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人教版2014初中数学总复习

发布时间:2014-01-05 12:44:28  

第一章 实数

★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算

☆内容提要☆

一、 重要概念

1.数的分类及概念

数系表:

说明:“分类”的原则:1)相称(不重、不漏)

2)有标准

2.非负数:正实数与零的统称。(表为:x≥0)

常见的非负数有:

性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。

3.倒数: ①定义及表示法

②性质:A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.0<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D.积为1。

4.相反数: ①定义及表示法

②性质:A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴:①定义(“三要素”)

②作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)

定义及表示:

奇数:2n-1

偶数:2n(n为自然数)

7.绝对值:①定义(两种):

代数定义:

几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││”符号。

二、 实数的运算

1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)

2. 运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律)

3. 运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”

到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

三、 应用举例(略)

附:典型例题

1. 已知:a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:│x-a│+│x-b│

=b-a.

2.已知:a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。

第二章 代数式

★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算

☆内容提要☆

一、 重要概念

分类:

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母) 几个单项式的和,叫做多项式。

说明:①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算,把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时,是以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时,是从外形来看。如,

=x, =│x│等。

4.系数与指数

区别与联系:①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件:①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据:乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意:①从外形上判断;②区别: 、 是根式,但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);

⑵算术平方根与绝对值

① 联系:都是非负数, =│a│

②区别:│a│中,a为一切实数; 中,a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴ ( —幂,乘方运算)

① a>0时, >0;②a<0时, >0(n是偶数), <0(n是奇数)

⑵零指数: =1(a≠0)

负整指数: =1/ (a≠0,p是正整数)

二、 运算定律、性质、法则

1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质: = (m≠0)

⑵符号法则:

⑶繁分式:①定义;②化简方法(两种)

3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

4.幂的运算性质:① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

技巧:

5.乘法法则:⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式:(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b) =

7.除法法则:⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解:⑴定义;⑵方法:A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9.算术根的性质: = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式运算法则:⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化:

A. ;B. ;C. .

11.科学记数法: (1≤a<10,n是整数=

三、 应用举例(略)

四、 数式综合运算(略)

第三章 统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、 重要概念

1.总体:考察对象的全体。

2.个体:总体中每一个考察对象。

3.样本:从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量:样本中个体的数目。

5.众数:一组数据中,出现次数最多的数据。

6.中位数:将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)

二、 计算方法

1.样本平均数:⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a—常数, , ,…, 接近较整的常数a);⑶加权平均数: ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确。

2.样本方差:⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a—接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数);若 、 、…、 较“小”较“整”,则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。

3.样本标准差:

三、 应用举例(略)

第四章 直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆ 内容提要☆

一、 直线、相交线、平行线

1.线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2.线段的中点及表示

3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)

4.两点间的距离(三个距离:点-点;点-线;线-线)

5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)

6.互为余角、互为补角及表示方法

7.角的平分线及其表示

8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)

9.对顶角及性质

10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)

11.常用定理:①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12.定义、命题、命题的组成

13.公理、定理

14.逆命题

二、 三角形

分类:⑴按边分;

⑵按角分

1.定义(包括内、外角)

2.三角形的边角关系:⑴角与角:①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。⑶角与边:在同一三角形中,

3.三角形的主要线段

讨论:①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法

6.三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。

7.重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8.证明方法

⑴直接证法:综合法、分析法

⑵间接证法—反证法:①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系:加倍法、折半法

⑸证线段和差关系:延结法、截余法

⑹证面积关系:将面积表示出来

三、 四边形

分类表:

1.一般性质(角)

⑴内角和:360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和:360°

2.特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤:四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用:

3.对称图形

⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)

4.有关定理:①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。(如,找下图中面积相等的三角形)

5.重要辅助线:①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6.作图:任意等分线段。

四、 应用举例(略)

第五章 方程(组)

★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)

☆ 内容提要☆

一、 基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)

2. 分类:

二、 解方程的依据—等式性质

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc (c≠0)

