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平面镶嵌

发布时间:2013-09-17 21:18:42  

合肥市实验学校 10(3)班 陈胜昊

平面图案欣赏:

请观察,这些图形在拼接时有什么特点?

如果你是设计师, 让你设计几种地板 图案,你如何设计 呢?

学一学

平面图形的镶嵌(平面图形的密铺):

用形状和大小完全相同的一种或几种 平面图形进行拼接,彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片,这就是平面 图形的镶嵌,又称平面图形的密铺.
镶嵌的两个条件:
1、全等的一种或几种平面图形;

2、无空隙、不重叠铺成一片。

探究
哪些图形可以镶嵌, 哪些图形不可以镶嵌?

探究活动(一)

用形状、大小完全相同的 三角形能否镶嵌?

正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°

接点处的六个 角和为360°

结论: 形状、大小完全相同的任意 三角形能镶嵌成平面图形。

通过探究我发现:
可以 1.任意全等的三角形都______镶嵌, 六 六 2.在每个拼接点处有___个角,而这___ 个角的和恰好是这个三角形的内角和的 两 360o ___倍,也就是它们的和为____,

探究活动(二)

用同一种四边形可以镶嵌吗 ?

正方形的平面镶嵌
90°

结论: 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形

★通过探究我发现:

可以 1.任意全等的四边形_____镶嵌.
四 四 2.在每个拼接点处有___个角,而这___ 个角的和恰好是这个四边形的四个内 和 360o 角之___,也就是它们的和为____.

结论

1

能镶嵌的图形在一个拼接 点处的特点:
1.各角之和等于360o , 2.相等的边互相重合。

探究活动(三)
1.正五边形能镶嵌吗?说说理由。 2.正六边形能镶嵌吗?说说理由。 3.还能找到能镶嵌的其他图形吗?

做一做

正五边形可以镶嵌吗?
1 3 2

正六边形可以镶嵌吗?

正六边形的平面镶嵌

能否 平面 镶嵌
正三角形


图形

一个顶点周 围正多边形 的个数
6

正方形



4

正五边形

不能

正六边形



3

正三角形 正方形

正五边形 正六边形

内角和

180

o

360

o

540

o

720

o

各个内角

60

o

90

o

108

o

120

o

还能找到能密铺的其他正多边形吗?
? 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看:这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°, 在正多边形里,正三角形的每个内角都是60°, 正四边形的每个内角都是90°,正六边形的每 个内角都是120°,这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°,而其他的正多边形的每个 内角的倍数都不是360°,所以说:在正多边 形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以 密铺,而其他的正多边形不可密铺.

能单独镶嵌平面的正多边形只有三种:

正三角形、正四边形、正六边形
仅用一个正多边形进行镶嵌,要嵌成一个平面,必须 要求

在公共顶点上所有内角和为360度。 令正多边形的边数为n,个数为m,则有 2n 4 ( n ? 2)180? ? 2? m ? 360? ? m ? n?2 n?2 n

因为n ? 3且n, m都是正整数

故n只能取3,4,6
∴解得

?m ? 6 ? ?n ? 3

?m ? 4 ? ?n ? 4

?m ? 3 ? ?n ? 6

结论1: 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有 正三角形,正四边形,正六边形. 结论2: 用一种形状、大小完全相同的三角形,四边形 也能进行平面镶嵌

正多边形可以镶嵌的条件:
o 整除。 每个内角都能被360

探究活动(四)
----创意空间

用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 密铺呢?

二、用两种正多边形进行平面镶嵌
1、正三角形与正方形 设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的 角,那么这些角的和应该满足方程: m.60°+ n.90°= 即 2m+

360°

3n= 12

这个方程的正整数解为m=3,n=2

则记作(3,3,3,4,4)

3个正三角形+2个正方形

二、用两种正多边形进行平面镶嵌
1、正三角形与正六边形 设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形 的角,那么这些角的和应该满足方程: m.60°+ n.120°= 即 m+

360°

2n = 6

这个方程的正整数解为m=4,n=1或者m=2,n=2

图案(Ⅰ)

(3,3,6,6)

2个正三角形+2个正六边形

图案(Ⅱ)

60°

60°

每个顶点处正六边形1个,正三角形4个.

(3,3, 3, 3,6)

4个正三角形+1个正六边形

1、如果用正四边形与正八边形,如何镶嵌?
形正 的八 平边 面形 镶与 嵌正 方

2、如果用正三角形与

正十二边形,如何镶嵌?
正十二边形与正三角形的平面镶 嵌

1个正三角形+2个正十二边形

1个正方形+2个正八边形

2个正五边形+1个正十边形

收获 当拼接点处的所有角之和是360o时, 就能拼成一个平面图形。

思考: 能否用1块正三角形,2块正方形,1 块正六边形(边长相同)铺满地面?

正三角形、正方形、正六边形的镶嵌

资料1:用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17 组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫 波尔亚的人给出的。实际上早在此之前,西班牙 阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些 图样,真是令人叹为观止。

发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形、 正方形、正六边形

发现二: 用一种形状、大小完全相同的三角形,四边形也能进行 平面镶嵌

发现三:

正多边形镶嵌的条件: (1)同一顶点的各角度数和为360度; (2)各个正多边形的边长要相等。

名人、名画赏析

埃舍尔,全名毛里茨· 科内流 斯· 埃舍尔(Maurits Cornelius Escher),一名 对现代艺术影响深远,却被 史学家遗忘的、世界艺术史 上

“绝无仅有的”艺术家。 和其他依靠感性进行创作的 艺术家不同,埃舍尔的作品 是经过复杂的理性思维的产 物。他从事物的精确、规则 、秩序等特性中发现了美, 创造了美。

基本概念
? 用若干类全等形(能够完全重合的图形叫做 全等形)无间隙且不重叠地覆盖平面的一部 分,叫做这几类图形能镶嵌(覆盖、铺砌)平 面.镶嵌的一个关键点是:在每个公共顶 点处,各角的和是360°.最简单的镶嵌是 只用一类全等形镶嵌平面.以下对平面镶 嵌问题从三个方面略作介绍.可重复使用。

平面图形镶嵌
? 用形状、大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重 叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺, 又称作平面图形的镶嵌。 ? 1、用不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖; ? 2、平面镶嵌的条件:各个顶点处内角和恰 好为360度; ? 3、正多边形镶嵌:三角形,四边形,正六 边形。

正六边形镶嵌
? 正六边形镶嵌是一种平面镶嵌,由正六边 形重复组合排列而成,且填满整个平面, 而且没有任何空隙或重叠,由于皆由正多 边形组成,因此称为正镶嵌图。 ? 由于正六边形镶嵌是由正六边形组成,又 因正六边形内角为120度,因此每个顶点周 为都有3个正六边形,且刚好占满360度, 才能填满平面。 ? 在施莱夫利符号中,正六边形镶嵌可用{6,3} 或t{3,6}表示[1]

正七边形镶嵌
? 正七边形镶嵌(英语:Heptagonal tiling)是 一种由正七边形拼合,并且将正七边形重 复排列组合,并让图形完全拼合,而且没 有空隙或重叠的几何构造。正七边形镶嵌 是一种双曲正镶嵌,由正七边形组成,在 施莱夫利符号中用{7,3}来表示,因为每个 顶点周围都有3个正七边形。三个正七边形 由于超过360度,因此无法在平面作出,但 若硬将正七边形边对边接合,将会变成一 个马鞍形,且每个顶点皆会落在一个双曲 抛物面上。[1]


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