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98数学试题(上〕

发布时间:2014-01-04 14:43:50  

一. 填空题(每小题4分,共28分) 98级高数试题

?x x?011. f(x)?(x?|x|),g(x)??2 则f[g(x)]?_______________ 2?x x?0

?0?x x]?2 f[g(x)? x x?0?

2. 设y?xe则y2x(n)?_____________

y(n)?2nxe2x?2n?1ne2x

3. 设x?0时,cosx?cos2x与kx是等价无穷小, 则k?________ 2

3k? 2

4. 曲线x?y?xy?7?0在点(1,2)处的切线斜率是_______________ ?

22331 1125. 设函数f(u)可微,且y?f(sin(x))则dy?____. dy?2xf'(sin(x))cos(x)dx

6.

3

?_________

C tsinu?du?x??17. 设?则y'?______,u??y?sint?tcosty"?_______

y'?t,

二. 计算题(每小题6分,共36分) 22t2y"? sint

ex?b1. 试确定常数a,b的值,使 f(x)?有无穷间断点 x?0, 有可去间断点(x?a)(x?1)

x?1

ex?b解 欲使 x?0为间断点,则 a?0, 若x?1是可去间断点, 则 lim存在, x?1(x?a)(x?1)

ex?b(x?1)?0, 于是 b?e. 因此 a?0,b?e 于是 lime?b?limx?1x?1x(x?1)x

2. 求极限lim(x?011?)cotx sinxx

解 lim(11x?sinxx?sinx?)cotx?limcosx?limlimcosx x?0sinxx?0xsin2xx?0x?0xx3

x?sinx1?lim? 3x?0x6

2??ex x?13. 确定a,b 的值使f(x)在x?1处可导 f(x)?? ??ax?b x?1

解 欲使要f?(1)存在,必须f(x)在 x0?1处连续,即limf(x)?limf(x)?f(1),即 x?1?0x?1?0x?1?0, lim(ax?b)?limex?e,即 a?b?ex?1?02

f??(1)?limf(x)?f(1)ax?b?e?limx?1?0x?1?0x?1x?1

ax?b?(a?b)a(x?1)?lim?lim?a, x?1?0x?1?0x?1x?1

2

2f(x)?f(1)ex?ef??(1)?lim?lim?lim2xex?2e x?1?0x?1?0x?1x?1?0x?1

由f??(1)?f??(1)得a?2e, 从而 b??e

4.

计算定积分 解 令 x?sint 则 dx?2sintcost,

于是

2??cos2t?6??sintdt??6(sint?sin2t)dt?1 01?sint0125.

求不定积分ln(x?

?dx ln(x?dx?xln(x?

?

?xln(xC

6.

判断广义积分?e1的敛散性;若收敛,计算其值.

解 x?e是广义积分的奇点

.

?e1??e1??1

?10?lim?1????0?0?limarcsin(1??)???0??2

因此广义积分是收敛的.

三. (10分) 求曲线 y?1的凹凸区间及拐点 21?x

?2x解 y'?,(1?x2)2

令 y"?0得

x1?2(3x2?1)y"?, (1?x2)3 x2?当

x?是下凸函数. , y"?0,于是 f(x)在区间

(??,当

?是下凹函数. ?x?时, y"?0,于是 f(x)在区间

(?3333

??)是下凸函数. 时, y"?0,于是 f(x)在区间

33

3) 34

2当

x?拐点为

(?四. (12分)抛物线y?3ax?2bx?c通过原点(0,0) 并且当0?x?1时y?0. 若它与直线

x?1,y?0围成的曲边三角形的面积等于1 ,试确定a,b,c 使此曲边三角形绕X轴旋转所得旋转体体积最小.

解 欲使抛物线y?3ax?2bx?c通过原点(0,0), 则c?0;

又若它与直线x?1,y?0围成的曲边三角形的面积等于1 ,则 2

?1

03ax2?2bxdx?a?b?1

194Vx??(3ax2?2bx)2dx?a2?3ab?b2, 053

94Vx?a2?3a(1?a)?(1?a)2 53

188841Vx'?a?3?6a??a?a??0 533153

59于是 a??,b? 44

1sinx2dx?五. (7分) 证明 ??2 2x24

?tanx?sinx?xcosx?sinxcosx??(1?)?0,故 解 在区间[,)上,???2xxxx42?????

f(x)??22sinx?2在区间上递减,即最大值M?f()?最小值m?f()?, 4?x2?

??

22??sinx22??12sinx2(?)???(?), 即 ??? ?24?x?242?x2

44?

六. (7分) 设函数f(x) (1)在[a,b]上可导 (2) f'(a)?m?f'(b) , 证明:在(a,b) 内至少存在一点? 使得 f'(?)?m。

证明 令 F(x)?f(x)?mx,x?[a,b], 则F(x)满足 (1)在[a,b]上可导且 (2)

. F'(a)?0?F'(b), 因此只要证明 (a,b) 内至少存在一点? 使得 F'(?)?0

事实上, F'(a)?limF(x)?F(a)?0,于是存在a点的右邻域,使得x?a?x?a

F(x)?F(a)?0,x?a(?a,?1 ,于是) F(x)?F(a),x?(a,a??1) x?a

F(x)?F(b)F'(b)?lim?0,于是存在b点的右邻域,使得x?a?x?b

F(x?)F(b)F(x)?F(b),x?(b??1,b) ?0,x??b?(2 ,于是b, )x?b

而 F(x)在区间[a,b]上有最小值,于是最小值在区间内部某一点 ?处取得. 区间内部的最值点是极值点, 因此 F'(?)?0,证毕.

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