三、 解法

1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法

②加减法

四、 一元二次方程

1.定义及一般形式:

2.解法:⑴直接开平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)

⑶公式法:

⑷因式分解法(特征:左边=0)

3.根的判别式:

4.根与系数顶的关系:

逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。

5.常用等式:

五、 可化为一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, )

⑷验根及方法

2.无理方程

⑴定义

⑵基本思想:

⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法

3.简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、 列方程(组)解应用题

一概述

列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1. 行程问题(匀速运动)

基本关系:s=vt

⑴相遇问题(同时出发):

+ = ;

⑵追及问题(同时出发):

若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则

⑶水中航行: ;

2. 配料问题:溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂

3.增长率问题:

4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。

5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化

如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、…… 又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算

如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例(略)

第六章 一元一次不等式(组)

★重点★一元一次不等式的性质、解法

☆ 内容提要☆

1. 定义:a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b。

2. 一元一次不等式:ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3. 一元一次不等式组:

4. 不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac<bc(c<0)

⑷(传递性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集)

7.应用举例(略)

第七章 相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套(比例的有关性质):

涉及概念:①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。 第二套:

注意:①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似(比例线段)→平行。

二、相似三角形性质

1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证(解)题规律、辅助线

1.“等积”变“比例”,“比例”找“相似”。

2.找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。⑴

3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4.对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。

5.对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。

五、 应用举例(略)

第八章 函数及其图象

★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。

☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系

1.各象限内点的坐标的特点

2.坐标轴上点的坐标的特点

3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数

(定义→图象→性质)

1. 正比例函数

⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。

⑵图象:直线(过原点)

⑶性质:①k>0,…②k<0,…

2. 一次函数

⑴定义:y=kx+b(k≠0)

⑵图象:直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。

⑶性质:①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况:

3. 二次函数

⑴定义:

特殊地, 都是二次函数。

⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。 用配方法变为 ,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。 ⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。

4.反比例函数

⑴定义: 或xy=k(k≠0)。

⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。

⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:

2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例(略)

第九章 解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆ 内容提要☆

一、三角函数

1.定义:在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .

2. 特殊角的三角函数值:

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

3. 互余两角的三角函数关系:sin(90°-α)=cosα;…

4. 三角函数值随角度变化的关系

5.查三角函数表

二、解直角三角形

1. 定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据:①边的关系:

②角的关系:A+B=90°

③边角关系:三角函数的定义。

注意:尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1. 俯、仰角: 2.方位角、象限角: 3.坡度:

4.在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。

四、应用举例(略)

第十章 圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

1.圆的定义(两种)

2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理

4.垂径定理及其推论

5.“等对等”定理及其推论

5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)

⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)

⑶弦切角定义(弦切角定理)

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质:

2.切线的性质(重点)

3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4.切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)

2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角:

内角的一半: (右图)

(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等)

六、 一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、 点的轨迹

六条基本轨迹

八、 有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周:4、8;6、3等分

九、 基本图形

十、 重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线(连心线)

6.两圆相交公共弦

十一、应用举例

中考数学专题复习—几何部分

知识点拨

1.理解相关角概念,能从一个角的余角与补角的关系入手,构建方程求该角的度数,并会角的度、分、秒的互算.

2.了解平行线的概念,能依据平行线的判定和性质解决一类与平行线有关的几何问题.

3.了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线).会运用三角形三边关系定理、内角和定理、勾股定理及逆定理解证与之相关的几何命题.

4.能熟练、灵活应用三角形全等的判定定理、性质定理、等腰三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的判定定理和性质定理证明线段相等和角相等.

5.能辨认一个命题的题设和结论,会构造一个命题的逆命题,会利用五种基本作图的方法解决一类与之有关的尺规作图问题,并注意作图的有关规定要求以及轴对称作图的基本思路.

6.能根据多边形的内角和与外角和公式确定多边形的边数,会利用分割法确定多边形的对角线的条数、三角形的个数等变化规律.

7.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质,了解它们之间的关系;掌握它们的判定定理,并能根据它们解决线段、角相等和求值问题.

