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最新华师大版2013-2014学年八年级数学上册复习提纲

发布时间:2014-01-04 16:48:14  

八年级数学上册复习提纲

第11章 数的开方 §11.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。(也叫做二次方根)

即:若x2

=a,则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质:(1)一个正数有两个平方根。它们互为相反数;(2)零的平方根是零;(3)负数没有平方根。

二、算术平方根

1、算术平方根的定义:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质:(1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;(2)零的算术平方根是零;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根的非负性:

a≥0。

三、平方根和算术平方根是记号:平方根—±

a(读作:正负根号a);算术平方根—a(读作根号a)

即:“±a”表示a的平方根,或者表示求a的平方根;“a”表示a的算术平方根,或者表示求a的算术

平方根。

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根,∴被开方数a必须为非负数,即:a≥0。

四、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根

1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。(也叫做三次方根)

即:若x3

=a,则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质:(1)一个正数的立方根为正;(2)一个负数的立方根为负;(3)零的立方根是零。

3、立方根的记号:

a(读作:三次根号a),a称为被开方数,“3”称为根指数。

a中的被开方数a的取值范围是:a为全体实数。

六、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。其实质就是:已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项: 1、“±

a”、“a”、“a”的实质意义:“±a”→问:哪个数的平方是a;“a”→问:哪个非负数

的平方是a;“

a”→问:哪个数的立方是a。

2、注意a和a中的a的取值范围的应用。

如:若x?3有意义,则x取值范围是 。(∵x-3≥0,∴x≥3)(填:x≥3) 若

3

?x2009

有意义,则x取值范围是 。(填:全体实数)

3、?a??a。如:∵?27??3,?27??3,∴?27??27 4、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大。

如:?7?6?5?2等。23和32怎么比较大小?(你知道吗?不知道就问!!!!!!!) 5、算数平方根取值范围的确定方法:关键:找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如:确定

7的取值范围。∵4<7<,∴2<7<3。

6、2?1.4143?1.732?2.2366?2.4497?2.646。

八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义:形如a(a≥0)的式子,叫做二次根式。

2、二次根式的性质:(1)

ab?a?(a≥0,b≥0);(2)

a

?ab

(a≥0,b>0);

(3) (

a)2?a(a≥0); (4) a2

?|a|

1

3、二次根式的乘除法:(1)乘法:

a??ab(a≥0,b≥0);(2)除法:

aa

b

?

b

(a≥0,b>0)§11.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数:

(1)开方开不尽的数。如:

7652,2,?7?1?23?2等。

(2)“?”类的数。如:?,??,?3,1

?

,2?等。

(3)无限不循环小数。如:2.1010010001??,-0.234242242224??,等 二、实数

1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概念:

(1)相反数:实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数,则a+b=0。

(2)倒 数:非零实数a的倒数为

1

a

(a≠0)。若实数a、b互为倒数,则ab=1。 ?a(a?0(3)绝对值:实数a的绝对值为:|a|??

)?0(a?0)

??

?a(a?0)3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类:

(1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。 (2)按照定义分为:

5、几个“非负数”:(1)a2

≥0;(2)|a|≥0;(3)a≥0。 6、实数与数轴上的点是一一对应关系。

第12章 整式的乘除 §12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则:am·an·ap·??=am+n+p+??

(m、n、p??均为正整数) 文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 2、注意事项:

(1)a可以是实数,也可以是代数式等。

如:?2·?3·?4=?2+3+4=?9;(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25

2)3

·(2)4

=(2)

3+4

=(2)7

;(a+b)3

·(a+b)4

·(a+b)= (a+b)

3+4+1

=(a+b)

8

(2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。 (3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。 二、幂的乘方

1、法则:(am)n=amn(m、n均为正整数)。推广:{[(am)n]p}s=amn p s 文字:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 2、注意事项:

(1)a可以是实数,也可以是代数式等。

如:(?2

)3

=?2×3

=?6

;[(2)3]4

=(2)3×4

=(2)12

;[(a-b)2]4

= (a-b)2×4

=(a-b)

8

(2)运用时注意符号的变化。

(3)注意该法则的逆应用,即:amn= (am)n,如:a15= (a3)5= (a5)3 三、积的乘方

(

1、法则:(ab)n=anbn(n为正整数)。推广:(acde)n=ancndnen

文字:积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。 2、注意事项:

(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。

如:(2?)=2?=4?;(2×)=(2)×(3)=2×3=6;

33333333222

(-2abc)=(-2)abc=-8abc;[(a+b)(a-b)]=(a+b)(a-b)(2)运用时注意符号的变化。

3222

(3)注意该法则的逆应用,即:anbn =(ab)n;如:23×3= (2×3)3=63,(x+y)(x-y)=[(x+y)(x-y)] 四、同底数幂的除法

1、法则:am÷an=am-n(m、n均为正整数,m>n,a≠0) 文字:同底数幂相除,底数不变,指数相减。 2、注意事项:

(1)a可以是实数,也可以是代数式等。

434-3535-32

如:?÷?=?=?;(-2)÷(-2)=(-2)=(-2)=4;

3

2

2

2

2

2

2

=(2)=2;(a+b)÷(a+b)= (a+b)=(a+b)=a+2ab +b

(2)注意a≠0这个条件。

2a-32a3

(3)注意该法则的逆应用,即:am-n = am÷an;如:a x-y= ax÷ay,(x+y)=(x+y)÷(x+y)

§12.2 整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。 (

6

4

6-4

2

16

14

16-14

2

2

2

2)÷(2)=(2)

(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。

2222

3、补充公式:(a+ b+ c)=a+c+b+2a b+2bc+2ca

特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法

一、单项式除以单项式

法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

232-13-12

如:-21abc÷3ab=(-21÷3)·a·b·c =-7abc (2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3 =8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3 =(-56÷14)·x7-4·y5-3=-4x3y2 5(2a+b)4÷(2a+b)2=(5÷1)(2a+b)4-2=5(2a+bz2=5(4a2+4ab+b2)=20a2+20ab+5b2

二、多项式除以单项式 法则:(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。

如:(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y [4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x

◇整式的运算顺序:先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。

§12.5 因式分解

一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。(分解因式)

因式分解与整式乘法互为逆运算

如:(-5ab)·(-4 bc)·(-

222

33

ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a·a)·(b·b)·c =-30abc 22

2

2

2

34

2

2

2

2

二、单项式与多项式相乘

法则:(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。 如:(?3x

2

)(?x2?2x?1)?(-3x)·(-x)+(-3x)·2 x一(-3x)·1=3x4?6x3?3x2

三、多项式与多项式相乘 法则:(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。

如:(

)(+)= ma+mb+na+nb

二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤:(1)“看”。观察各项是否有公因式;(2)“隔”。把每项的公因式“隔离”出来;(3)“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。

△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数);(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数);

2

如:8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1);-5 a+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5) (注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。) 三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。

22

1、平方差公式: a-b=(a+b)(a-b);名称:平方差公式。 △注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。

2222222

如:10-9 =(10+9)(10-9)=19×1=19;4 xy-a=(2xy)-a=(2xy+a)(2xy-a);

?2n?1?2??2n?1?2?(2n?1?2n?1)(2n?1?2n?1)?8n

(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。 (3)注意公式的结构好形式,运用时一定要判断准确。

222

2、完全平方公式:(a±b)=a±2a b+b;名称:完全平方公式。 △注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。

22222222222

如:mn-2mna+ a=(mn)-2mn·a+ a=(mn-a);x+4xy+y=x+2·x·2y+(2y)=( x+2 y) (2)注意公式运用时的对位“套用”; (3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。 四、补充分解法:

2

1、公式:x+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。

2222

如:x+5x+6= x+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3);x+5x-6=x+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1) 2、“十字相乘法”

