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直角三角形三边的关系(0)[1]

发布时间:2014-01-04 12:43:04  

2002年在北 京召开的国际数学 家大会(ICM2 002)。在那个 大会上,到处可以 看到一个简洁优美 的图案在流动,那 个远看像旋转的纸 风车的图案就是大 会的会标.

1. 直角三角形三边的关系
a b c

示纲自学

(自学课本108页—111页的内容,解答下列内容)

1.仔细观察图14.1.1和14.1.2中着色的三 个正方形
(1)三个正方形中的面积各是多少? (2)你能发现图中三个正方形的面积之间有什么 关系吗? ( 3)你能通过三个正方形的面积关系找到直角三 角形的三边之间的关系吗? 2.动手做一做画一个直角三角形,两直角边分别 为5cm,12cm,用刻度尺量出斜边的长度,并验证 上述的结论对这个直角三角形是否成立? 3总结直角三角形的三边之间的关系,并用

文字语言、符号语言表达勾股定理的内容。 4.阅读第110页的读一读并完成做一做 5.尝试完成例1

探究勾股定理
A

合作互动一
观察左图(设每个小正方形的边长都是1) 1 (1)正方形P的面积是 。 1 (2)正方形Q的面积是 。
(3)正方形R的面积是 2 。

R

P
C Q B

SP+SQ=SR
上面三个正方形的 面积之间有什么关 系?

Sp=AC2

SQ=BC2

SR=AB2

等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗?

AC22+BC2=AB2 +BC2=AB2 AC

1 正方形P的面积=R 9 平方厘米; 4 ? 1 ? ? 3? 4 ? 2 16 平方厘米; 正方形Q的面积= ? 25
正方形R的面积= 25 平方厘米. 正方形P、 Q、 R的面积之间的关系 是
(每一小方格表示1平方厘米)

P+ Q= R

SP+SQ=S. R

直角三角形ABC的三边的长度之间 2 AC2+BC2=AB 存在关系 AC2+BC2=AB2 .

分“割”成若干个直角边 为整数的三角形。 在一般的直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方也成立!

A
b

对于任意的直角三角形,如果它 的两条直角边分别为a、b,斜边 为c,那么一定有:2 2 2

a +b =c

c 勾股定理:直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方
a 几何语言: B 在Rt△ABC中 ∠C=90°(已知) ∴a2+b2=c2(勾股定理)
注:(1)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
(2)在直角三角形中,任意已知其中的两边,就可以 计算出第三边的长

C

合作互动二 读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股,斜边称为弦.图14.1.3称为“弦 图”,最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算 经》作法时给出的.

弦 勾


图14.1.3

辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下 半部分称为“股”,我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为 “股”,斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾

股定理.









验证勾股定理

c2-4× 1 ab = 2 a2-2ab +b2=c2-2ab a2 + b2 = c2 (b-a)2
a

b
C

我国数学家赵爽的“弦图”

大正方形的面积可以表示为 _______________ ; (a+b)2

ab C2 4? ? 也可以表示为____________ 2 ab 2= ∴(a+b) 4 ? ? C2 2
化简得a2 + b2 = c2

针对练习 判断正误 : 1.已知a、b、c是三角形的三边,则a2+b2=c2。 ( ) 2.在直角三角形中,两边的平方和等于第三 边的平方。 ( ) 3.在Rt△ABC中,∵∠B=900, a2+b2=c2 ( )

求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.

169
81 144
X2 =81+144 X=15

z
144

25

24 y2

y=5 z2=49 ① ② z=7 方法小结: 可用勾股定理建立方程.

z2 =252-242 =169-144 z2=(25+24)(25-24)


质疑解难

勾股定理的结论有什么变形
c2=a2 + b2 a2=c2 - b2
c ? a 2 ? b2
a ? c2 ? b2

c

b

b2 =c2 -a2

b ? c2 ? a2

直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边

a

例题解析
例1. 在Rt△ABC中, AB=c, BC=a,
AC=b, ∠B=90°.

C

(1) 已知c=6, a=8, 求b;

a
B

(2) 已知a=24, b=25, 求c.

b
C

(3)已知a:c=3:4, b=20,求a,c
由勾股定理得:a2+c2=b2. ∴ b2=a2+c2=82+62=100, ∴ C=10

A

解:(1)在Rt △ ABC中∠B=90°a=8, c=6

解决生活中的数学问题 一个门框的尺寸如图所示,一块长8m,宽 4.8m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
解:如图在 Rt△ ABC中 AB ∠B=90° =3 ,BC = 4 由勾股定理得: AC 2 2 4 2 =3 + =25 ∴ AC = 5

C
D C

4m
A B

∵5m>4.8m ∴薄木板能从门框
内通过。

A
3m

B
驶向胜利 的彼岸

三.导学归纳:
学了本节课你有什么受获?

1.知识上:
2.思想方法上: 3.有何困惑?

四.反馈训练
A
625 P

拓展运用:

1.填空:
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B
400

C

20 BC=__________
AC=__________ 15

2.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个 加固木条,则木条的长为 (C )

A.3 米 C.5米

B.4 米 D.6米

B


C



A

3.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 !

x
12
X=15

9 x 10
X=8

6

8

17

x
X=15

4. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米 和4厘米,那么这个三角形的周长是___________
12cm或(7+ 7 )cm

3

3
4

4

智慧树
.求下面图中相同颜色的正方形面积之和。
S5 S6 S1
C

S4 S2
B 169

S3

结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7

6.如图,一根旗杆在离地面9米处断裂, 旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆 折断前有多高。

B
9米

C

A
12米



五作业: P117习题14.1 1,2,3

思考题: 某楼房三楼失火,消防队员赶来救火, 了解到每层楼高3米,消防队员取来7米长的云 梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问 消防队员能否进入三楼灭火?

思考题: 某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,

了解到
每层楼高3米,消防队员取来7米长的云梯,如果梯子的底部离 墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?

审题→画示意图→分析题意→解题 B 解:如图在Rt△ ABC中∠C=90,

由勾股定理得
AB2 =BC2 +AC2 , 即 AB2 +2.52 =62 =42.25,
A C ∴ AB=6.5

∵7﹥6.5
∴所以消防队员能进入三楼灭火。

24m

9m

8.如图,大风将一根木 制旗杆吹裂,随时都可 能倒下,十分危急。接 警后“119”迅速赶到现 场,并决定从断裂处将 旗杆折断。现在需要划 出一个安全警戒区域, 那么你能确定这个安全 区域的半径至少是多少 米吗?

?

9 如图,为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离, 一个观测者在点C设桩,使三角形ABC恰好为直角三角 形.通过测量,得到AC长100米,BC长80米.问从点A 穿过湖到点B有多远?

如图14.1.9,在直角三角形ABC中, AC=160米, BC=128米,

根据勾股定理可得
AB= =
2 AC BC ? 2
2 160128 ? 2

=96(米). 答: 从点A穿过湖到点B有96米.

2 x 25 ? ? ? 2 15 ? 400 20

S3
S1

S2


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