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22.2一元二次方程的解法4课件

发布时间:2014-01-04 16:48:24  

《恒谦教育教学资源库》

教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设

一元二次方程

根与系数的关系

1

基本知识
题1 口答

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教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设

1.下列方程的两根和与两根积各是多少? ⑴.X -3X+1=0
2

⑵.3X -2X=2

2

⑶.2X +3X=0
1.x1 ? x2 ? 3 2 2.x1 ? x 2 ? 3
3 3.x1 ? x 2 ? ? 2

2

⑷.3X =1

2

x1 x2 ? 1

2 x1 x 2 ? ? 3

x1 x2 ? 0
2

4.x1 ? x2 ? 0

1 x1 x 2 ? ? 3

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在使用根与系数的关系时,应注意:

⑴不是一般式的要先化成一般式;
b ⑵在使用X1+X2=- a

时,

注意“- ”不要漏写。

3

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题2 已知两圆的半径是一元二次方程

的两个根,两圆的圆心距等于7, 则这两圆的位置关系是( C ) A、外离 B、相交 C、外切 D、内切

2 x ? 14x ? m ? 0
2

4

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练习1 已知关于x的方程x 当m= 当m= 分析:1. 2. 1
2

? (m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0

-1 时,此方程的两根互为相反数. 时,此方程的两根互为倒数.

x1 x2 ? 2m ? 1 ? 1
5

x1 ? x2 ? m ? 1 ? 0

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应用:一求值
题3 则:

x1 ? x2 ?
2 1 2 2
2

4

x1 ? x2 ?
2

1

x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 = 14
( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = 12 ( x1 ? x2 ) ?
2
6

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另外几种常见的求值

x1 ? x2 1 1 1. ? ? x1 x2 x1 x2

x1 x2 x ? x 2. ? ? x1 x2 x 2 x1
2 1

2 2

( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? x1 x2
2

3.(x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

4. x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 )

2

? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2
7

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求与方程的根有关的代数式的值时,

一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.

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练习2

(1)设

x ? x ?1 ? 0 1 1 为 x ,x 则: ? 1 2 x x
2
1

的两个实数根 的值为( A )

2

A. 1

B. -1

C.

5

D. 5 5

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已知两根求作新的方程
以x

, x2为两根的一元二次方程 1
(二次项系数为1)为:

x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? 0
2

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题4. 2 点

p(m,n)既在反比例函数 y ? ? ( x ? 0)

x



图象上, 又在一次函数 y

? ?x ? 2

2

的图象上,

则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):

2 解:由已知得, n ? ? m

{n ? ?m ? 2

{

m· n=-2 m+n=-2

∴所求一元二次方程为:

x ? 2x ? 2 ? 0
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题5

以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方 程是( B )
A、y +3y-5=0 C、y2+3y+5=0
2

B、 D、

y -3y-5=0 y2-3y+5=0

2

分析:设原方程两根为 x1 , x 2

则:

新方程的两根之和为(? x1 ) ? (? x2 ) ? 3

x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? ?5

新方程的两根之积为 ? x1 ) ? (? x2 ) ? ?5 (
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求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积)

3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.
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练习: 1.以2和 -3为根的一元二次方程
(二次项系数为1)为: 2

x ? x?6 ? 0

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已知两个数的和与积,求两数

题6 已知两个数的和是1,积是-2,则两 个数是 2和-1 。 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=-1

x ? y ?1 {

x=-1 { y=2

x ? y ? ?2

解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: a 2 ? a ? 2 ? 0 求得 a1 ? 2, a2 ? ?1 ∴两数为2,-1
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求方程中的待定系数
2

题7 如果-1是方程2 x

?x?m?0

-3 的一个根,则另一个根是___m=____。
(还有其他解法吗?)

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题8 已知方程 x 2 ? kx ? k ? 2 ? 0 的两个实数根 是 x1, x2 且 x 2 ? x 2 ? 4 求k的值。 1 2 解:由根与系数的关系得 X1+X2=-k, X1×X2=k+2 解得:k=4 或k=-2 2 2 ∵ △= K2-4k-8 又 X +X = 4
1 2

即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K22(k+2)=4 K2-2k-8=0

当k=4时, △<0
当k=-2时,△>0 ∴ k=-2
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综合

题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= 5 3,若关于x的方程

(5 3 ? b) x ? 2ax ? (5 3 ? b) ? 0
2

有两个相等的实数根,又方程

2x ? (10sin A) x ? 5 sin A ? 0
2

的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
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小结:

1、熟练掌握根与系数的关系;
2、灵活运用根与系数关系解决问题;

3、探索解题思路,归纳解题思想方法。

作业:试卷《课后练习》
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题9 方程 解:由已知,

mx ? 2mx ? m ? 1 ? 0(m ? 0)
2

有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 △=

{

4m ? 4m(m ? 1) ? 0 m ?1 x1 x 2 ? ?0 m
2



{

m>0 m-1<0

∴0<m<1
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一正根,一负根 △>0 X1X2<0

两个正根 △≥0 X1X2>0 X1+X2>0

两个负根

{

{

{

△≥0 X1X2>0 X1+X2<0
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