(2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘

的法则继续相乘,最后将所得的积相加。

如:(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb

§12.3 乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

22

1、公式:(a+b)(a-b)=a-b;名称:平方差公式。 2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。

2222222

如:(10+9)(10-9)=10-9=100-81=19;(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)-a=4 xy-a;

22222

(a+b+?)( a+b -?)=(2xy)-a=4 xy-a;

(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。 (3)注意公式的来源还是“多项式×多项式”。 二、完全平方公式

222

1、公式:(a±b)=a±2a b+b;名称:完全平方公式。 2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。

如:(2+3)=(2)+2×2×3+3=2+62+9=11+62;(mn-a)=(mn)-2mn·a+ a= mn-2mna+ a;

222222

( a+b -)=( a+b)-2( a+b)+?= a+2a b+b-2?a-?b +?; (2)注意公式运用时的对位“套用”;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

如:x?9x?14=(x+2)( x+7) x?2x?8=(x+2)( x-4)

2 + 7=9 2 + (-4)=-2

2

22

五、综合

1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是:“一看二套三分解”。 2、遇到因式分解的题目时,其整体的思维顺序是:(1)看首项是否为“一”,若为“一”,就要注意提负号;(2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说;(3)没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项:(1)注意(a-b)与(b-a)的关系是互为相反数;(2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解,所以不能出现带根号的数;(4)注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法。

第13章全等三角形

No.3 角边角(ASA):两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.4 角角边(AAS):两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。 No.5 斜边,直角边 (HL):斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

第14章 勾股定理

§14.1勾股定理

一、直角三角形三边的关系

A 1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c o

几何语言:如图,在Rt△ABC中,∠C=90, b

命题 定义:可以判断真假的陈述句叫命题,正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;一个命∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c

题分题设和结论两部分。 则有:a2+b2=c2。 C a 公理:有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的,并把他作为判断其他命题真假的原2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想:“面积拼图法”。 始依据,这样的真命题叫公理。 3、注意事项:(1)勾股定理必须在Rt△使用,若遇到非Rt△,则可引垂线段“造”Rt△。(2)注意Rt△中告定理:从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并可以作为判断命题 诉的“直角”是哪个,以便准确确定“斜边” 。(3)在运用勾股定理求边长时,要用到“开平方”运算,一定要指

明“边长为正”的条件,求的是边长的算数平方根。

互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题结论是第二个二、Rt△的判定

命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个1、直角三角形的定义:有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 命题就叫做逆命题。 2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

o

互逆定理:如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另3、勾股定理的逆定理:若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2,则∠C=90。

一个定理的逆定理。 ☆“勾股数”:指三个满足a2+b2=c2的正整数,我们称为勾股数。

☆注意勾股定理的逆定理的应用,只要涉及三角形三边长的问题,都要判定一下是否为Rt△。

?画线段三、反证法的步骤:先假设 是正确的,然后通过 ,推出与基本事实,

??画角 五种基本尺规作图? ?画垂直平分线?过已知点画垂线???画角平分线

或说明,

从而得到 。

§14.2勾股定理的应用

常见问题:

1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。 2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。 3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。 4、阴影面积问题。 5、作图中的作

1.等腰三角形的判定: ①如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形所对的边也相等; ②如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。

①性质:角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 3. ①性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

②判定:到线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

2,,5,等问题。

§15 数据的收集与表示

生活中的数据无处不在,当大量的数据呈现在我们面前时,我们要收集、整理、分析这些数据,从而为我们的决策提供依据

频数、总次数、频率之间的关系(用公式表示)

频数== 总数×频率 总次数== 频数÷频率 频率== 频数÷总数 调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段 1.常见的统计图有:(1) 扇形统计图 (2) 折线统计图 (3) 条形统计图

扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比,条形图能准确地表示出每个项目的具体数目,折线图能清楚地反映事物的变化趋势 2.扇形统计图及其特点:

(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示 总数 和部分的比例关系,即用圆表示 总数 . 用扇形表示 部分对象所占的比例 ,扇形的大小反映 频率的大小 (2)扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占 频率 3扇形中心角计算方法:

(1)扇形的中心角=360×频率 . 3

1.全等形: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形:

定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 ABC ≌

全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等

3.三角形全等的判定:No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 No.2 角边角(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(2)若已知扇形统计图,用量角器量出每个扇形 圆心角 的读数. (3)部分占总体的百分比=

总体

?100%.

