1?0 x2?4x?3?0

3、用公式法解方程

都能化成一元二次方程的一般形式

ax2?bx?c?0 (a?0),

ax2

是二次项,a为二次项系数,bx是一次项,b

为一次项系数,c为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1、将一元二次方程3x(x?1)?5(x?2)化成一般形式为_____________,其中二次项系数a=________,一次项系数b=__________,常数项c=__________ 知识点3.完全平方式

1、说明代数式2x2

?4x?1总大于x2

?2x?4

2

、已知a?

1a?求a?1

a

的值.

3、若x2

+mx+9是一个完全平方式,则m= ,

若x2+6x+m2

是一个完全平方式,则m的值是 。若4x2?kx?9是完全平方式,则k 知识点4.整体运算

1、已知x2+3x+5的值为11,则代数式3x2

+9x+12的值为

2、已知实数x满足x2?x?1?0则代数式3x2?3x?7的值为____________ 知识点5.方程的解

1、已知关于x的方程x2+3x+k2

=0的一个根是x=-1,则k=_ __.

2、求以x1??1,x2??3为两根的关于x的一元二次方程 。

知识点6.方程的解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法;⑤十字相乘法;⑵关键点:降次 1、直接开方解法方程

(x?6)2

?3?0 1

2

(x?3)2?2

2x2?7x?3?0 x2?x?1?0

4、用因式分解法解方程

3x(x?2)?2x?4 (2x?4)2?(x?5)2

5、用十字相乘法解方程

x2?x?90?0 2x2?x?10?0

知识点7.一元二次方程根的判别式:??b2

?4ac 1、 关于x的一元二次方程x2?(m?2)x?2m?1?0.

求证:方程有两个不相等的实数根

2、若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。

3、关于x的方程?m?1?x2

?2mx?m?0有实数根,

则m的取值范围是 知识点8.韦达定理

xbc2

1?x2??a,x1x2?a

(a≠0, Δ=b-4ac≥0)

使用的前提:(1)不是一般式的要先化成一般式;(2)定理成立的条件??0

1、 已知方程5x2

? mx?6=0的一个根为x=3,求它

的另一个根及m的值。

2、 已知2x2

?4x?3?0的两根是x1 ,x2 ,利用根于

系数的关系求下列各式的值

112x? x21?x2

(x1)(x2

1?2?1) (x1?x2) 1x2

3、已知关于x的一元二次方程x2

-(m+2)x+

14

m2

-2=0.(1)当m为何值时,这个方程有两个的实数根.(2)如果这个方程的两个实数根x2

2

1,x2满足x1+x2=18,求m的值.

知识点9.一元二次方程与实际问题 1、 病毒传播问题 2、 树干问题

3、 握手问题(单循环问题) 4、 贺卡问题(双循环问题) 5、 围栏问题

6、 几何图形(道路、做水箱) 7、 增长率、折旧、降价率问题

8、 利润问题(注意减少库存、让顾客受惠等字样) 9、 数字问题 10、折扣问题

旋转

知识点1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角. 旋转三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度

1、如图,D是等腰Rt△ABC内一点,BC是斜边,如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置,回答下列问题:(1)旋转中心为 ,旋转角度为 度(2)△AD D′的形状是 。

2、16:50的时候,时针和分针的夹角是 度

知识点2.旋转的性质:1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度;2、每一对对应点到旋转中心的距离相等;3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角;4、旋转只改变图形的位置,旋转前后的图形全等;

1、如图,?AOB?90°,?B?30°,△A?OB?可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转?角度得到的.若点A?在AB上。(1)求旋转角大小;

(2)判断OB与A?B?的位置关系,并说明理由。

B

AB? A O

2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15?

后得到△AB?C?,则图中阴影部分的面积

是多少?

B?

3、如图,在△ABC中, ?CAB?70?

. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB/

C/

的位置, 使得

CC///AB, 求?BAB/

的度数。

4、如图6,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E、

F分别在边AB和BC上,

?DCM是由?ADE 逆时针旋转得到的图形。

(1)旋转中心是点__________;

(2)旋转角是________度,?EDM=_________度; (2)若?EDF?45?,求证?EDF≌?MDF.并求此时?BEF的周长. 图

6

5、△ABC中,∠BAC=90°,P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合,AP=3.(1)求△APQ的面积;(2)判断BQ与CQ的位置关系,并说明理由。

6、如图,将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系?并证明你的结论.

7、如图,在Rt△ABC 中,AB?AC,D、E是斜边BC 上 两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90?后,得到△AFB,连接 EF,证明①△AED≌△AEF②BE2?DC2?DE2

8、如图(1),点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC. (1)求∠AEB的大小; (2)如图(2),ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.

知识点3.旋转对称:一

个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心。

1、如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以

由一个基本图形(图中的阴影部分)

绕中心O至少经过____________次旋转而得到, 每一次旋转_______度.

2、如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,问此正六边形绕正六边形的中心O旋转___ ___度能与自身重合。

3则旋转的角度可能是__

知识点4.中心对称和中心对称图形 1、如图,下列4个数字有( 心对称图形.

A.1 B.2 C.3 D.4

2.下列图形中不是中心对称图形的是( ) A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

知识点5.作图

1、网格旋转90°(注意旋转的方向),中心对称,关

于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标

2、找出旋转对称中心(两条对应线段垂直平分线的交

点),中心对称中心(两组对应点连线的交点)

1、已知A(-1,-1),B(-4,-3)C(-4,-1)(1)作△A1B1C1,使它与△ABC关于原点O中心对称;写出A1 ,B1, C1点坐标;

(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90o后得到△A3B3C3,画出△A3B3C3,并写出A3,B3,C3的坐标

2、如图,网格中有一个四边形和两个三角形.

