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多边形的内角和

发布时间:2013-09-17 21:18:41  

息县三中教学案

一、 [教学目标]

1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

[教学重点、难点]

1.重点:

(1)多边形的内角和公式.

(2)多边形的外角和公式.

2.难点:多边形的内角和定理的推导.

二、课堂预习导学。自学课本81页到82页并思考下列问题:

1.我们知道三角形的内角和为180°.

2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°.

3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?

三、课堂探究

画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.

从中你得到什么结论?

同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导.

思考几个问题

1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角和为多少度?

3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n边形分成几个三角形?n边形的内角和等于多少度?

综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?

设多边形的边数为n,则

n边形的内角和等于(n一2)·180°.

想一想:要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?

1

由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)

分法一:在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°.

如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得:n边形内角和=n×l80°一2×180°=(n一2)×180°.

分法二:在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去. ∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°

用同样的办法,也可以把n边形分成(n一1)个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为(n一2)×180°.

例1 、例2 课本P82 多边形的外角和等于360°.

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.

对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.

如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂诊测 一、判断题.

1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( ) 2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( ) 3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.( )

4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n一2)条对角线,得到(n一2)个三角形.( ) 5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.( ) 二、填空题.

1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为 2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为边形. 3.内角和等于外角和的多边形是 4.内角和为1440°的多边形是

E

2

5.若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是边形.

6.五边形的对角线有.

7.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为

8.多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为.

9.四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1:2:3:4,那么∠A:∠B:∠C:∠.

11.四边形的四个内角中,直角最多有个, 锐角最多有 个.

12.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加加 .

三、选择题.

1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是( )

A.互为余角 B.互为邻补角 C.两个角相等 D.外角大于内角

2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是( )

A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形

3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为( )

A.6条 B.7条 C.8条 D.9条

4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和( )

A.增加 B.减小 C.不变 D.不定

5.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是( )

A.五边形 B.八边形 C.十边形 D.十二边形

6.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形( )

A.四边形 B,五边形 C.六边形 D.七边形

7,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为( )

A.180° B.360° C.720° D.1080°

8.n边形的n个内角中锐角最多有( )个.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是( )

A.八边形 B.九边形 C.十边形 D,十一边形

四、解答题.

1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°.

(1)求它的边数; (2)求少的那个内角的度数.

2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?它共有多少条对角线?n边形呢?

3

3.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的 求这个多边形的边数. 1 2

4.n边形的内角和与外角和互比为13:2,求n.

5.五边形ABCDE的各内角都相等,且AE=DE,AD∥CB吗?

6.将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形?

7.四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D.求:∠C或∠D的度数.

九、布置作业。课本84---85页2、3、4、5、6、7、8、9、10。

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