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21.1二次根式(1)

发布时间:2014-01-04 12:42:38  

人教版九年级上册

学习

目标
1、二次根式的定义 2、二次根式有意义的条件

预习

探路

a (a ? 0) 的式子叫二次根式. 1、形如 其中“ ”叫 二次根号 .

2、成为二次根式的两个条件: (1)必须含有“ ”; (2)被开方数是 非负 数.

回忆
⑴什么叫做一个数的平方根?如何表示? 一般地,若一个数的平方等于a,则这 个数就叫做a的平方根。

a的平方根是 ? a
⑵什么是一个数的算术平方根?如何表示?

正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
0的算术平方根是0。 用

a

(a≥0)表示。

3、平方根的性质:

? 正数有两个平方根且互为相反数; ? 0的平方根是0;
? 在实数范围内,负数没有平方根。

复习 1、如果 x ? 4,那么 x ? ±2 ;
2

2、如果 x ? 3,那么 x ? ? 3 ;
2

3、如果 x ? a(a ? 0) ,
2

那么 x ? ? a 。

导入
1. 如图,直角三角形的斜边长为 a米
2 _____________米; a ? 2500

?米 50米

2.如图所示的值表示正方形的面 积,则正方形的边长是 b?3

b-3

3.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池, ? 它的半径为 2 m( 取3.14);

4 .关系式中

表示t,则t为

h ? 5t
h 5

,用含有h的式子 。

2

观察以上各式,它们有什么共同特点?

a ? 2500
2

b?3

2

h 5

表示一些正数的算术平方根.

形如 a (a ? 0) 的式子叫做二次根式.

a

被开方数 二次根号

归纳:
二次根式的定义: 一般地,形如 a (a ? 0) 的式子 叫二次根式。

小结归纳

1

请你凭着自己已有的知识,说
说对二次根式 的认识! a

?

形如 a (a ? 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根.
2.a可以是数,也可以是式,但是必须非 负.

3.形式上含有二次根号

.

4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.

下列式子,哪些是二次根式?

1 2,5, 2 , x ( x ? 0), 0, a ? b (a ? 0, b ? 0), 9,3. x
3

解:二次根式有:

2,x ( x ? 0), 0, a ? b (a ? 0, b ? 0), 9.
方法构想

二次根式满足的两个条件是: (1)有二次根号; (2)被开方数是非负数.

1.下列各式中,是二次根式的有几个?

?

(1)

32

(2)
(4) (6)

? 12 xy (x、y异号)
3

? (5) a ?

(3) m (m≥0)
2

?1

5

2、下列式子一定是二次根式的是( C )
A.

?x ? 2

B.

x

C.

x ?2
2

D.

x ?2
2

例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围:

(1) a ? 1
1 (2) 1 ? 2a

(3) ( a ? 3)

2

1 有意义? 当x取怎样的实数时, 2 x ? 3 ? x ?1
解:由题意得

方法构想

?2 x ? 3 ? 0 , ? ?x ?1 ? 0 3 解得 x ? ? ,且x ? ?1. 2

一个式子中含有几个二次根式时,字母取值 必须使所有的二次根式有意义;若含有分式,则 要求分母的值不等于0;若含有零指数或负指数 次幂,则要求其

底数不为0.

求下列二次根式中字母的取值范围:

?1? a ? 1 (a≥-1) 2 ?3? ?a ? 3? (a取任意实数)
方法构想

1 ?2? 1 ? 2a

1 (a ? ) 2

求二次根式中字母的取值范围的基本依据: ①被开方数不小于零; ②分母中有字母时,要保证分母不为零。

中考链接

1

(2009· 株洲)若使二次根式 x ? 2 在实数 范围内有意义,则x的取值范围是( A ) A.x≥2 B.x>2 C.x<2 D.x≤2

随堂练习

1、已知:a、b为实数,且满足

a ? b ?1 ? 1? b ?1
你能求出a值吗? 解:由题意得 b-1≥0 1-b≥0 b≥1 ∴ , b≤1 ∴b=1, ∴a=1.