8.能根据三角形中位线定理、梯形中位线定理证明有关线段平行及等量关系问题.

9.能根据比例的有关概念和性质确定线段的比、比例中项,会利用设值法或等比性质解决一类线段的求值问题.

10.了解两个三角形相似的概念,理解并掌握两个三角形相似的判定定理.

11.通过实例认识锐角三角函数,知道30°、45°、60°角的三角函数值,会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.

12.理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念;了解弧、弦、圆心角的关系.

13.了解圆的对称性,会用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理证明或求解一类与圆有关的几何问题.

14.了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系.

15.了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念.

16.会计算弧长及扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积.

考点导析

几何部分的内容在中考试卷中约占40%左右.随着课程改革的不断深入,所考查的重点内容有所变化,对严格逻辑推理的要求大大降低,对圆一章的要求也相对减弱,加强了对学生实验操作、读图作图、合情推理等能力的要求,适当渗透空间观念、侧重数学思想方法以及运用几何知识解决实际问题能力的考查.

典题释解

例1 图1是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的1号袋 2号袋 阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击

出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是 ( )

A.1号袋 B.2号袋

3号袋 4号袋 C.3号袋 D.4号袋 图

1 分析:本道试题源于生活实践,其目的是考查学生会按照一定的游

戏规则,运用数学原理(轴对称的性质),通过观图、析图、作图的思维程序即可解决. 解:球碰撞台球桌面后弹出的路线和原路线成轴对称关系.利用这一关系,通过作图不难发现该球最后将落入2号球袋.

反思:通过实验操作,运用数学原理,解决实际问题是中考命题的发展方向,应引起大家的重视.

例2 如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知,则

A.只能求出其余3个角的度数 B.只能求出其余5个角的度数

C.只能求出其余6个角的度数 D.只能求出其余7个角的度数

分析:如图2,不妨设∠1是已知的,通过对顶角相等可知∠4;通3 过邻补角相等可知∠2和∠3;再通过平行线的性质定理,可确定出 ∠5、∠6、∠7、∠8的大小.故应选. l1 反思:当具体知道已知哪个角是几度时,随后设问其他的角怎样求, 5 学生是很熟悉的,但如此题这样提出问题,则能很好地考查学生是2 否牢固的掌握了基础知识和基本技能.灵活运用基础知识解决具体 图 2 问题是学生应必备的能力.

例3 已知,如图,DC∥AB,且DC=AB,E为AB的中点.

(1) 求证:ΔAED≌ΔEBC; (2)观察图形,在不添加辅助线的情况下,除ΔEBC外,

请再写出两个与ΔAED的面积相等的三角形(直接写出结D 果,不要求证明):_____________________.

分析:(1)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边

形”可知:四边形AECD和四边形EBCD都是平行四边形,

根据平行四边形的性质和已知条件即可证得ΔAED≌Δ图3 EBC;(2)根据全等的三角形或等底等高的三角形面积相等

可知:ΔACE、ΔCDE、ΔACD都是与ΔAED面积相等的三角形.

反思:三角形全等是初中几何最基本也是最重要的知识之一,解证题时除了熟记各种判定方法和性质外,还要认真观察图形,才能避免产生错误.另外在证明时要注意步步有据,思路清晰,关键步骤必须书写在卷面上.

例4 如图4,已知等腰梯形ABCD的面积为100cm2,AB∥CD,AD=BC,且AC⊥BD,求梯形的高.

分析:因为AC⊥BD,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于E,则可得DBEC与Rt△

ACE,而且△AEC的面积等于原梯形的面积,AE

边上的高等于梯形的高,从而把梯形的问题转化成三角形

与平行四边形的问题.

解:过点C作CE∥BD,交AB的延长线于E,再作 CF⊥AB于F.

图4 ∵ CE∥BD,AB∥CD,∴ 四边形DBEC是平行四边形.

∴ DC=BE,DB=CE.∴ AE=AB+BE=AB+CD. ?