(1)请你画出三个图形关于点O的中心对称图形; (2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形的对称轴有 条; 这个整体图形至少旋转 度与自身重合

知识点6.旋转割补法 如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90o,AB=AD,AE⊥BC于E,若线段AE=5,求S四边形ABCD(提示:将四边形ABCD割补为正方形) A

D

B

E

C

知识点7.关于原点对称

填空:⑴点A(-2,1)关于x轴的对称点为A′

( , );⑵点B(1,-3)与点B(1,3)关于 的对称。⑶C(-4,-2)关于y轴的对称点为C(′ , );⑷点D(5,0)关于原点的对称点为D′( , )。 圆 【考点1】和圆有关的概念 (1)等弦对等圆心角( ) (2)在同圆或等圆中,等弦对等圆心角( ) (3)等弧对等弦( ) (4)等弦对等弧( ) (5)等弧对等圆心角( ) (6)直径是圆的对称轴( ) 【考点2】垂径定理及其推论 如果一条直线满足 (1)过圆心 (2)垂直弦 (3) 平分弦 (4)平分弧(优弧和劣弧) (5)平分圆心角 知之其中两个条件可以推出三个 当选择过圆心和平分弦时,必须强调该弦不是直径。 (1)平分弦的直径垂直于弦. ( ) (2) 垂直于弦的直径平分弦. ( ) 1、如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.

2、如图,⊙O 中,OE⊥弦AB于E,OF⊥弦CD于F,OE=OF,(1)求证:AB=CD (2) 如果AB>CD,则OF

3.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以C为圆心,CA为半径画圆交AB于点D,求AD的长

【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系: (举一反三)在同圆和等圆中,等弧对等弦对等角(包括圆心角和圆周角) 1.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,

MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上. 求证:

?AM=?BN (连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等

弧)

A

B

2、如图15,AB、CD是⊙O的直径,DE、BF是弦,且DE=BF,求证:∠D=∠B。

F

图15

3.如图,⊙O中,AB为直径,弦CD交AB于P,且OP=PC,求证:AD⌒ =3CB⌒ 圆心角证弧)

4.AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(1)求证:CF?BF; (2)若AD?2,⊙O的半径为3,求BC的长.

【考点4】:直径所对的圆90°

1.已知△ABC中,AB=AC,AB为⊙O的直径,BC交⊙O于D,求证:点D为BC中点

【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补

1、如图,AB、AC与⊙O相切 于点B、C,∠A=40o,

点P是圆上异的一动点,则∠BPC的度数是

【考点6】外接圆与内切圆相关概念

三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点,它到 三个顶点 的距离相等;

三角形的内心是 三个内角平分线 的交点,它到 三边 的距离相等

1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______,外接圆半径是

2、如图,已知⊙O是Rt△ABC的内切圆,切点为D、E、F,∠C=90°,AC=3,BC=4,求该内切圆的半径。

3、如图,⊙O内切于△ABC,切点为D、E 、F,若∠B=50°, ∠C=60°,连接OE、OF、DE、DF,则∠EDF等于

【考点6】与圆有关的位置关系 画圆与圆位置关系的数轴 【考点7】切线的性质

切线性质定理:圆的切线垂直于 过切点 的半径 4、如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,求证:AC平分∠DAB。

【考点8】切线的证明(两种方法)

1、 已知圆上一点 “连半径,证垂直” 2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直,证半径”。 1、如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC于E,求证:DE是⊙O的切线。

2、如图,AB=AC,OB=OC,AB切⊙O于D, 证明⊙O与AC相切

【考点9】切线长定理

切线长相等,平分切线所成的夹角。

1、如图5,PA、PB是⊙O的切线,点A、B为切点,AC是⊙O的直径,?BAC?30?, (1)求?P的度数;

(2)若BC?2cm,求PB的长。

图5

3、如图,AB是⊙O的直径,BC是一条弦,连结OC并延长OC至P点,并使PC=BC,∠BOC = 60o (1)求证:PB是⊙O的切线。

(2)若⊙O的半径长为1,且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根,求b、c的值。

4、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O相切于点A、B,是点C劣弧AB上任一点,过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E 若PA=10,求△PDE的周长

5、如图(1)所示,直线y??

3

x?3与x轴相交于4

3、求半径为6的正六边形的中心角度数 .周长和面积。

点A,与y轴相交于点B,点C(m ,n)是第二象限

内任意一点,以点C为圆心的圆与x轴相切于点E,与直线AB相切于点F。所示,若⊙C与y轴相切于点D,求⊙C的半径r。

【考点10】正多边形的计算 1、 正n边形的每内角=

4已知⊙O1,⊙O2,⊙O3,尺规作图: (1)作出⊙O1的内接正三角形; (2)作出⊙O2的内接正四边形; (3)作出⊙O3的内接正六边形

(n?2)?180

n

3600

2、 正n边形的中心角=

n3600

3、 正n边形的外角=

n

4、 边心距r 、半径R、边长a之间的关系:

a

R2?r2?()2

2

5、 正n边形的周长C=na 6、 正n边形的面积S=nCr/2

1、如图,正五边形ABCDE的顶点都 在⊙O上,P是CD上一点,

则∠BPC=____________

2、如图,小明在操场上从点O出发,沿直线前进5米后向左转45,再沿直线前进5米后,又向左转

0?

450,……照这样走下去,他第一次回到出发地O点

时,一共走了___ __米。

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