2、已知
在第


1 ? 有意义,那么点 a
象限.

A(a, ? a )

? 1 ?? ? 0 , 解析:由题意得 ? a ?a ? 0 ?

∴a<0,

? ?a ? o


A(a, ? a )

在第二象限.

当堂测试

1、形如

a (a ? 0) 的式子叫二次根式.

2 、(2009年南宁)要使式子

围是( ) A.x≠1 C.x>1且x≠0

D

x ? 1 有意义,x的取值范 x

B. x≠ 0 D.x≥-1且x≠0

3、下列各式中,是二次根式的是( B ) A. B. 4 ?3 C.

?

D.

1 3

x 4、函数 y ? 中,自变量x的取值范围是 x ?1
x≥0且x ≠1 . 5、当x取何值时,下列各式在实数范围内有意义?

(1)
(2)

3x ? 2

2 (x ? ) 3

x ?1 ? 1? 2x

1 (?1 ? x ? ) 2

?4 (3) 2x ?1

1 (x ? ) 2

小结归纳 2 本节课我们主要学习了那些知识?

(1)二次根式的概念
(2)根号内字母的取值范围

形如 a (a ? 0)的式子叫做二次根式.
要使二次根式在实数范围内有意义,必 须满足被开方数是非负数.

独立 作业

教材P5:习题21.1

1,3,4,5。

1、 x取何值时,下列二次根式有意义?

(1) 2 x ? 4

x ? ?2
(3) x ? 1
2

(2) 1 ? 3x 1 x? 3
(4) x
3

x为全体实数

x?0

2、 当x取何值时,下列式子有意义?

2 (1) x?3

x ? ?3

(2)

1

( x ? 2) 2

x?2
x ? 1且x ? ?2

1 1 ?3? a? 1 ? 2a 2

1? x (4) 2? x

求二次根式中字母的取值范围的基本依据:

①被开方数 ? 0 ; ②分母中有字母时,要保证分母不为零。

3.要使下列式子有意义,x需要满足什么 条件?

(1) 3 ? x
1 (3) 2x ? 5

(2) x ? 3 ? 8 ? x (4) x ? 2 ? 2 ? x

(5) x 2 ? 2 x ? 1

1 1、已知 ? 有意义,那A(a, a

? a )在 二 象限.

∵由题意知a<0 ∴点A(-,+)

2 3 2、2+√3-x的最小值为__,此时x的值为__。

3.若 (a ? 5) 2 ? (2b ? 3) 2 =0,则 ab 2 =_____。
4.已知a.b为实数,且满足 a ? 2b ? 1 ? 1 ? 2b ? 1

,你能求出a及a+b 的值吗?

5.已知:a ? b ? 6与 a ? b ? 8互为相反数, 求:a, b的值。

(1)二次根式的概念

(2)根号内字母的取值范围
(3)二次根式的值

隋堂练习 1

练习1:求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) a ? 1 (2)
1 1 ? 2a

(3)

( a ? 3) 2
2

?4? ?6?
?7 ?

2 ? 5x
2x ?1 1? x

?5? ?2 x ? 1?

x ? 5 ? 3 ? 2x
(8)

练习
当x为怎样的实数时,下列各式有意义?

?1?

x ?1
x≥1

?2?

24 ? 4 x
x≤6

?3?

? 5x

(3)-5x≥0

∴x≤0

这会有 意义吗?

即当x≤0时, ? 5 x 在实数范围内有意义.

当x为怎样的实数时,下列各式 有意义? x≥3 ∴3≤x≤6 ?1? x ? 3 ? 6 ? x x≤6 x≥1 ∴x=1 ?2? 1 ? x ? x ? 1 x≤1

?3?

x ?2
2

?4?

x ?1

x为任何实数.

x为任何实数.

指出下列哪些是二次根式?

?6? a ? b ?a?b ? ?7 ? 5m ?8?
3 2

?1? 5 ?2? ? 3 ?3? ?4? b ?b ? 0? √ ?5? a ? 2 ?a ? 2? √

2

3

21

x ?1 √


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