∴ S?ACE?11AE?CF?(AB?CD)?CF?S梯形ABCD?10022.

∵ AD=BC,∴ BD=AC,∴ CE=AC.

∵ AC⊥BD,CE∥BD,∴ AC⊥CE. ∴ △ACE为等腰直角三角形.而CF⊥AE,

11S?ACE?AE?CF?CF2?1002∴ F是AE的中点.∴ CF=2AE. ∴ .∴ CF=10

(cm).

反思:在解决梯形问题时,常常通过添加辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题.常作的辅助线有:(1)过上底的一个端点作一条对角线的平行线,将梯形问题转化为三角形和平行四边形,并将两底之和转化为一条线段;(2)过底边的一个端点作一条腰的平行线,将梯形问题转化为三角形和平行四边形或一个平行四边形的问题;(3)作梯形的两条高,将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形;(4)过上底的一个端点和另一腰的中点作直线与下底边交于一点,将梯形转化为一个三角形;(5)延长梯形的两腰相交于一点,将梯形转化为两个三角形.

例5 如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每对对应点所在的直线都经过同一个点, 那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.

(1)选择:如图5—1,点O是等边三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点,则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形.此时,△P′Q′R′与△PQR

的位似比、位似中心

分别为 ( ).

A.2、点P 1B.2、点P C.2、点O

E'

BODD'Q

(1) (2)

图5

(2) 如图5—2,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问 题.画法:

①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;

②连结OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′;

③连结C′D′.则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.

求证:△C′D′E′是等边三角形.

分析:本题在相似三角形法基础上引入“位似三角形”的概念和性质,形成一道选择、 作图、阅读、证明于一体的综合题型.依据位似三角形的定义和三角形中位线定理,(1)可选D.运用平行线的性质可对(2)进行证明. 1D.2、点AO

CEOE?,?CEO??C?E?O证明:∵EC∥E′C′, ∴C?E?OE?.

EDOE?,?DEO??D?E?O??? ∵ED∥E′D′, ∴EDOE.

CEED?,?CED??C?E?D?????CEED ∴.

∵△CDE是等边三角形,∴CE=DE,?CED?60?.

∴C′E′=D′E′,?C?E?D??60?.∴△C′D′E′是△AOB的内接三角形.

反思:图形的变换是新课标的要求,本题非常巧妙的将位似变换体现出来,既实现了渗透新课标基本理念的要求,又较好的考查了学生应用所学知识解决新问题的能力.

例6 如图6,某船向正东航行,在A处望见某岛C在北偏东60°,前进6海里到点B,测得该岛在北偏东30°,已知在该岛周围6海里有暗礁,问:若船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.

分析:要正确判断有无触礁危险,只要比较CD与 6的大小关系.可通过计算证得AB=BC,解Rt△BCD , 求CD. 图6

解: ∵ ∠CBD=60°,∠CAB=30°,

∴∠ACB=30°. ∴∠CAB =∠ACB.

∴AB=BC=6(海里) .

6??在Rt△BCD中,CD=BCsin60°

=26.

答:船有触礁危险.

反思:本题也可设BD为x,在Rt△BCD中,,把CD用x表示,在Rt△ACD中,通过锐角三角函数建立AD与CD的关系,列出方程求x,问题迎刃而解 (此方法略).

例7 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球冲到A 点时,乙已跟随冲到B点如图7.此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?

分析:在真正的足球比赛中,情况会很复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态加以

考虑,如果两点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位

置,关键看这两个点各自对球门MN的张角大小.当张角较小时,则球容易被对方守门员拦截.

怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢?

解:考虑过M、N以及A、B中的任一点做圆,这里不妨作出

过B、M、N三点的圆.显然点A在圆外.设MA交圆于点C,

则∠MAN <∠MCN,而∠MCN=∠MBN,所以∠MAN<∠

MBN.

因此,以B点射门为好,甲宜将球回传给乙,让乙来射门.

反思:圆在现实生活中有着及其广泛的应用,用圆的性质解决一些实际问题在各省市中考试题中均呈上升趋势.