4.画扇形统计图的步骤

(1) ; (2) ; (3) ;

一、选择题

1、与数轴上的点一 一对应的是( )

A、有理数 B、整数 C、无理数 D、实数

2、若一个有理数的平方根与立方根是相等的,则这个有理数一定是( ) A、0 B、1 C、0或1 D、0和±1 3、下列说法正确的是:( )A、4的平方根是2 B、-1的平方根是-1 C、49??7 D、-2是4的一个平方根

4、a是4的一个平方根,且a<0,则a的值是( ) A、-2 B、±2 C、-16 D、±16

5、25的平方根是( ) A、5 B、–5 C、?5 D、?5 6、(?3)2

的算术平方根是( ) A、9 B、–3 C、?3 D、3 7、下列叙述正确的是( )

A、0.4的平方根是?0.2 B、?(?2)3

的立方根不存在 C、?6是36的算术平方根 D、–27的立方根是–3 8、下列等式中,错误的是( ) A、?64??8 B、

121225??11

15

C、?216??6 D、?0.001??0.19、下列各数中,无理数的个数有( )

?0.1010,0 1?

4, ?2

,3

16

A、1 B、2 C、3 D、4

10、如果2?x有意义,则x的取值范围是( )

A、x?2 B、x?2 C、x?2 D、x?2 11、以下语句及写成式子正确的是( )

A 7是49的算术平方根,即49??7 B 7是(?7)2

的平方根,即(?7)2?7

C ?7是49的平方根,即?49?7 D ?7是49的平方根,即49??7

12、若a为实数,则下列代数式中一定是负数的是 ( ) A、-a2 B、-(a+1)2 C、- (?a)2 D、 -(| -a |+1)

二、填空题

1.4的平方根是_____________.?179

的相反数的平方根是________.

2.

的平方根是

_____.

3、若a是正数,且a2

?25,那么a的平方根是4、如果a的平方根等于?2,那么a?_____ 5、?3是?3是的立方根 6、64的平方根是,64的立方根是 7.?

1

8

的立方根是125的立方根是 8、(?4)2

? (?6)3?, ()2.

9、下列各数0.45

?6?、3?

2

、3.14、0.80108、????、0.1010010001?、4、0.451452453454?,,其中无理数的个数是

10、若一个正数的平方根是2a?1和?a?2,则a?____,这个正数是 11、要使x?5有意义,则x可以取的最小整数是.

12、平方根等于本身的数是________;立方根等于本身的数是_______ 13若a、b是实数,|a?1|?2b?1?0,则a2

?2b?_____. 15.绝对值小于的所有整数是16.写出一个无理数,使它与2的积是有理数,这个数是 17.数轴上到原点的距离等于-1的点表示的实数是 18. 5-7的相反数是 ,绝对值是

1、(12分)计算

(1)y

2

·y3·y4 (2)(-4a2b)3

(3) (22)4×(?1

2

)9 (4)(a+b)3·(a+b)2

(5) 2022?202?196?982

(6)(10a3-3a2b+2a)÷a

2、(12分)分解因式:(1)a2

?4a?4 (2) a2?2ab?b2

(3)a2-25 (4) a2b2-1 (5)3a2

y?3ay?6y (6)a2

b+ab3

3、(6分)已知3?9

m

?27m?321,求m的值

4、若(x?3)(x?1)?x2

?Ax?B,则A= 、B? 。

5、4x2?20x?____?(2x?___)2

4

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