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二次函数回顾与思考

发布时间:2014-01-05 10:43:40  

九年级数学下册
二次函数回顾与思考
项城市第六初级中学

二次函数
? 定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 ? 图象:是一条抛物线。 ? 图象的特点:(1)有开口方向,开口大小。 (2)有对称轴。(3)有顶点(最低点或最 高点)。 y y

o

x

o

x

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
y=2x2+2 y=2x2 y=2x2-2
? 二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2

的图象向上(或向下)平移得到: ? 当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k ? 当k<0时,抛物线y=ax2向下平移k的绝对值 个单位,得y=ax2+k

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图

象向左(或向右)平移得到: ? 当h>0时,抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2 ? 当h<0时,抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位, 得y=a(x-h) 2

二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系

? 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线

y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.

二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
?

1. 2.

因为二次函数的图象是一条抛物线,它的基本特 征是:(1)有开口方向;(2)有对称轴;(3) 有顶点。所以,画二次函数的图象通常采用简化 了的描点法——五点法,其步骤是: 先根据函数解析式,求出顶点坐标和对称轴,在 直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴; 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点;当抛物线 与x轴有两个交点时,描出着两个交点A、B及抛 物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这 五个点按从左到右的顺序连结起来,并向上或向 下延伸,就得到二次函数的图象。

二次函数y=ax2+bx+c的性质
? 当a﹥0时:抛物线开口向上。

4ac-b2 b b ? 对称轴是x=,顶点坐标是 (- 2a , 4a ) 2a b 时, ? 当a﹥0时,在对称轴的左侧,即当x<2a y随x的增大而减小; b 在对称轴的右侧,即当x ﹥ - 2a 时, y随x的 增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低 b 时, y 4ac-b2 y 最小值= 点,当x=2a 4a
o x

? 当a < 0时:抛物线开口向下。

4ac-b2 b b ? 对称轴是x=,顶点坐标是(- 2a , ) 2a 4a b ? 在对称轴的左侧,即当x <时,y随x的增 2a 大而增大; b 在对称轴的右侧,即当x ﹥ - 2a 时, y随x的 增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高 b 时, y 4ac-b2 点, 当x=最大值= 2a 4a y

o

x

二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系
? 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二 ? ? ?

?

次方程ax2+bx+c=0的根。 当Δ<0时,抛物

线与x轴没有交点; 当Δ=0时,抛物线与x轴只有一个交点; 当Δ >0时,抛物线与x轴有两个交点,且其解析式可 写成两根式:y=a(x-x1)(x-x2). b 2 ? 4ac 抛物线与x轴的两个交点的距离x1-x2=
a

二次函数解析式的确定
? 1. 2. 3.

?
? ?

二次函数的解析式有三种形式: 一般式: y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 顶点式: y=a(x-h)2+k (a,h,k是常数,a≠0) 两根式:y= a(x-x1)(x-x2) (a, x1,, x2是常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点时,通常解析式设为一 般式,列出三元一次方程组求出待定系数。 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时, 通常设解析式为顶点式求出待定系数。 当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通 常设解析式为两根式,求出待定系数。

规律小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线, 这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) 是由二次项系数a决定的。 1. a相同 ? 抛物线的形状相同; 2. a>0 ? 抛物线的开口向上; 上正下负 3. a <0 ? 抛物线的开口向下。
?

? 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的
1、C >0 ? 抛物线与y轴 相交于正半轴; 2、C =0

位置是由常数项c决定的。

?抛物线与y轴

上正下负

相交于原点; 3、 C<0 ? 抛物线与y轴 相交于负半轴;

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由a和b联合决定的
? a与 b同号 ? 对称轴在y轴的左侧; ? a与 b异号 ? 对称轴在y轴的右侧; 左同右异

? b=0

对称轴就是y轴。 ?

抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac的符 号决定
? b2-4ac>0
? b2-4ac=0 ? b2-4ac<0

?抛物线与x轴有2个交点; ? 抛物线与x轴有1个交点; ?抛物线与x轴没有交点。

二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0 (或恒小于0)的条件
? y恒大于0

a>0
b2-4ac<0

? y恒小于0

a<0
b2-4ac<0

二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是

(? 顶点在x轴上
? 顶点在 y轴上

b 2a

,

4ac-b2

4a

)

?

4ac-b2

=0 即b2-4ac=0
即b=0

4a - b =0 ? 2a

结束寄语
?只有不断的思考,才会

有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.


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