巩固提高

一、填空题

1.某中学升国旗时,小明同学站在离旗杆底部12m处行注目礼,当国旗升到旗杆顶端时,

该同许学视线的仰角恰为45°,若他的双眼离地面

1.3m,则旗杆高度为 m..

2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

A‘ AC=3cm,将△ABC绕点B旋转至△A‘BC’的 B C

(第 2题) 位置,且使点A、B、C‘三点在一条直线上,则点

A经过的最短路线的长度是 .

3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥ AB,垂足为G,F是CG的中点,延长AF交⊙O于E,CF =2,AF=3,则EF的长是___________. A B

4.下列命题:(1)所有的等腰三角形 都相似;(2)所有的等边三角形都相似;(3)所有的等腰直角D 三角形都相似;(4)所有的直角三角形都相似. (第3题)

其中真命题的序号是

_________________________(注:把所有真命题的序号都填上).

5.已知⊙O中,两弦AB与CD相交于点E,若E为AB的中点,CE:ED?1∶4, 7

AB?4,则CD的长等于_________.

6.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等,它们的面积分别记为S3、S4、S6,则S3、S4、S6由大到小的排列顺序是______________.

7.若菱形的一个内角为60,边长为4,则它的面积是_________.

8.已知数3、6,请再写出一个书3,使这三个数是另外两个数的比例中项,这个数是_______(只需填写一个数).

9.把一个平角16等分,则每份为_________度_________分.

10.一油桶高0.8m,桶内有油,一根木棒长1m,从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端到小口,抽出木棒,量得棒上浸油部分长0.87m,则桶内油面的高度为_________.

二、选择题

1.下列图案中,有且只有三条对称轴的是 ( )

A B C D

2.等腰三角形的两边长为3和6,则这个三角形的周长是 ( )

A.12或15 B.12 C.15(D)都不对

3.如图所示,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面

后,

在地面上形成阴影(圆形)的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距

离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( )

A.0.036?平方米 B.0.81?平方米

C.2?平方米 D.3.24?平方米

4.两个相似三角形的最长边分别是35cm和14cm,它们的周长差是60cm,则大三角形的周长为 ( )

A.80cm B.36cm C.40cm D.100cm

5.某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案,其中使花坛面积最大的图案是 ( )

A.正三角形 B.正方形 C.圆 D.不能确定

6.车轮半径为0.3米的自行车沿着一条直路行驶,车轮绕着轴心转动的转速为100转/分,则自行车的行驶速度为 ( )

A.3.6?千米/时 B.1.8?千米/时 C.30千米/时 D.15千米/时

7.若太阳光线与地面成37°的角,一棵数的影长为10米,则树高h的范围是( )(3?1.7)

A.3<h≤5 B.5<h<10 C.10<h<15 D.h>15

8.⊙O的半径为2cm,点P是⊙O外一点,OP的长为3cm,那么以P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是 ( )

A.1cm或5cm B.1cm C.5cm D.1cm或4cm

9.下列说法:①如果两个三角形的周长之比是1∶2,那么这两个三角形的面积之比是3∶4;②平行四边形是中心对称图形;③经过三点有且只有一个圆;

④“对顶角相等”的逆命题正(第3题) ?

确.其中错误的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1

10.在?ABC中,?C?90?,若?B?2?A,则cotB等于 ( )

1A. B.3 C.2 D.2

三、解答题

1.已知:如图,BD?CE,只添加一个条件,就可证得?ABE??ACD,有那几种方法?

A E

B

C

(第1题)

2.已知:如图,A、F、C、D四点在一直线上,AF?CD,AB∥DE,且AB?DE.

E

D

求证:(1)?ABC≌?DEF;

C

(2)?CBF??FEC.

F

AB

(第2题)

3.已知:如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB?BC,对角线AC?BD,垂足为E,

AD=BD,过点E作EF∥AB交AD于F.

求证:(1)AF=BE;(2)AF2=AE·EC.

A B

(第3题)

4.某地由于过渡开山采石,发生了严重的滑坡现象,以至影响公路的交通.为了防止再次滑坡,筑建了一个护坡石坝,如图所示,护坡石坝斜坡的坡角为α,为了测量石坝斜坡的坡

度i, (i=tanα) 把一个长是5米的竹竿斜靠在石坝旁,当量出竿长为1米时,它离地面的高度为0.6米,又量得竿顶离坝脚的距离是3.4米.请你求出护坡斜坡的坡度i.

(第4题)

5.如图5—1,一个圆球放置在V形架中.图5—2是它的平面示意图,CA和CB都是⊙O

的切线,切点分别是A,B.如果⊙O的半径

,且AB=6cm,求∠ACB.

C

(1) (2)

6.如图6—1,四边形AEFG与ABCD都是

正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上(以下问题的结果可用a、b的代数式表示).

(1)求S△DBF;

(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45?,

(1) (2) 得图6—2,求图6—2中的S△DBF;

(第6题) (3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋

转的过程中,S△DBF是否存在最大值、最小值?如

果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.

答案与提示

53?

一、1.13.3; 2.; 3.4; 4.(2),(3); 5.5;6.S6>S4>S3; 7.8; 8.12;

9.11度15分; 10.0.64cm .

二、1.D; 2.C; 3.B; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.A; 9.B; 10.B. 三、1.解:方法一:可添加AB?AC(或AD?AE);方法二:可添加?BDO??CEO; 方法三:可添加BE?CD.

5(第

2.证:(1)?A、F、C、D四点共线且AF = CD,∴AF?FC?FC?CD,即AC = DF. ?AB∥DE, ∴?BAD??ADE.又?AB=DE,∴?ABC≌?DEF. (2)由?ABC≌?DEF得?DFE??ACB,EF=BC, 又CF为公共边,∴?CFE≌?FCB. ∴?CBF??FEC.

3.证:(1)?

EF∥AB,?

DFDE

?,

DADB?DA?DB,?DF?DE,AF?BE.

?

CEBE

?

BEAE?,BE2=AE·CE .

(2)AB?BC,BE?AC,△BCE∽△ABE.

∵AF=BE, ∴AF2=AE·CE.

4.解:如图1,过点A作AF⊥CB于F,∴ ∠AFC=90°.

在Rt△CDE中, ∵ DE⊥CF,∠DEC=90°.DE=0.6,CD=1

DE0.63

??.15 ∴sinC=CD

在Rt△AFC中,∠AFC=90°,AC=5.

3

5??35∴AF=AC?sinC=.

在Rt△AFB中,∠AFB=90°,AB=3.4,

1 图

AF315

??.

68 ∴由勾股定理得BF=1.6. ∴i=tanα=BF1.8

答:护坡石坝斜坡的坡度i为1:15.

5.解:如图2,连结OC交AB于点D. ∵CA,CB分别是⊙O的切线,

∴CA=CB,OC平分∠ACB.∴OC⊥AB.

∵AB=6 ,∴BD=3 .在Rt△OBD中,∵

C

图2

BD?

,∴∠BOD=60°. ∴sin∠

BOD=OB∵B是切点,∴OB⊥BC,∴∠OCB=30°,∴∠ACB=60°.

6.解:(1

S△DBF

11?DF?AB?(b)?b?22;

(2)在图6—2中,连结AF,??FAG?45???DBA,?AF∥

BD,

1?S△BFD?S△ADB?b2;2

(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆. 第一种情况:当b>2a时,存在最大值及最小值;

如图3所示,因为△

BFD的边BD?最小值时,,故当F点到BD的距离取得最大、 S△BFD取得最大、最小值. CF2?BD时,

S△BF2D?b2?2ab?????,?2?? 图3 S△BFD的最大值

=

S△BFD的最小值

=S△BF1D?b2?2ab??.???2??

第二种情况:当b=2a时,存在最大值,不存在最小值;

b2?2ab

S△BFD的最大值=2.(如果答案为4a2或b2也可).

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